第2-123章-2016控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型gg

1、2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,1,第 二 章,控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,2,——分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)的依據(jù)。,數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)輸入量、輸出量以及內(nèi)部各變量之間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。,建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法,解析法(機(jī)理分析法) 實(shí)驗(yàn)（辨識/測定）法,,機(jī)理分析法：首先對系統(tǒng)的各個部件運(yùn)動的機(jī)理進(jìn)行分析，根據(jù)這些物理規(guī)律或化學(xué)規(guī)律（如力學(xué)、運(yùn)動學(xué)、電磁學(xué)、熱學(xué)等）列寫描述系統(tǒng)相

2、應(yīng)的運(yùn)動方程；,實(shí)驗(yàn)（辨識/測定）法：在系統(tǒng)上人為地施加上某種測試信號，記錄其輸出相應(yīng)，然后選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，使之能近似地表示這種運(yùn)動。亦稱為系統(tǒng)辨識。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,3,數(shù)學(xué)模型：微分方程、傳遞函數(shù)、方塊圖、信號流圖、狀態(tài)方程和傳遞矩陣等。在以單輸入單輸出系統(tǒng)為研究目標(biāo)的經(jīng)典控制理論中，主要采用微分方程和差分方程描述系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型；采用傳遞函數(shù)、脈沖傳遞函數(shù)、方塊圖和信號流圖描述系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域

3、數(shù)學(xué)模型；采用頻率特性描述系統(tǒng)的復(fù)頻域數(shù)學(xué)模型。最優(yōu)控制或多變量系統(tǒng)中，主要采用傳遞矩陣、狀態(tài)方程作為描述系統(tǒng)相對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。本章只研究微分方程、傳遞函數(shù)、方塊圖和信號流圖等數(shù)學(xué)模型的建立和應(yīng)用。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,4,本章主要內(nèi)容　　　本章主要討論系統(tǒng)微分方程、傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖，信號流圖、梅遜公式及其應(yīng)用。,數(shù)學(xué)模型,微分方程差分方程狀態(tài)方程,傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)圖信號流圖,頻率特性,數(shù)學(xué)模型

4、-----描述系統(tǒng)變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式,,,,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,5,2.2 控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型,2.2.1線性元件的微分方程 控制系統(tǒng)是由具有不同功能的元件以一定方式連接而成，因此首先要建立反映各個元件輸入量與輸出量之間關(guān)系的運(yùn)動方程，即微分方程。其中討論的對象主要是時間的函數(shù)，所以這類描述通常稱為時間域的數(shù)學(xué)模型。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,6,圖2-1 Ｒ-L-C電路

5、,,消去中間變量 ，則有:,由基爾霍夫定律得：,電氣網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng),1、無負(fù)載效應(yīng)的電路,二階線性常系數(shù)微分方程,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,7,圖2-2 R-C濾波網(wǎng)絡(luò),消去中間變量i1 、 i2 得,或?qū)懽?2、有負(fù)載效應(yīng)的電路,對于圖2-2所示的電路，在列寫方程時必須考慮后級電路對前級電路的影響，由基爾霍夫定律列出下列方程組：,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,8,解: (1) 確

6、定輸入-輸出量: 外作用力F ---輸入量, 位移 y ---輸出量,,,（2 彈簧彈性力:阻尼器的阻尼力:,（3）整理得:,由牛頓第二定律列出方程,,機(jī)械位移系統(tǒng),彈簧-質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)的數(shù)據(jù)模型,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,9,圖2.2- 電動機(jī)傳動系統(tǒng),解：基爾霍夫定律可得電勢平衡方程為,電動機(jī)的機(jī)械運(yùn)動方程：,,考慮電動機(jī)的性能：,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,10,,為電動機(jī)的電

7、磁轉(zhuǎn)矩，,為電動機(jī)的電勢常數(shù)，,為電動機(jī)的轉(zhuǎn)矩系數(shù)。,（ 較?。r，則可以省略,，式可簡化為一階微分方程：,（2.2-7）,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,11,（1）分析元件的工作原理，確定輸入量和輸出量；（2）提出一些合乎實(shí)際簡化系統(tǒng)的假設(shè)，根據(jù)描述元件運(yùn)動特性的物理或化學(xué)定律（如基爾霍夫定律、牛頓定律、能量守恒定律等），列出每一個元件的輸入與輸出的微分方程，需注意負(fù)載效應(yīng)；（3）消除中間變量，得到只描

8、述輸出量和輸入量（包括擾動量）關(guān)系的微分方程；（4）將微分方程整理成標(biāo)準(zhǔn)形式，將與輸出量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程的左邊，與輸入量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程的右邊，方程兩邊的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)均按降冪排列。,用解析法建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟：,2.2.2控制系統(tǒng)的微分方程的建立,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,12,一般系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系微分方程的一般形式,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,13,,,,2024/3/18,第二章 控

9、制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,14,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,15,解：系統(tǒng)由輸入電位器、比例運(yùn)算放大器、功率放大器、直流電動機(jī),和測速發(fā)電機(jī),給定輸入信號為電壓,擾動輸入為負(fù)載轉(zhuǎn)矩,等部分組成。,被控量為系統(tǒng)的輸出量,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,16,該系統(tǒng)的方塊圖如圖2.2-5所示。,,圖2.2-5 轉(zhuǎn)速單閉環(huán)調(diào)速系統(tǒng)方塊圖,（1）比例運(yùn)算放大器：,（2）功率放大器通常是由可控晶閘管或PWM變換器等構(gòu)成

10、的電力電子變換器，在忽略其時間滯后的情況下，可以看作為比例環(huán)節(jié)，即,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,17,消去中間變量，經(jīng)整理后可得,（3）直流電動機(jī)的微分方程如式（2.2-6）所示,（4）測速發(fā)電機(jī)連同分壓器，忽略負(fù)載效應(yīng)等也可以將其看作為比例環(huán)節(jié)，即,,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,18,對于線性系統(tǒng)，可以應(yīng)用疊加原理分別討論兩種輸入作用下所引起的轉(zhuǎn)速變換，然后進(jìn)行疊加。因此，當(dāng)負(fù)載轉(zhuǎn)矩,時，輸出量

11、,與輸入電壓,之間的微分方程為,時，輸出量,與負(fù)載轉(zhuǎn)矩,之間的微分方程為,當(dāng),2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,19,編寫微分方程的一般步驟：,首先確定輸入輸出量（必要時還要考慮擾動量）； 線性系統(tǒng)可利用疊加原理討論. (2)列寫各部分的微分方程。將系統(tǒng)分解為各環(huán)節(jié)，確定各環(huán)節(jié)的輸入和輸出量，寫出個環(huán)節(jié)的微分方程。(3)消去中間變量，求得系統(tǒng)輸出、輸入量（包括擾動輸入量）關(guān)系的微分方程。

12、,編寫控制系統(tǒng)的微分方程時，應(yīng)注意以下兩個方面：（1）信號傳送的單向性，即前一個元件的輸出是后一個元件的輸入，一級一級地單向傳送；（2）負(fù)載效應(yīng)，即前后相連的兩個元件中，后級對前級的負(fù)載效應(yīng)。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,20,非線性系統(tǒng)：用非線性微分方程描述。,微分方程的類型,線性系統(tǒng)的重要性質(zhì)：滿足疊加性和均勻性（齊次性）。即： 如果輸入r1(t)—>輸出y1(t)，輸入r2(t)—&g

13、t;輸出y2(t) 則輸入a r1(t)+b r2(t) —>輸出a y1(t)+by2(t),線性系統(tǒng)：用線性微分方程描述。,線性時變系統(tǒng)：用線性微分方程描述，微分方程的系數(shù)是隨時間而變化的。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,21,線性常微分方程：它對應(yīng)的齊次微分方程的通解；滿足該微分方程右端函數(shù)的任一特解。其解的結(jié)構(gòu)形式: 齊次方程的通解和非齊次方程的任一特解之和。電網(wǎng)絡(luò)：將較直觀的電路

14、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)作為非齊次方程的任一特解，則響應(yīng)的結(jié)構(gòu)形式為動態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)之和。動態(tài)響應(yīng)（或動態(tài)分量）就是描述網(wǎng)絡(luò)運(yùn)動的常微分方程的齊次方程的通解，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)（或穩(wěn)態(tài)分量）則是網(wǎng)絡(luò)在相應(yīng)輸入作用下網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)響應(yīng)都衰減到零之后的響應(yīng)。,2.2.3線性微分方程的求解,線性常系數(shù)微分方程在給定初值下的求解可以利用特征多項(xiàng)式解出，或稱古典解法。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,22,求解高階常微分方程，還可利用拉普拉斯變換方法。（1

15、）利用拉普拉斯變換定理在方程兩端求拉普拉斯變換，將時域的微分方程轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)域中的代數(shù)方程；（2）對變換后的代數(shù)方程求解得到輸出量；（3）對代數(shù)方程的輸出量進(jìn)行部分因式展開；（4）從拉普拉斯變換表2.2-1得到輸出量的拉普拉斯反變換。,傅立葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式：,式中,傅立葉變換與拉普拉斯變換,2 傅立葉積分和傅立葉變換,,,傅氏變換,傅氏反變換,3 拉氏變換,⑴ 拉氏變換定義,設(shè)函數(shù)f(t)滿足 ①t0時，f(t)分段連續(xù) 則f

16、(t)的拉氏變換存在，其表達(dá)式記作：,拉氏反變換,F(s) —象函數(shù)，f(t) —原函數(shù),2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,26,拉氏變換基本定理,(1)線性性質(zhì): 若f(t)=αf1(t)+βf2(t), 則 F(s) = αF1(s)+βF2(s)(2)微分定理: 若F(s) = L[f(t)], 則有,一步超前為:,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,27

17、,(4)初值定理:,(5)終值定理:,(6)位移定理:,(3)積分定理:,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,28,（8）時滯定理：,（9）卷積定理：,(7)相似定理:,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,29,,單位階躍函數(shù)： 單位脈沖函數(shù)： 單位斜坡函數(shù)： 單位拋物線函數(shù)： 正弦函數(shù)： 其他函數(shù)可以查閱相關(guān)表格獲得。,常用函數(shù)的拉氏變換：,2024

18、/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,30,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,31,拉氏反變換,F(s)化成下列因式分解形式：,a．F(s)中具有不同的極點(diǎn)時，可展開為,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,32,,c.F(s)含有多重極點(diǎn)時，可展開為,其余各極點(diǎn)的留數(shù)確定方法與上同。,b.F(s)含有共扼復(fù)數(shù)極點(diǎn)時，可展開為,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,33,解：將微分方程兩端取拉普拉斯變

19、換，得,將初始條件代入上式，整理可得輸出量為,部分因式展開,拉普拉斯反變換,第一項(xiàng)為穩(wěn)態(tài)分量-特解后兩項(xiàng)為動態(tài)分量-齊次解,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,34,2.2.4 非線性元件微分方程的線性化,非線性因素的問題可以分兩大類： 一類是系統(tǒng)存在非本質(zhì)上的非線性問題。此類系統(tǒng)函數(shù)為光滑函數(shù)（圖2.2-6a），即當(dāng)輸入量連續(xù)變化時，函數(shù)值及其各階導(dǎo)數(shù)值的變化都是連續(xù)的。,,圖2.2-6 光滑函數(shù)、不光滑函數(shù),另

20、一類是元件本身存在本質(zhì)上的非線性，如飽和特性、繼電器特性，此類系統(tǒng)函數(shù)為不光滑函數(shù)（圖2.2-6b、c）。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,35,系統(tǒng)存在非本質(zhì)上的非線性問題，這類問題可以通過小偏差線性化的方法進(jìn)行線性化處理；小偏差線性化：由數(shù)學(xué)的級數(shù)理論可知，只要變量在預(yù)期工作點(diǎn)處的各階導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)存在，則在預(yù)期工作點(diǎn)的微小鄰域內(nèi)可將非線性函數(shù)通過變量的偏差展開成泰勒級數(shù)，如將級數(shù)中偏差的高階項(xiàng)加以忽略，可獲得以變量

21、的偏差為自變量的線性函數(shù)。這種線性化方法稱為小偏差線性化。 控制系統(tǒng)都有一個穩(wěn)定的工作狀態(tài)以及與之相對應(yīng)的工作點(diǎn)，稱為預(yù)期工作點(diǎn)。 非線性微分方程能進(jìn)行線性化的一個基本假設(shè)：變量偏離其預(yù)期工作點(diǎn)的偏差很小。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,36,非線性數(shù)學(xué)模型線性化的假設(shè),變量對于平衡工作點(diǎn)的偏離較小 非線性函數(shù)不僅連續(xù)，而且其多階導(dǎo)數(shù)均存在。,,如果某些非線性特性在一定的工作范圍內(nèi)，可以用線性系統(tǒng)

22、模型近似，稱為非線性模型的線性化。對于非線性方程，可在工作點(diǎn)附近用泰勒級數(shù)展開，取前面的線性項(xiàng)。可以得到等效的線性環(huán)節(jié)。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,37,預(yù)期（額定）工作點(diǎn),的勵磁電流和對應(yīng)的發(fā)電機(jī)電壓分別,當(dāng)勵磁電流變化時，發(fā)電機(jī)電壓將沿著勵磁曲線變化，變化的增量,存在著非線性關(guān)系，函數(shù)為,該函數(shù)可在額定工作點(diǎn),的鄰域展開泰勒級數(shù)為,式中：,。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,38,偏差為微量時，

23、在上式所示級數(shù)中可忽略的二階及二階以上的高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，從而得,即,為勵磁曲線在預(yù)期工作點(diǎn)的斜率。因此，在一小范圍內(nèi)，可以近似地認(rèn)為勵磁特性用切線這一直線來代替。這樣就把非線性問題線性化了，這種方法稱為“小偏差”線性化。,,即,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,39,對于連續(xù)變化的具有二個變量的非線性函數(shù),預(yù)期工作點(diǎn),的鄰域展開泰勒級數(shù)為,,式中：,為,偏離預(yù)期工作點(diǎn)的偏差。,偏差甚小，即,，,2024/3/18,第二章 控制

24、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,40,例2-6 已知三相橋式晶閘管整流電路的輸出電壓，其中 為整流變壓器二次側(cè)額定相電壓的有效值， 為觸發(fā)延遲角，整流特性曲線如圖2.2-8所示，求該晶閘管整流電路的線性化數(shù)學(xué)模型。,，,從整流特性呈非線性關(guān)系，預(yù)期工作點(diǎn)為,,，,觸發(fā)角微小變化時，可作為線性環(huán)節(jié)處理，得,,。,寫成增量方程，得,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,41,綜上所述，研究非線性微分方程線性化時，必須注意：（1）應(yīng)用小

25、偏差線性化時，必須明確預(yù)期工作點(diǎn)的參數(shù)，對于不同的工作點(diǎn)，得出的線性微分方程的系數(shù)是不同的。（2）若系統(tǒng)或元件的原有特性很接近線性，則得到的方程在變化范圍較大時亦適用。（3）線性化只適用于連續(xù)非線性系統(tǒng)。對不連續(xù)非線性特性（如繼電器特性、間隙、庫侖干摩擦、飽和特性等 ），因?yàn)椴粷M足展開泰勒級數(shù)的條件，所以不能線性化。即在工作點(diǎn)不能作泰勒級數(shù)展開的系統(tǒng)，不可能作線性化處理。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,42,2.3

26、 控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型,微分方程是在時域內(nèi)描述系統(tǒng)動態(tài)過程的數(shù)學(xué)模型。 傳遞函數(shù)是在運(yùn)用拉式變換求解微分方程的過程中引申出來的一種復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型，可用于研究系統(tǒng)結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響，并由此發(fā)展出用傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)分布、頻率特性等間接分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)的工程方法。因此，傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最重要的概念，也是最常用的數(shù)學(xué)模型。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,43,2.3.1 傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì),傳遞

27、函數(shù)定義：線性定常系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)是在零初始條件下，輸出信號的拉式變換 與輸入信號的拉式變換 之比，記為 傳遞函數(shù)也是數(shù)學(xué)模型的一種形式，只不過是在復(fù)數(shù)域中的描述。,,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,44,設(shè)線性定常系統(tǒng)或元件的微分方程一般形式為：,假設(shè)系統(tǒng)或元件處于零初始條件下，即,取拉式變換得,經(jīng)整理可得,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,4

28、5,解：,無源網(wǎng)絡(luò)的微分方程為,在零初始條件下，對上面等式兩邊求拉式變換,根據(jù)傳遞函數(shù)定義，求得該無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,46,傳遞函數(shù)是由系統(tǒng)的微分方程在初始條件為零時經(jīng)拉氏變換后求得，而拉氏變換是一種線性變換，因而這必然同微分方程一樣能象征系統(tǒng)的固有特性，即成為描述系統(tǒng)運(yùn)動的又一形式的數(shù)學(xué)模型。 由于傳遞函數(shù)包含了微分方程式的所有系數(shù)，因而根據(jù)微分方程就能直接寫出對應(yīng)的傳遞函數(shù)，即把微

29、分算子 用復(fù)變量s表示，把c(t) 和r(t)換為相應(yīng)的象函數(shù)C(s)和R(s)，則就把微分方程轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的傳遞函數(shù)。反之亦然。,,二．幾點(diǎn)結(jié)論：,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,47,。 解：在例2-3已求得直流他勵電動機(jī)的微分方程為,設(shè)擾動輸入信號,，求得傳遞函數(shù),在零初始條件下，對上面等式兩邊求拉氏變換,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,48,，求得傳遞函數(shù),設(shè)給定輸入信號,2024/3

30、/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,49,從上面的討論和舉例不難看出，傳遞函數(shù)具有下列性質(zhì)：（1）傳遞函數(shù)是微分方程經(jīng)拉氏變換導(dǎo)出的，而拉氏變換是一種線性積分運(yùn)算，因此傳遞函數(shù)的概念只適用于線性定常系統(tǒng)。（2）傳遞函數(shù)與微分方程存在一一對應(yīng)關(guān)系。對于一個確定的系統(tǒng)，微分方程是唯一的，其傳遞函數(shù)也是唯一的。（3）傳遞函數(shù)反映了元件或系統(tǒng)的固有屬性，只與元件或系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)，它與輸入信號的大小和形式無關(guān)，但和輸入信號的作用位置及

31、輸出信號的取出位置有關(guān)。因此，傳遞函數(shù)可作為系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學(xué)模型，及系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,50,傳遞函數(shù)具有下列性質(zhì)：（4）傳遞函數(shù)是一種數(shù)學(xué)抽象，因此不能反映系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)。不同性質(zhì)的物理結(jié)構(gòu)，可以有完全相同的傳遞函數(shù)。具有相同形式傳遞函數(shù)的不同類型的元件或系統(tǒng)可稱為相似系統(tǒng)。在相同條件下，相似系統(tǒng)具有相同的運(yùn)動特性。（5）傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，即在零時刻之前，系統(tǒng)處于相

32、對靜止?fàn)顟B(tài)。因此，傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的運(yùn)動規(guī)律，即用它求輸出響應(yīng)只包含零初始條件解（零狀態(tài)響應(yīng)）這一部分。當(dāng)初始條件不為零時，系統(tǒng)的全解必須考慮零輸入解（零輸入響應(yīng)）。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,51,（6）一個傳遞函數(shù)只能表示單輸入單輸出的關(guān)系，不能反映系統(tǒng)內(nèi)部中間變量的傳遞關(guān)系。對于多輸人多輸出系統(tǒng)，則要用傳遞函數(shù)矩陣表示。（7）傳遞函數(shù)的拉普拉斯反變換是脈沖響應(yīng)。脈沖響應(yīng)函數(shù)是指系統(tǒng)

33、對單位脈沖輸入 作用時的輸出響應(yīng)，即當(dāng)，時，系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為,,，,,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,52,圖 多輸入多輸出系統(tǒng),由圖得,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,53,2.3.2 傳遞函數(shù)的幾種表示形式,利用傳遞函數(shù)分析系統(tǒng)時，還應(yīng)該注意它的幾種表達(dá)形式。1 傳遞函數(shù)的有理分式形式（多項(xiàng)式形式）,傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式

34、 稱為系統(tǒng)的特征方程 的根稱為系統(tǒng)的特征根或極點(diǎn)。,,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,54,2 傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)形式,圖2.3-1 零、極點(diǎn)分布圖,傳遞函數(shù)的零點(diǎn)：,分子多項(xiàng)式的根,傳遞函數(shù)的極點(diǎn)：,分母多項(xiàng)式的根,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,55,3 傳遞函數(shù)的時間常數(shù)形式,，,，,v 為含積分環(huán)節(jié)的個數(shù),K 為系統(tǒng)的放大系數(shù)或增益。,2024/3/18,第

35、二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,56,時間常數(shù)形式,。,例,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,57,2.3.3 典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù) 一個實(shí)際的控制系統(tǒng)都是由許多獨(dú)立元件組合而成的，它們可能是機(jī)械的、電子的、光學(xué)的、液壓氣動的或其它類型的裝置。雖然這些元件的具體結(jié)構(gòu)和作用原理是多種多樣的，但拋開具體結(jié)構(gòu)和物理特點(diǎn)，從動態(tài)性能或數(shù)學(xué)模型來看，就可以劃分為幾種較為簡單的低階模型，稱之為典型環(huán)節(jié)。不同的物理系統(tǒng)可屬于同一典型環(huán)節(jié)

36、，同一物理系統(tǒng)也可能成為不同的典型環(huán)節(jié)。線性定常系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)有比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)及延遲環(huán)節(jié)等幾種。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,58,,,典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù),比例環(huán)節(jié)特點(diǎn)：輸出不失真、不延遲、成比例地復(fù)現(xiàn)輸入信號的變化。,y(t),拉氏變換：,,完全理想的比例環(huán)節(jié)在實(shí)際上是不存在的。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,59,,2.積分環(huán)節(jié):輸出量與輸入量對時間的積分

37、成正比。,,當(dāng)x(t)=1時,y(t)= Kt,(t≥0),T為積分時間常數(shù)。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,60,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,61,3.慣性環(huán)節(jié): 環(huán)節(jié)具有一個儲能元件, 輸入量x(t)變化時, 輸出量不立刻達(dá)到相應(yīng)的平衡狀態(tài), 而要經(jīng)過一定時間，即延緩地反映輸入量的變化規(guī)律。,單位階躍作用下, X(s)=1/s,,,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,62,兩個實(shí)例

38、：,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,63,,,,,例：,C,R,R,L,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,64,,圖2.3-4a的傳遞函數(shù),，圖2.3-4b的傳遞函數(shù),。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,65,4.微分環(huán)節(jié): 理想微分環(huán)節(jié)特點(diǎn), 在過渡過程中， 輸出量為輸入量x(t)微分。,理想:,一階:,二階:,G(s) = Ks,G(s) =Kτs+1,,,,只有零點(diǎn)，沒有極點(diǎn)。,202

39、4/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,66,,實(shí)用微分環(huán)節(jié)：,T<<1時，,純微分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)：,,由于存在慣性，單純的微分環(huán)節(jié)是不存在的，一般都是微分環(huán)節(jié)加慣性環(huán)節(jié)。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,67,式中：,[實(shí)例],2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,68,,5.震蕩環(huán)節(jié),特點(diǎn)：環(huán)節(jié)中含有兩種不同能量形式的儲能元件，在輸入變化時，兩者間不斷進(jìn)行能量交換，致使輸出出現(xiàn)震蕩的性質(zhì)。

40、,uo,ur,系統(tǒng)的微分方程為：,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,69,二階震蕩環(huán)節(jié)的輸入、輸出關(guān)系：,自然震蕩角頻率,T為時間常數(shù)，ξ為阻尼系數(shù)。,ξ>=1, 極點(diǎn)為實(shí)數(shù)；0<ξ<1, 極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,70,在單位階躍輸入作用下：,拉氏反變換：,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,71,5. 振蕩環(huán)節(jié):其傳遞函數(shù)為,時間常數(shù)，

41、 無阻尼自然振蕩頻率， 阻尼比,RLC網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù),彈簧阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù),直流他勵電動機(jī)的傳遞函數(shù),,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,72,解：當(dāng) 時，有一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。所以：,解得：,[例]：求質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的 和 。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,73,特點(diǎn): 輸入信號加入系統(tǒng)后, 輸出端經(jīng)一定時間后輸出信

42、號，該環(huán)節(jié)又叫時滯環(huán)節(jié)，滯后環(huán)節(jié)。,6.延遲環(huán)節(jié):,x(t),2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,74,例：帶鋼厚度檢測環(huán)節(jié)。帶鋼在A點(diǎn)軋出時，產(chǎn)生厚度偏差Δha，但Δh在B點(diǎn)才能被檢測出。若AB點(diǎn)相距l(xiāng)，帶鋼運(yùn)動速度V，則時滯為τ=l/v。測厚信號與厚差信號有如下關(guān)系：,當(dāng)τ很小時，可將 展開成臺勞級數(shù)：,,復(fù)雜的元件或系統(tǒng)可以看作是某些簡單環(huán)節(jié)的組合，一個簡單的系統(tǒng)也可能就是一個典型環(huán)節(jié)。,,2024/3/18,第二

43、章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,75,（七）其他環(huán)節(jié)： 還有一些環(huán)節(jié)如 等，它們的極點(diǎn)在s平面的右半平面，我們以后會看到，這種環(huán)節(jié)是不穩(wěn)定的。稱為不穩(wěn)定環(huán)節(jié)。,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,76,電氣網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)的求取,,無源網(wǎng)絡(luò)電路,圖中z1和z2為復(fù)數(shù)阻抗，由圖得,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,77,例 求圖所示電路的傳遞函數(shù),解：,

44、由式（2-41）得,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,78,有源網(wǎng)絡(luò)電路,設(shè)Z1、Z2、Z3、Z4為復(fù)數(shù)阻抗，,并略去運(yùn)放的輸入電流，則得,即,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,79,有源網(wǎng)絡(luò)2,基于上述同樣的假設(shè)，由圖2-22得,消去上述式中的中間變量I1、I2、I3、I4和UB，求得：,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,80,例2-2 求圖所示兩個有源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。,1）在圖2-23中，

45、,于是得,圖 PI調(diào)節(jié)器,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,81,2）在圖2-24中，,則由式（2-43）得,圖 PD調(diào)節(jié)器,2024/3/18,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,82,以上所舉的例子只是一些典型的基本環(huán)節(jié)，而許多復(fù)雜的元件或系統(tǒng)可以是上述某些基本環(huán)節(jié)的組合。應(yīng)當(dāng)注意：典型環(huán)節(jié)的概念只適用于線性定常控制系統(tǒng)中，且是在一系列理想條件限制下建立的；系統(tǒng)劃分為若干典型環(huán)節(jié)組合時，需注意環(huán)節(jié)和環(huán)節(jié)之間的“負(fù)載效應(yīng)”；