大學(xué)物理a第14章-機(jī)械波

1、2024/3/19,1,機(jī)械波,第八章,,2024/3/19,2,重點(diǎn)：,物理意義；波動(dòng)表達(dá)式的建立,（2）波的能量和能流密度,（3）波的干涉,（1）平面簡諧波波動(dòng)表達(dá)式,2024/3/19,3,波動(dòng)是物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的重要形式之一波動(dòng)的分類機(jī)械波：機(jī)械振動(dòng)在介質(zhì)中的傳播：聲波、水波、地震波 我們聽到的聲音，一般是聲源的振動(dòng)擾動(dòng)了空氣，擾動(dòng)以波的形式傳遞形成的。頻率在20HZ與20000HZ之間的機(jī)械波可以使人產(chǎn)生聲音的

2、感覺，我們把它稱為聲波。頻率在20HZ以下的機(jī)械波叫做次聲波，而頻率在20000HZ以上的機(jī)械波叫做超聲波。 電磁波：變化的電場和磁場在空間的傳播 無線電波、光波、X射線……概率波(物質(zhì)波)：波動(dòng)是一切微觀粒子的屬性，與微觀粒子對(duì)應(yīng)的波稱為物質(zhì)波。,前言,2024/3/19,4,各種類型的波有其特殊性，但也有普遍的共性：具有一定的傳播速度伴隨有能量的傳播是振動(dòng)狀態(tài)的傳播過程能產(chǎn)生反射、干涉

3、、衍射等現(xiàn)象有類似的波動(dòng)方程。……,2024/3/19,5,17-1 機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播,一、機(jī)械波產(chǎn)生的條件,1、有作機(jī)械振動(dòng)的物體，即波源,2、有連續(xù)的介質(zhì),2024/3/19,6,彈性媒質(zhì)：在物體內(nèi)部傳播的機(jī)械波都要依靠物體的彈性聯(lián)系才能將振動(dòng)由近及遠(yuǎn)傳播。這類靠彈性來傳播波的媒質(zhì)稱為彈性媒質(zhì)。彈性波：如果波動(dòng)中使介質(zhì)各部分振動(dòng)的回復(fù)力是彈性力，則稱為彈性波。,彈性力： 有正彈性力（壓、張彈性力）和切彈性力； 液體和氣體彈

4、性介質(zhì)中只有正彈性力而沒有切彈性力。,二、按照質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向的關(guān)系，將彈性媒質(zhì)中的波分為縱波和橫波,橫波——振動(dòng)方向與傳播方向垂直，如電磁波,縱波——振動(dòng)方向與傳播方向相同，如聲波。,2024/3/19,9,小結(jié)：,某時(shí)刻、某點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)或相位將在較晚的時(shí)刻較遠(yuǎn)的地方重現(xiàn)，同一時(shí)刻介質(zhì)中各點(diǎn)呈現(xiàn)出波源先前各個(gè)時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)。媒質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)并不隨波前進(jìn)，各質(zhì)點(diǎn)僅在各自的平衡位置附近振動(dòng)，即波是振動(dòng)狀態(tài)的傳播，是能量的傳播，沒有

5、質(zhì)量的遷移。,2024/3/19,10,小結(jié)（續(xù)）：,同一時(shí)刻沿著波的傳播方向各質(zhì)點(diǎn)的相位依次落后。這是因?yàn)殡x波源越遠(yuǎn)的質(zhì)點(diǎn)，開始振動(dòng)得越晚。當(dāng)介質(zhì)均勻，各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律與波源相同。無損耗時(shí)，各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振幅相等。若波源做簡諧振動(dòng)，則介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)也做簡諧振動(dòng)。,2024/3/19,11,三、波的幾何描述,波場--波傳播到的空間。,波面（同相面）--波場中同一時(shí)刻振動(dòng)位相相同的點(diǎn)的軌跡。如：1.石子落入水中，以石子落水點(diǎn)為圓心，激起一

6、個(gè)個(gè)向外擴(kuò)展的同心圓環(huán)狀水波，沿著任一圓環(huán)，各點(diǎn)振動(dòng)狀態(tài)相同。 2.點(diǎn)狀聲源發(fā)出的聲波：波面為球面,波前（波陣面）--把某一時(shí)刻波動(dòng)所到達(dá)的各點(diǎn)所連成的曲面叫做波前（最前面的波面）。 波前表達(dá)了一個(gè)波現(xiàn)在傳播了多遠(yuǎn) 波前隨時(shí)間推移 波前的相位始終是t＝0時(shí)波源的相位，且始終比其他波面的相位滯后,2024/3/19,12,,,,注意：在均勻介質(zhì)中，波線與波面正交。波線與振動(dòng)方向不同沿波線方向各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位依次落后。

7、波線上任意一點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)就代表了一個(gè)波面上所有點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)。,波線,,波線（波射線）--代表波的傳播方向的射線。,2024/3/19,13,,,,,,,波面,波線,球面波,波線,球面波：波面為球面，其波線為沿半徑方向由點(diǎn)波源發(fā)出的直線,柱面波：波面是柱面的波,,,,,,,,,波線,波面,平面波,,,,,,,,波面,波線,平面波：波面是平面的波稱為平面波平面波的波線相互平行以波線為橫軸，只要X的位置確定，并且確定了一條波線上X處的振動(dòng)

8、狀態(tài)，則此波面上所有質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)都確定了。,2024/3/19,15,四、波的時(shí)空描述,振動(dòng)狀態(tài)（即位相）在單位時(shí)間內(nèi)傳播的距離稱為波速 ，也稱之相速。,1、波速 u,在固體媒質(zhì)中縱波波速為,G、 E為媒質(zhì)的切變彈性模量和楊氏彈性模量?為介質(zhì)的密度,在固體媒質(zhì)中橫波波速為,在同一種固體媒質(zhì)中，橫波波速比縱波波速小些,3、波長?,2、波的周期和頻率,波的周期：一個(gè)完整波形通過介質(zhì)中某固定點(diǎn)所需 的時(shí)間，用T表示。,

9、波的頻率：單位時(shí)間內(nèi)通過介質(zhì)中某固定點(diǎn)完整波 的數(shù)目，用?表示。,同一波線上相鄰的位相差為2? 的兩質(zhì)點(diǎn)的距離。,2024/3/19,17,17-2 平面簡諧波的波動(dòng)方程,一、平面簡諧波： 波前為平面、波源是簡諧振動(dòng)所形成的波。 最簡單、最基本的波，因?yàn)橐磺袕?fù)雜的波都可視為若干平面簡諧波迭加而成。,假定：傳播簡諧波的介質(zhì)為不吸收能量、各向同性、均勻、無限大目的：保證平面簡諧波所到之處，介質(zhì)中各點(diǎn)振動(dòng)的

10、振幅相同，在垂直波面的平面上，振動(dòng)狀態(tài)完全相同。,2024/3/19,18,簡諧波特征波動(dòng)空間（波場）中各點(diǎn)均作同頻率的簡諧振動(dòng)——每一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)具有時(shí)間周期性；任一時(shí)刻波線上各點(diǎn)振動(dòng)狀態(tài)的分布呈余弦規(guī)律——波線上各點(diǎn)相位的分布具有空間周期性。 說明： 前一特征說明各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，后一特征說明各點(diǎn)間運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（相位）的內(nèi)在聯(lián)系，反映了波動(dòng)的本質(zhì)特征——是振動(dòng)狀態(tài)（相位）的傳播，僅有前一特征而不具備后一

11、特征的運(yùn)動(dòng)，本質(zhì)上只是一種集體振動(dòng)，而并非真正的波（如駐波）。,2024/3/19,19,二、平面簡諧波的波動(dòng)方程,y表示該處質(zhì)點(diǎn)偏離平衡位置的位移x為p點(diǎn)在x軸的坐標(biāo)，即P點(diǎn)的平衡位置坐標(biāo),波動(dòng)方程：描述任意時(shí)刻t，任一平衡位置為x的質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移y隨時(shí)間變化的規(guī)律，即,2024/3/19,20,用波形圖表示波動(dòng)：,不同的平衡位置坐標(biāo)x上的質(zhì)點(diǎn)，在同一時(shí)刻離開平衡位置的位移y。,,,,,,x,照片,2024/3/19,21,

12、一平面簡諧波在理想介質(zhì)中沿x軸正向傳播，x軸即為某一波線,設(shè)原點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式：,,,,,,x,推導(dǎo)波動(dòng)方程,（1）.從時(shí)間延遲上考慮,1. 沿x軸正向傳播的平面簡諧波的波動(dòng)方程,2024/3/19,22,p點(diǎn)的振動(dòng)方程：,O點(diǎn)振動(dòng)狀態(tài)傳到p點(diǎn)需用,對(duì)任意給定的P點(diǎn)，此振動(dòng)方程即是沿x軸正向傳播的平面簡諧波的波動(dòng)方程,,分析：,2024/3/19,23,沿x軸負(fù)向傳播的平面簡諧波的波動(dòng)方程,沿著波傳播方向，各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)時(shí)間上依次落后于波源

13、振動(dòng),為p點(diǎn)的振動(dòng)超前于原點(diǎn)振動(dòng)的時(shí)間,2024/3/19,24,2.從相位延遲上考慮,（1）波向右傳播，P點(diǎn)相位比O點(diǎn)滯后,此即沿x軸正向傳播的任一點(diǎn)的振動(dòng)方程，就是平面簡諧波的波動(dòng)方程。,設(shè)原點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式：,2024/3/19,25,（2）波向左傳播，P點(diǎn)相位比O點(diǎn)超前,此即沿x軸負(fù)向傳播的任一點(diǎn)的振動(dòng)方程，就是平面簡諧波的波動(dòng)方程。,或,波矢，表示在2? 長度內(nèi)所具有的完整波的數(shù)目。物理意義：沿波線單位長度上相位的改變量。,歸納：

14、當(dāng)波向左或者向右傳播，波動(dòng)方程形式可以為：,對(duì)比：,單位時(shí)間上相位的改變量,2024/3/19,27,步驟：先寫出任一個(gè)波源（參考點(diǎn)）的振動(dòng)方程，再由相位的超前滯后關(guān)系寫任意點(diǎn)的振動(dòng)方程，此即待求的波動(dòng)方程。,如何寫波動(dòng)方程：,二、波動(dòng)方程的物理意義,1、如果給定x，即x=x0,x0處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)初相為,為x0處質(zhì)點(diǎn)落后于原點(diǎn)的位相,若x0=? 則 x0處質(zhì)點(diǎn)落后于原點(diǎn)的位相為2?,?是波在空間上的周期性的標(biāo)志,振動(dòng)曲線,2、如果給定t

15、，即t=t0 則y=y(x),表示給定時(shí)刻波線上各質(zhì)點(diǎn)在同一時(shí)刻的位移分布，即給定了t0 時(shí)刻的波形,波形圖,相位沿x方向逐點(diǎn)變化，這就定量描述了波線上各質(zhì)元在運(yùn)動(dòng)步調(diào)上的差異及其內(nèi)在聯(lián)系。正是這種相位差異和聯(lián)系反映了波動(dòng)中振動(dòng)狀態(tài)由近及遠(yuǎn)的傳播,2024/3/19,30,同一質(zhì)點(diǎn)在相鄰兩時(shí)刻的振動(dòng)位相差,T是波在時(shí)間上的周期性的標(biāo)志,3.如x,t 均變化y=y(x,t)包含了不同時(shí)刻的波形,,,,,,,,,t時(shí)刻的波形方程：,t時(shí)

16、刻,x處的某個(gè)振動(dòng)狀態(tài)經(jīng)過?t ，傳播了?x的距離,從而有：,2024/3/19,32,如y=y (x ,t) 中x ,t 均變化,物理意義：隨時(shí)間的推移，經(jīng) 時(shí)間后 X處質(zhì)元的振動(dòng)狀態(tài)以波速 傳至 處。當(dāng)t 和 x 都變化時(shí)，波動(dòng)方程不僅描述了所有質(zhì)元的簡諧運(yùn)動(dòng)，展示出任一時(shí)刻質(zhì)元振動(dòng)狀態(tài)的空間簡諧分布，而且定量描繪出振動(dòng)狀態(tài)和波形以波速向前傳播的動(dòng)態(tài)圖景。,2024/3/19,33

17、,行波：指振動(dòng)狀態(tài)和能量、動(dòng)量都在傳播的波。意思是波不斷地向前推進(jìn)。,,波動(dòng)方程的物理意義： 描述任意時(shí)刻t，任一平衡位置為x的質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移 就是波動(dòng)方程。,波形圖,波形圖：不同平衡位置坐標(biāo)x上的質(zhì)點(diǎn)在同一時(shí)刻離開平衡位置的位移就是波形圖。,2024/3/19,34,三、平面波的波動(dòng)微分方程,沿x方向傳播的平面波動(dòng)微分方程,求t 的二階導(dǎo)數(shù),求x的二階導(dǎo)數(shù),2024/

18、3/19,35,例：如圖所示，表示原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線；設(shè)波向正向傳播，波速為2米/秒。試求原點(diǎn)處的振動(dòng)方程和平面簡諧波的波動(dòng)表達(dá)式。,2024/3/19,36,解：,設(shè)原點(diǎn)的振動(dòng)方程,從圖可知：振幅為0.2m，周期為2s,振動(dòng)方程為：,波動(dòng)表達(dá)式：,2024/3/19,37,例2：如圖所示，表示開始時(shí)刻平面簡諧波的波形圖。設(shè)波向正向傳播，波速為2米每秒。試求原點(diǎn)處的振動(dòng)方程和平面簡諧波的波動(dòng)表達(dá)式。,,2024/3/19,38,20

19、24/3/19,39,兩列波若頻率相同、振動(dòng)方向相同、在相遇點(diǎn)的位相相同或位相差恒定，則合成波場中會(huì)出現(xiàn)某些點(diǎn)的振動(dòng)始終加強(qiáng)，另一點(diǎn)的振動(dòng)始終減弱（或完全抵消），這種現(xiàn)象稱為波的干涉。,相干條件,,,,,2. 具有恒定的相位差,3. 振動(dòng)方向相同,1. 兩波源具有相同的頻率,滿足相干條件的波源稱為相干波源。,二、波的干涉,在現(xiàn)實(shí)中要產(chǎn)生明顯的干涉現(xiàn)象，上述條件只能算必要條件，如果兩波源的振幅相差懸殊，將導(dǎo)致干涉現(xiàn)象的可見度降低。,傳播到

20、p點(diǎn)引起的振動(dòng)分別為：,在p點(diǎn)的振動(dòng)為同方向同頻率振動(dòng)的合成。,設(shè)有兩個(gè)相干波源S1和S2發(fā)出的簡諧波在空間p點(diǎn)相遇。,合成振動(dòng)為：,其中：,由于波的強(qiáng)度正比于振幅的平方，所以合振動(dòng)的強(qiáng)度為：,對(duì)空間不同的位置，都有恒定的??，因而合強(qiáng)度在空間形成穩(wěn)定的分布，即有干涉現(xiàn)象。,其中：,相長干涉的條件：,相消干涉的條件：,波的相干疊加,2024/3/19,43,當(dāng)兩相干波源為同相波源時(shí)，相干條件寫為,相長干涉,? 稱為波程差,例題4

21、位于A、B兩點(diǎn)的兩個(gè)波源，振幅相等，頻率都是100赫茲， 相位差為?，其A、B相距30米，波速為400米/秒，求:A、B連線之間因相干干涉而靜止的各點(diǎn)的位置。,解：如圖所示，取A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B聯(lián)線為X軸，取A點(diǎn)的振動(dòng)方程 :,在X軸上A點(diǎn)發(fā)出的行波方程：,B點(diǎn)的振動(dòng)方程 :,分析：因?yàn)閮刹ㄍl率，同振幅，同方向振動(dòng)，所以相干為靜止的點(diǎn)滿足,B點(diǎn)的振動(dòng)方程 :,在X軸上B點(diǎn)發(fā)出的行波方程：,因?yàn)閮刹ㄍl率，同振幅，同方向振動(dòng)，所以相