第12章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間設(shè)計(jì)

1、<p><b>　　III、綜合部分</b></p><p>　　第四章 線性多變量系統(tǒng)的綜合與設(shè)計(jì)</p><p><b>　　4.1 引言</b></p><p>　　前面我們介紹的內(nèi)容都屬于系統(tǒng)的描述與分析。系統(tǒng)的描述主要解決系統(tǒng)的建模、各種數(shù)學(xué)模型(時(shí)域、頻域、內(nèi)部、外部描述)之間的相互轉(zhuǎn)換等；系統(tǒng)的分

2、析，則主要研究系統(tǒng)的定量變化規(guī)律(如狀態(tài)方程的解，即系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析等)和定性行為(如能控性、能觀測(cè)性、穩(wěn)定性等)。而綜合與設(shè)計(jì)問題則與此相反，即在已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)(被控系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型)的基礎(chǔ)上，尋求控制規(guī)律，以使系統(tǒng)具有某種期望的性能。一般說來，這種控制規(guī)律常取反饋形式，因?yàn)闊o論是在抗干擾性或魯棒性能方面，反饋閉環(huán)系統(tǒng)的性能都遠(yuǎn)優(yōu)于非反饋或開環(huán)系統(tǒng)。在本章中，我們將以狀態(tài)空間描述和狀態(tài)空間方法為基礎(chǔ)，仍然在時(shí)域中討論線性反饋控制規(guī)律的綜

3、合與設(shè)計(jì)方法。</p><p>　　4.1.1 問題的提法</p><p>　　給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述</p><p>　　若再給定系統(tǒng)的某個(gè)期望的性能指標(biāo)，它既可以是時(shí)域或頻域的某種特征量(如超調(diào)量、過渡過程時(shí)間、極、零點(diǎn))，也可以是使某個(gè)性能函數(shù)取極小或極大。此時(shí)，綜合問題就是尋求一個(gè)控制作用u，使得在該控制作用下系統(tǒng)滿足所給定的期望性能指標(biāo)。</p>

4、;<p>　　對(duì)于線性狀態(tài)反饋控制律</p><p>　　對(duì)于線性輸出反饋控制律</p><p>　　其中為參考輸入向量。</p><p>　　由此構(gòu)成的閉環(huán)反饋系統(tǒng)分別為</p><p><b>　　或</b></p><p>　　閉環(huán)反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣分別為</p>

5、<p><b>　　即或。</b></p><p><b>　　閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣</b></p><p>　　我們?cè)谶@里將著重指出，作為綜合問題，將必須考慮三個(gè)方面的因素，即1)抗外部干擾問題；2)抗內(nèi)部結(jié)構(gòu)與參數(shù)的攝動(dòng)問題，即魯棒性(Robustness)問題；3)控制規(guī)律的工程實(shí)現(xiàn)問題。</p><p>　

6、　一般說來，綜合和設(shè)計(jì)是兩個(gè)有區(qū)別的概念。綜合將在考慮工程可實(shí)現(xiàn)或可行的前提下，來確定控制規(guī)律u；而對(duì)設(shè)計(jì)，則還必須考慮許多實(shí)際問題，如控制器物理實(shí)現(xiàn)中線路的選擇、元件的選用、參數(shù)的確定等。</p><p>　　4.1.2 性能指標(biāo)的類型</p><p>　　總的說來，綜合問題中的性能指標(biāo)可分為非優(yōu)化型和優(yōu)化型性能指標(biāo)兩種類型。兩者的差別為：非優(yōu)化型指標(biāo)是一類不等式型的指標(biāo)，即只要性能值達(dá)

7、到或好于期望指標(biāo)就算是實(shí)現(xiàn)了綜合目標(biāo)，而優(yōu)化型指標(biāo)則是一類極值型指標(biāo)，綜合目標(biāo)是使性能指標(biāo)在所有可能的控制中使其取極小或極大值。</p><p>　　對(duì)于非優(yōu)化型性能指標(biāo)，可以有多種提法，常用的提法有：</p><p>　　1、以漸近穩(wěn)定作為性能指標(biāo)，相應(yīng)的綜合問題稱為鎮(zhèn)定問題；</p><p>　　2、以一組期望的閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)作為性能指標(biāo)，相應(yīng)的綜合問題稱為極點(diǎn)配

8、置問題。從線性定常系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析中可知，如時(shí)域中的超調(diào)量、過渡過程時(shí)間及頻域中的增益穩(wěn)定裕度、相位穩(wěn)定裕度，都可以被認(rèn)為等價(jià)于系統(tǒng)極點(diǎn)的位置，因此相應(yīng)的綜合問題都可視為極點(diǎn)配置問題；</p><p>　　3、以使一個(gè)多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)為“一個(gè)輸入只控制一個(gè)輸出”作為性能指標(biāo)，相應(yīng)的綜合問題稱為解耦問題。在工業(yè)過程控制中，解耦控制有著重要的應(yīng)用；</p><p>　　4、以使系

9、統(tǒng)的輸出y(t)無靜差地跟蹤一個(gè)外部信號(hào)作為性能指標(biāo)，相應(yīng)的綜合問題稱為跟蹤問題。</p><p>　　對(duì)于優(yōu)化型性能指標(biāo)，則通常取為相對(duì)于狀態(tài)x和控制u的二次型積分性能指標(biāo)，即</p><p>　　其中加權(quán)陣或，且能觀測(cè)。綜合的任務(wù)就是確定，使相應(yīng)的性能指標(biāo)極小。通常，將這樣的控制稱為最優(yōu)控制，確切地說是線性二次型最優(yōu)控制問題，即LQ調(diào)節(jié)器問題。</p><p>

10、　　4.1.3 研究綜合問題的主要內(nèi)容</p><p><b>　　主要有兩個(gè)方面：</b></p><p>　　1、可綜合條件 可綜合條件也就是控制規(guī)律的存在性問題?？删C合條件的建立，可避免綜合過程的盲目性。</p><p>　　2、控制規(guī)律的算法問題 這是問題的關(guān)鍵。作為一個(gè)算法，評(píng)價(jià)其優(yōu)劣的主要標(biāo)準(zhǔn)是數(shù)值穩(wěn)定性，即是否出現(xiàn)截?cái)嗷蛏?/p>

11、入誤差在計(jì)算積累過程中放大的問題。一般地說，如果問題不是病態(tài)的，而所采用的算法又是數(shù)值穩(wěn)定的，則所得結(jié)果通常是好的。</p><p>　　4.1.4 工程實(shí)現(xiàn)中的一些理論問題</p><p>　　在綜合問題中，不僅要研究可綜合條件和算法問題，而且要研究工程實(shí)現(xiàn)中提出的一系列理論問題。主要有：</p><p>　　1、狀態(tài)重構(gòu)問題 由于許多綜合問題都具有狀態(tài)反饋形

12、式，而狀態(tài)變量為系統(tǒng)的內(nèi)部變量，通常并不能完全直接量測(cè)或采用經(jīng)濟(jì)手段進(jìn)行量測(cè)，解決這一矛盾的途徑是：利用可量測(cè)輸出y 和輸入u來構(gòu)造出不能量測(cè)的狀態(tài)x，相應(yīng)的理論問題稱為狀態(tài)重構(gòu)問題，即觀測(cè)器問題和Kalman濾波問題。</p><p>　　2、魯棒性(Robustness)問題 </p><p><b>　　3、抗外部干擾問題</b></p>&l

13、t;p>　　本章的組織結(jié)構(gòu)如下。本章將首先討論極點(diǎn)配置問題。將討論利用極點(diǎn)配置方法來設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)。這里將設(shè)計(jì)一個(gè)受制于初始條件的倒立擺系統(tǒng)，使其在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)，返回到垂直位置；其次還將討論狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)；最后研究含積分器的伺服系統(tǒng)和不含積分器的伺服系統(tǒng)。我們將設(shè)計(jì)一個(gè)倒立擺系統(tǒng)，當(dāng)我們施加于小車一個(gè)階躍輸入時(shí)，仍可使該系統(tǒng)穩(wěn)定（也就是說，擺不會(huì)倒下來）。</p><p>　　本章4.1節(jié)為引言。4.2節(jié)將

14、討論控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的極點(diǎn)配置方法，給出問題提法、可配置條件及極點(diǎn)配置的算法。4.3節(jié)將介紹利用MATLAB求解極點(diǎn)配置問題，并給出用于極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)的MATLAB程序。4.4 節(jié)以倒立擺為例，給出用極點(diǎn)配置方法設(shè)計(jì)調(diào)節(jié)器型系統(tǒng)的一個(gè)例子，并分別介紹分析解法和MATLAB解法。</p><p>　　4.5節(jié)將介紹狀態(tài)觀測(cè)器。對(duì)于全維和最小階觀測(cè)器均將進(jìn)行討論，將介紹3種確定觀測(cè)器增益矩陣Ke的方法，并引入控制器-觀測(cè)器

15、概念。4.6節(jié)討論利用MATLAB設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器。4.7節(jié)研究伺服系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，將討論當(dāng)含有積分器和不含積分器時(shí)I型伺服系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。4.8節(jié)介紹用MATLAB設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的一個(gè)例子，將用MATLAB設(shè)計(jì)倒立擺控制系統(tǒng)。通過使用MATLAB，可得到所設(shè)計(jì)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。</p><p>　　4.2 極點(diǎn)配置問題</p><p>　　本節(jié)介紹極點(diǎn)配置方法。首先假定期望閉環(huán)極點(diǎn)為s =μ1

16、，s =μ2,…，s =μn。我們將證明，如果被控系統(tǒng)是狀態(tài)能控的，則可通過選取一個(gè)合適的狀態(tài)反饋增益矩陣K，利用狀態(tài)反饋方法，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置到任意的期望位置。</p><p>　　這里我們僅研究控制輸入為標(biāo)量的情況。將證明在s平面上將一個(gè)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)配置到任意位置的充要條件是該系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。我們還將討論3種確定狀態(tài)反饋增益矩陣的方法。</p><p>　　應(yīng)當(dāng)注意，當(dāng)控制輸入

17、為向量時(shí)，極點(diǎn)配置方法的數(shù)學(xué)表達(dá)式十分復(fù)雜，本書將不討論這種情況。還應(yīng)注意，當(dāng)控制輸入是向量時(shí)，狀態(tài)反饋增益矩陣并非唯一?？梢员容^自由地選擇多于n個(gè)參數(shù)，也就是說，除了適當(dāng)?shù)嘏渲胣個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)外，即使閉環(huán)系統(tǒng)還有其他需求，也可滿足其部分或全部要求。</p><p>　　4.2.1 問題的提法</p><p>　　前面我們已經(jīng)指出，在經(jīng)典控制理論的系統(tǒng)綜合中，不管是頻率法還是根軌跡法，本質(zhì)上都

18、可視為極點(diǎn)配置問題。</p><p>　　給定單輸入單輸出線性定常被控系統(tǒng)</p><p><b>　　(4.1)</b></p><p><b>　　式中。</b></p><p>　　選取線性反饋控制律為</p><p><b>　　(4.2)</b>

19、;</p><p>　　這意味著控制輸入由系統(tǒng)的狀態(tài)反饋確定，因此將該方法稱為狀態(tài)反饋方法。其中1×n維矩陣K稱為狀態(tài)反饋增益矩陣或線性狀態(tài)反饋矩陣。在下面的分析中，假設(shè)u不受約束。</p><p>　　圖4.1（a）給出了由式（4.1）所定義的系統(tǒng)。因?yàn)闆]有將狀態(tài)x反饋到控制輸入u中，所以這是一個(gè)開環(huán)控制系統(tǒng)。圖4.1（b）給出了具有狀態(tài)反饋的系統(tǒng)。因?yàn)閷顟B(tài)x反饋到了控制輸入

20、u中，所以這是一個(gè)閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)。</p><p><b>　?。ㄈ眻D，見更新版）</b></p><p>　　圖4.1 (a) 開環(huán)控制系統(tǒng) (b) 具有的閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)</p><p>　　將式（4.2）代入式（4.1），得到</p><p>　　該閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為</p><p&

21、gt;<b>　　(4.3)</b></p><p>　　式中x(0)是外部干擾引起的初始狀態(tài)。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性將由閉環(huán)系統(tǒng)矩陣A-BK的特征值決定。如果矩陣K選取適當(dāng)，則可使矩陣A-BK構(gòu)成一個(gè)漸近穩(wěn)定矩陣，此時(shí)對(duì)所有的x(0)≠0，當(dāng)t ∞時(shí)，都可使x(t) 0。一般稱矩陣A-BK的特征值為調(diào)節(jié)器極點(diǎn)。如果這些調(diào)節(jié)器極點(diǎn)均位于s的左半平面內(nèi)，則當(dāng)t ∞時(shí)，有x(t) 0。因此我

22、們將這種使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)任意配置到所期望位置的問題，稱之為極點(diǎn)配置問題。</p><p>　　下面討論其可配置條件。我們將證明，當(dāng)且僅當(dāng)給定的系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控時(shí)，該系統(tǒng)的任意極點(diǎn)配置才是可能的。</p><p>　　4.2.2 可配置條件</p><p>　　考慮由式（4.1）定義的線性定常系統(tǒng)。假設(shè)控制輸入u的幅值是無約束的。如果選取控制規(guī)律為</p>

23、;<p>　　式中K為線性狀態(tài)反饋矩陣，由此構(gòu)成的系統(tǒng)稱為閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)，如圖4.1（b）所示。</p><p>　　現(xiàn)在考慮極點(diǎn)的可配置條件，即如下的極點(diǎn)配置定理。</p><p>　　定理4.1 (極點(diǎn)配置定理) 線性定常系統(tǒng)可通過線性狀態(tài)反饋任意地配置其全部極點(diǎn)的充要條件是，此被控系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。</p><p>　　證明：由于對(duì)多變量系統(tǒng)

24、證明時(shí)，需要使用循環(huán)矩陣及其屬性等，因此這里只給出單輸入單輸出系統(tǒng)時(shí)的證明。但我們要著重指出的是，這一定理對(duì)多變量系統(tǒng)也是完全成立的。</p><p>　　必要性。即已知閉環(huán)系統(tǒng)可任意配置極點(diǎn)，則被控系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。</p><p>　　現(xiàn)利用反證法證明。先證明如下命題：如果系統(tǒng)不是狀態(tài)完全能控的，則矩陣A-BK的特征值不可能由線性狀態(tài)反饋來控制。</p><p>

25、;　　假設(shè)式（4.1）的系統(tǒng)狀態(tài)不能控，則其能控性矩陣的秩小于n，即</p><p>　　這意味著，在能控性矩陣中存在q個(gè)線性無關(guān)的列向量?，F(xiàn)定義q個(gè)線性無關(guān)列向量為，選擇n-q個(gè)附加的n維向量，使得</p><p>　　的秩為n 。因此，可證明</p><p>　　這些方程的推導(dǎo)可見例4.7。現(xiàn)定義</p><p><b>　　則

26、有</b></p><p>　　式中，是一個(gè)q維的單位矩陣，是一個(gè)n-q維的單位矩陣。</p><p>　　注意到A22的特征值不依賴于K。因此，如果一個(gè)系統(tǒng)不是狀態(tài)完全能控的，則矩陣的特征值就不能任意配置。所以，為了任意配置矩陣A-BK的特征值，此時(shí)系統(tǒng)必須是狀態(tài)完全能控的。</p><p>　　充分性。即已知被控系統(tǒng)狀態(tài)完全能控（這意味著由式（4.5

27、）給出的矩陣Q有逆），則矩陣A的所有特征值可任意配置。</p><p>　　在證明充分條件時(shí)，一種簡便的方法是將由式（4.1）給出的狀態(tài)方程變換為能控標(biāo)準(zhǔn)形。</p><p>　　定義非奇異線性變換矩陣P為</p><p>　　P = Q W（4.4）</p><p>　　其中Q為能控性矩陣，即</p><p>

28、;<b>　　(4.5)</b></p><p><b>　　(4.6)</b></p><p>　　式中為如下特征多項(xiàng)式的系數(shù)。</p><p>　　定義一個(gè)新的狀態(tài)向量，</p><p>　　如果能控性矩陣Q的秩為n（即系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的），則矩陣Q的逆存在，并且可將式（4.1）改寫為<

29、/p><p><b>　　(4.7)</b></p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　　(4.8)</b></p><p><b>　　(4.9)</b></p><p>　　式（4.8）和（4.9）的推導(dǎo)見

30、例4.8和例4.9。式（4.7）為能控標(biāo)準(zhǔn)形。這樣，如果系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，且利用由式（4.4）給出的變換矩陣P，使?fàn)顟B(tài)向量x變換為狀態(tài)向量，則可將式(4.1）變換為能控標(biāo)準(zhǔn)形。</p><p>　　選取一組期望的特征值為μ1，μ2，…，μn，則期望的特征方程為</p><p><b>　　(4.10)</b></p><p><b&g

31、t;　　設(shè)</b></p><p><b>　　(4.11)</b></p><p>　　由于，從而由式(4.7)，此時(shí)該系統(tǒng)的狀態(tài)方程為</p><p><b>　　相應(yīng)的特征方程為</b></p><p>　　事實(shí)上，當(dāng)利用作為控制輸入時(shí)，相應(yīng)的特征方程與式（4.11）的特征方程相

32、同，即非奇異線性變換不改變系統(tǒng)的特征值。這可簡單說明如下。由于</p><p><b>　　該系統(tǒng)的特征方程為</b></p><p>　　對(duì)于上述能控標(biāo)準(zhǔn)形的系統(tǒng)特征方程，由式（4.8）、(4.9)和（4.11），可得</p><p><b>　　(4.12)</b></p><p>　　這是具有

33、線性狀態(tài)反饋的閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程，它一定與式（4.10）的期望特征方程相等。通過使s的同次冪系數(shù)相等，可得</p><p>　　對(duì)δi求解上述方程組，并將其代入式（4.11），可得</p><p><b>　　(4.13)</b></p><p>　　因此，如果系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則通過對(duì)應(yīng)于式（4.13）所選取的矩陣K，可任意配置所有的特征

34、值。</p><p><b>　　證畢</b></p><p>　　4.2.3 極點(diǎn)配置的算法</p><p>　　現(xiàn)在考慮單輸入單輸出系統(tǒng)極點(diǎn)配置的算法。</p><p><b>　　給定線性定常系統(tǒng)</b></p><p><b>　　若線性反饋控制律為<

35、/b></p><p>　　則可由下列步驟確定使A-BK的特征值為μ1，μ2，…,μn（即閉環(huán)系統(tǒng)的期望極點(diǎn)值）的線性反饋矩陣K（如果μi是一個(gè)復(fù)數(shù)特征值，則其共軛必定也是A-BK的特征值）。</p><p>　　第1步：考察系統(tǒng)的能控性條件。如果系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則可按下列步驟繼續(xù)。</p><p>　　第2步：利用系統(tǒng)矩陣A的特征多項(xiàng)式</p&g

36、t;<p><b>　　確定出的值。</b></p><p>　　第3步：確定將系統(tǒng)狀態(tài)方程變換為能控標(biāo)準(zhǔn)形的變換矩陣P。若給定的狀態(tài)方程已是能控標(biāo)準(zhǔn)形，那么P = I。此時(shí)無需再寫出系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)方程。非奇異線性變換矩陣P可由式（4.4）給出，即</p><p>　　式中Q由式（4.5）定義，W由式（4.6）定義。</p><

37、p>　　第4步：利用給定的期望閉環(huán)極點(diǎn)，可寫出期望的特征多項(xiàng)式為</p><p><b>　　并確定出的值。</b></p><p>　　第5步：此時(shí)的狀態(tài)反饋增益矩陣K為</p><p><b>　　4.2.4 注釋</b></p><p>　　注意，如果是低階系統(tǒng)（n ≤3），則將線性反饋

38、增益矩陣K直接代入期望的特征多項(xiàng)式，可能更為簡便。例如，若n = 3，則可將狀態(tài)反饋增益矩陣K寫為</p><p>　　進(jìn)而將該矩陣K代入期望的特征多項(xiàng)式，使其等于，即</p><p>　　由于該特征方程的兩端均為s的多項(xiàng)式，故可通過使其兩端的s同次冪系數(shù)相等，來確定k1，k2，k3的值。如果n = 2或者n = 3，這種方法非常簡便（對(duì)于n =4,5,6,…，這種方法可能非常繁瑣）。&l

39、t;/p><p>　　還有其他方法可確定狀態(tài)反饋增益矩陣K。下面介紹著名的愛克曼公式，可用來確定狀態(tài)反饋增益矩陣K。</p><p>　　4.2.5 愛克曼公式(Ackermann’s Formula)</p><p>　　考慮由式（4.1）給出的系統(tǒng)，重寫為</p><p>　　假設(shè)該被控系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，又設(shè)期望閉環(huán)極點(diǎn)為。</p&

40、gt;<p>　　利用線性狀態(tài)反饋控制律</p><p>　　將系統(tǒng)狀態(tài)方程改寫為</p><p><b>　　(4.14)</b></p><p><b>　　定義</b></p><p>　　則所期望的特征方程為：</p><p>　　由于凱萊-哈密爾頓定理

41、指出應(yīng)滿足其自身的特征方程，所以</p><p><b>　　(4.15）</b></p><p>　　我們用式（4.15）來推導(dǎo)愛克曼公式。為簡化推導(dǎo)，考慮n = 3的情況。對(duì)任意正整數(shù)，下面的推導(dǎo)可方便地加以推廣。</p><p><b>　　考慮下列恒等式</b></p><p>　　將上述方

42、程分別乘以，并相加，則可得</p><p><b>　　（4.16）</b></p><p>　　參照式（4.15）可得</p><p><b>　　也可得到</b></p><p>　　將上述最后兩式代入式（4.16），可得</p><p><b>　　由于，故&

43、lt;/b></p><p><b>　　（4.17）</b></p><p>　　由于系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，所以能控性矩陣</p><p>　　的逆存在。在式（4.17）的兩端均左乘能控性矩陣Q的逆，可得</p><p>　　上式兩端左乘[0 0 1]，可得</p><p><b&g

44、t;　　重寫為</b></p><p>　　從而給出了所需的狀態(tài)反饋增益矩陣K。</p><p>　　對(duì)任一正整數(shù)n，有(4.18)</p><p>　　式（4.18）稱為用于確定狀態(tài)反饋增益矩陣K的愛克曼方程。</p><p>　　--------------------------------------------

45、----------------------------------</p><p>　　[例4.1] 考慮如下線性定常系統(tǒng)</p><p><b>　　式中</b></p><p>　　利用狀態(tài)反饋控制，希望該系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為s = -2±j4和s = -10。試確定狀態(tài)反饋增益矩陣K。</p><p>　

46、　首先需檢驗(yàn)該系統(tǒng)的能控性矩陣。由于能控性矩陣為：</p><p>　　所以得出detQ = -1。因此，rankQ = 3。因而該系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，可任意配置極點(diǎn)。</p><p>　　下面，我們來求解這個(gè)問題，并用本章介紹的3種方法中的每一種求解。</p><p>　　方法1：第一種方法是利用式（4.13）。該系統(tǒng)的特征方程為：</p><

47、;p><b>　　因此</b></p><p><b>　　期望的特征方程為</b></p><p><b>　　因此</b></p><p>　　參照式（4.13），可得</p><p>　　方法2：設(shè)期望的狀態(tài)反饋增益矩陣為</p><p>　

48、　并使和期望的特征多項(xiàng)式相等，可得</p><p><b>　　因此</b></p><p><b>　　從中可得</b></p><p><b>　　或</b></p><p>　　方法3：第三種方法是利用愛克曼公式。參見式（4.18），可得</p><p

49、><b>　　由于</b></p><p><b>　　且</b></p><p><b>　　可得</b></p><p>　　顯然，這3種方法所得到的反饋增益矩陣K是相同的。使用狀態(tài)反饋方法，正如所期望的那樣，可將閉環(huán)極點(diǎn)配置在s = -2±j4和s = -10處。</p&g

50、t;<p>　　------------------------------------------------------------------------------</p><p>　　應(yīng)當(dāng)注意，如果系統(tǒng)的階次n等于或大于4，則推薦使用方法1和3，因?yàn)樗械木仃囉?jì)算都可由計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。如果使用方法2，由于計(jì)算機(jī)不能處理含有未知參數(shù)的特征方程，因此必須進(jìn)行手工計(jì)算。</p><

51、;p><b>　　4.2.6 注釋</b></p><p>　　對(duì)于一個(gè)給定的系統(tǒng)，矩陣K不是唯一的，而是依賴于選擇期望閉環(huán)極點(diǎn)的位置（這決定了響應(yīng)速度與阻尼），這一點(diǎn)很重要。注意，所期望的閉環(huán)極點(diǎn)或所期望狀態(tài)方程的選擇是在誤差向量的快速性和干擾以及測(cè)量噪聲的靈敏性之間的一種折衷。也就是說，如果加快誤差響應(yīng)速度，則干擾和測(cè)量噪聲的影響通常也隨之增大。如果系統(tǒng)是2階的，那么系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性

52、（響應(yīng)特性）正好與系統(tǒng)期望的閉環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)的位置聯(lián)系起來。對(duì)于更高階的系統(tǒng)，。所期望的閉環(huán)極點(diǎn)位置不能和系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性（響應(yīng)特性）聯(lián)系起來。因此，在決定給定系統(tǒng)的狀態(tài)反饋增益矩陣K時(shí)，最好通過計(jì)算機(jī)仿真來檢驗(yàn)系統(tǒng)在幾種不同矩陣（基于幾種不同的所期望的特征方程）下的響應(yīng)特性，并且選出使系統(tǒng)總體性能最好的矩陣K。</p><p>　　4.3 利用MATLAB求解極點(diǎn)配置問題</p><p>　

53、　用MATLAB易于解極點(diǎn)配置問題?，F(xiàn)在我們來解在例4.1中討論的同樣問題。系統(tǒng)方程為</p><p><b>　　式中，</b></p><p>　　采用狀態(tài)反饋控制，希望系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為s =μi(i=1,2,3)，其中</p><p>　　現(xiàn)求所需的狀態(tài)反饋增益矩陣K。</p><p>　　如果在設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制矩

54、陣K時(shí)采用變換矩陣P，則必須求特征方程|sI-A|=0的系數(shù)、、和。這可通過給計(jì)算機(jī)輸入語句</p><p>　　P = poly(A)</p><p>　　來實(shí)現(xiàn)。在計(jì)算機(jī)屏幕上將顯示如下一組系數(shù)：</p><p><b>　　則。</b></p><p>　　為了得到變換矩陣P，首先將矩陣Q和W輸入計(jì)算機(jī)，其中<

55、;/p><p>　　然后可以很容易地采用MATLAB完成Q和W相乘。</p><p>　　其次，再求期望的特征方程?？啥x矩陣J，使得</p><p>　　從而可利用如下poly(J)命令來完成，即</p><p><b>　　因此，有</b></p><p><b>　　即對(duì)于，可采用。&

56、lt;/b></p><p>　　故狀態(tài)反饋增益矩陣K可由下式確定：</p><p><b>　　或</b></p><p>　　采用變換矩陣P求解該例題的MATLAB程序如MATLAB Program 4.1所示。</p><p>　　如果采用愛克曼公式來確定狀態(tài)反饋增益矩陣K，必須首先計(jì)算矩陣特征方程φ(A)。

57、 </p><p><b>　　對(duì)于該系統(tǒng)</b></p><p>　　在MATLAB中，利用Polyvalm可計(jì)算矩陣多項(xiàng)式φ(A)。對(duì)于給定的矩陣J，如前所示，poly(J)可計(jì)算特征多項(xiàng)式的系數(shù)。對(duì)于</p><p>　　利用MATLAB命令Polyvalm(Poly(J), A)，可計(jì)算下列φ(A)，即</p><p

58、><b>　　實(shí)際上，</b></p><p>　　利用愛克曼公式，MATLAB Program 4.2將求出狀態(tài)反饋增益矩陣K。</p><p>　　4.4 利用極點(diǎn)配置法設(shè)計(jì)調(diào)節(jié)器型系統(tǒng)</p><p>　　考慮如圖4.2所示的倒立擺系統(tǒng)。圖中，倒立擺安裝在一個(gè)小車上。這里僅考慮倒立擺在圖面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的二維問題。 </p>

59、<p><b>　?。ㄈ眻D，見更新版）</b></p><p>　　圖4.2 倒立擺系統(tǒng)</p><p>　　希望在有干擾（如作用于質(zhì)量m上的陣風(fēng)施加于小車的這類外力）時(shí)，保持?jǐn)[垂直。當(dāng)以合適的控制力施加于小車時(shí)，可將該傾斜的擺返回到垂直位置，且在每一控制過程結(jié)束時(shí)，小車都將返回到參考位置x = 0。</p><p>　　設(shè)計(jì)一個(gè)控

60、制系統(tǒng)，使得當(dāng)給定任意初始條件（由于擾引起）時(shí)，用合理的阻尼（如對(duì)主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)有ζ=0.5），可快速地（如調(diào)整時(shí)間約為2秒）使擺返回至垂直位置，并使小車返回至參考位置（x = 0）。假設(shè)M、m和l的值為</p><p>　　M = 2千克， m = 0.1千克， l = 0.5米</p><p>　　進(jìn)一步設(shè)擺的質(zhì)量集中在桿的頂端，且桿是無質(zhì)量的。</p><p

61、>　　對(duì)于給定的角度θ和（/或）角速度的初始條件，設(shè)計(jì)一個(gè)使倒立擺保持在垂直位置的控制系統(tǒng)。此外，還要求控制系統(tǒng)在每一控制過程結(jié)束時(shí)，小車返回到參考位置。該系統(tǒng)何初始條件的干擾有效地做出響應(yīng)（所期望的角θd總為零，并且所期望的小車的位置總在參考位置上。因此，該系統(tǒng)是一個(gè)調(diào)節(jié)器系統(tǒng)）。</p><p>　　這里，我們采用極點(diǎn)配置的狀態(tài)反饋控制方法來設(shè)計(jì)控制器。如前所述，對(duì)任意極點(diǎn)配置的充要條件為系統(tǒng)狀態(tài)完全能

62、控。</p><p>　　設(shè)計(jì)的第一步是推導(dǎo)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。</p><p>　　4.4.1 數(shù)學(xué)建模</p><p>　　參見3.6節(jié)，我們已推導(dǎo)了如圖3-16 (a)所示的倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。當(dāng)角度θ不大時(shí)，描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的方程為式（3.55）和（3.56）。將其重寫如下為</p><p>　　式中，I是擺桿圍繞其重心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

63、。由于該系統(tǒng)的質(zhì)量集中在桿的頂端，所以重心就是擺球的中心。在分析中，假設(shè)擺圍繞其重心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為零，即I = 0。那么，其數(shù)學(xué)模型為</p><p><b>　　(4.19)</b></p><p><b>　　(4.20)</b></p><p>　　式（4.19）和(4.20)定義了如圖4.2所示的倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

64、（只要θ不大，線性化方程就是有效的）。</p><p>　　式（4.19）和（4.20）可改寫為</p><p><b>　　(4.21)</b></p><p><b>　　(4.22)</b></p><p>　　式（4.21）可由式（4.19）和(4.20)消去得到。 式（4.22）可由式（4

65、.19）和（4.20）消去得到。從式（4.21）可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為</p><p>　　代入給定的數(shù)值，且注意到g = 9.81米/秒2，可得</p><p>　　顯然，該倒立擺系統(tǒng)在負(fù)實(shí)軸上有一個(gè)極點(diǎn)（s = -4.539），另一個(gè)極點(diǎn)在正實(shí)軸上（s = 4.539），因此，該系統(tǒng)是開環(huán)不穩(wěn)定的。</p><p><b>　　定義狀態(tài)變量為</b

66、></p><p>　　注意，θ表示擺桿圍繞點(diǎn)P的旋轉(zhuǎn)角，x表示小車的位置，將θ和x作為系統(tǒng)的輸出，即</p><p>　　又由于θ和x均是易于量測(cè)的量。由狀態(tài)變量的定義和式（4.21）和（4.22），可得</p><p>　　以向量-矩陣方程的形式表示，可得</p><p><b>　　(4.23)</b><

67、;/p><p><b>　　(4.24)</b></p><p>　　式（4.23）和（4.24）給出了該倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式（注意，該系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式不是唯一的，存在無窮多個(gè)這樣的表達(dá)式）。</p><p>　　代入給定的M、m和l的值，可得</p><p>　　于是，式（4.23）和（4.24）可重寫為：<

68、;/p><p><b>　　式中</b></p><p>　　采用下列線性狀態(tài)反饋控制方案</p><p>　　為此首先檢驗(yàn)該系統(tǒng)是否狀態(tài)完全能控。由于</p><p>　　的秩為4，所以系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。</p><p><b>　　系統(tǒng)的特征方程為</b></p&g

69、t;<p><b>　　因此</b></p><p>　　其次，選擇期望的閉環(huán)極點(diǎn)位置。由于要求系統(tǒng)具有相當(dāng)短的調(diào)整時(shí)間（約2秒）和合適的阻尼（在標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)中等價(jià)于ξ= 0.5），所以我們選擇期望的閉環(huán)極點(diǎn)為(i =1,2,3,4），其中</p><p>　　在這種情況下，μ1，和μ2是一對(duì)具有ξ= 0.5和ωn = 4的主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)。剩余的兩個(gè)極點(diǎn)

70、μ3和μ4位于遠(yuǎn)離主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)對(duì)的左邊。因此，μ3和μ4響應(yīng)的影響很小。所以，可滿足快速性和阻尼的要求。期望的特征方程為</p><p><b>　　因此</b></p><p>　　現(xiàn)采用式（4.13）來確定狀態(tài)反饋增益矩陣K，即</p><p>　　式中P由式（4.4）得到，即</p><p>　　這里Q和W分別由式

71、（4.5）和(4.6)得出。于是</p><p><b>　　變換矩陣P成為</b></p><p><b>　　因此</b></p><p>　　故狀態(tài)反饋增益矩陣K為</p><p><b>　　反饋控制輸入為</b></p><p>　　注意，這是

72、一個(gè)調(diào)節(jié)器系統(tǒng)。期望的角θd總為零，且期望的小車的位置也總為零。因此，參考輸入為零（將在4.6節(jié)考慮有參考輸入時(shí)，對(duì)應(yīng)的小車的運(yùn)動(dòng)問題）。圖4.3為用于倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制結(jié)構(gòu)圖（因?yàn)樵撓到y(tǒng)中的參考輸入總為零，所以在圖中沒有畫出）。</p><p><b>　?。ㄈ眻D，見更新版）</b></p><p>　　圖4.3 具有線性狀態(tài)反饋控制的倒立擺系統(tǒng)</p

73、><p>　　4.4.2 利用MATLAB確定狀態(tài)反饋增益矩陣K</p><p>　　MATLAB Program 4.3是一種能求出所需狀態(tài)反饋增益矩陣K的MATLAB程序。</p><p>　　4.4.3 所得系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)</p><p>　　當(dāng)狀態(tài)反饋增益矩陣確定后，系統(tǒng)的性能就可由計(jì)算機(jī)仿真來檢驗(yàn)。為了求得對(duì)任意初始條件的響應(yīng)，可

74、按下列步驟進(jìn)行：</p><p>　　系統(tǒng)的基本方程為狀態(tài)方程</p><p><b>　　和線性反饋控制律</b></p><p>　　將上述控制輸入代入狀態(tài)方程，可得</p><p>　　將有關(guān)數(shù)據(jù)代入上式，即</p><p><b>　　(4.25)</b></p

75、><p>　　下面我們用MATLAB來求所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)。</p><p>　　系統(tǒng)的狀態(tài)方程為式（4.25）。假設(shè)初始條件為</p><p><b>　　(4.26)</b></p><p>　　將式（4.25）重寫為</p><p><b>　　式中</b><

76、;/p><p>　　將初始條件向量定義為，即</p><p>　　則系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)可通過求解下列方程得到（對(duì)初始條件的響應(yīng)可參見4.4節(jié)），即</p><p><b>　　式中</b></p><p>　　MATLAB Program 4.4 將求出由式（4.25）定義的系統(tǒng)對(duì)由式（4.26）指定的初始條件的響應(yīng)。注意

77、，在給出的MATLAB程序中，使用下了列符號(hào)：</p><p>　　圖4.4畫出了用MATLAB Program 4.4求得的響應(yīng)曲線。這些曲線表明，當(dāng)給定倒立擺系統(tǒng)的初始條件θ(0) = 0.1孤度，，x (0) = 0和時(shí)，它是如何返回到參考位置（θ= 0，x = 0）的。不難看出，這些響應(yīng)曲線是令人滿意的（這里，我們用subplot命令同時(shí)畫出幾個(gè)獨(dú)立的曲線 ，并將它們畫在同一張紙上）。</p>

78、<p>　　注意，該響應(yīng)曲線依賴于所期望的特征方程（即所期望的閉環(huán)極點(diǎn)），這一點(diǎn)非常重要。對(duì)不同的期望特征方程，響應(yīng)曲線（對(duì)相同的初始條件）是不同的。</p><p>　　較快的響應(yīng)通常要求較大的控制信號(hào)。在設(shè)計(jì)這樣的控制系統(tǒng)時(shí)，最好檢驗(yàn)幾組不同的期望閉環(huán)極點(diǎn)，并確定相應(yīng)的矩陣K。在完成系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)仿真并檢驗(yàn)了響應(yīng)曲線后，選擇系統(tǒng)總體性能最好的矩陣K。系統(tǒng)總體性能最好的標(biāo)準(zhǔn)取決于具體情況，包括應(yīng)考慮

79、的經(jīng)濟(jì)因素。</p><p><b>　　（缺圖，見更新版）</b></p><p>　　圖4.4 倒立擺系統(tǒng)在初始條件作用下的響應(yīng)</p><p><b>　　習(xí)題</b></p><p>　　4.1 給定線性定常系統(tǒng)</p><p><b>　　式中<

80、/b></p><p>　　試將該狀態(tài)方程化為能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形。</p><p>　　4.2 給定線性定常系統(tǒng)</p><p><b>　　式中</b></p><p>　　試將該狀態(tài)方程化為能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形。</p><p>　　4.3 給定線性定常系統(tǒng)</p>&l

81、t;p><b>　　式中</b></p><p>　　采用狀態(tài)反饋控制律，要求該系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為s = -2±j4，s = -10。試確定狀態(tài)反饋增益矩陣K。</p><p>　　4.4 試用MATLAB求解習(xí)題4.3。</p><p>　　4.5 給定線性定常系統(tǒng)</p><p>　　試證明無論選擇

82、什么樣的矩陣K，該系統(tǒng)均不能通過狀態(tài)反饋控制來穩(wěn)定。</p><p>　　4.6 調(diào)節(jié)器系統(tǒng)被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為</p><p><b>　　定義狀態(tài)變量為</b></p><p>　　利用狀態(tài)反饋控制律，要求閉環(huán)極點(diǎn)為 (i=1,2,3)，其中</p><p>　　試確定必需的狀態(tài)反饋增益矩陣K。</p>