復(fù)習(xí)-工程數(shù)學(xué)-nf[1]

1、1,一、復(fù)變函數(shù),2,主要內(nèi)容,1、復(fù)數(shù)2、復(fù)變函數(shù)3、導(dǎo)數(shù)4、復(fù)函數(shù)的積分5、復(fù)函數(shù)的級數(shù)6、留數(shù),3,1、復(fù)數(shù),兩個復(fù)數(shù)相等的條件：當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)部與虛部分別相等代數(shù)運(yùn)算：滿足交換律、結(jié)合律、分配率共軛復(fù)數(shù),,,,4,1、復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)數(shù)z=x+iy可以用橫坐標(biāo)為x，縱坐標(biāo)為y的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)z=x+iy可以用模值和幅角表示,復(fù)數(shù)z的三角表達(dá)式,復(fù)數(shù)z的指數(shù)表達(dá)式,5,1復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)的乘冪與方根乘冪方根

2、,6,平面點(diǎn)集,,單連通區(qū)域設(shè)D為平面上任一區(qū)域若在D內(nèi)任作一條簡單閉曲線，而曲線所圍部分總屬于D，則稱D為單連通區(qū)域多連通區(qū)域不是單連通的區(qū)域稱為多連通區(qū)域或復(fù)連通區(qū)域,7,2、復(fù)變函數(shù),復(fù)平面映照,,z平面,,平面,復(fù)變函數(shù) 表示了z平面點(diǎn)集D到w 平面上的點(diǎn)集G之間的一種變換，即映照,8,初等函數(shù),指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)冪函數(shù)三角函數(shù),單值函數(shù)——Lnz的主值,

3、9,初等函數(shù),反三角函數(shù),10,初等函數(shù),雙曲與反雙曲函數(shù),11,初等函數(shù),反雙曲函數(shù),12,3、導(dǎo)數(shù),復(fù)變函數(shù)的極限極限的e-d 定義極限的運(yùn)算： （1）加減乘除的極限等于極限的加減乘除（2）,,注意：極限存在要求與z->z0的方式無關(guān)，而意味著從四面八方趨于z0 ，這與實(shí)函數(shù)情形時x->x0只有左右兩個方向是不同的,13,復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性,連續(xù)的判別準(zhǔn)則連續(xù)的性質(zhì)（1）連續(xù)函數(shù)的加減乘除仍連續(xù)（2）

4、連續(xù)函數(shù)的復(fù)合仍然連續(xù)（3）連續(xù)函數(shù)必有界，有界函數(shù)不一定連續(xù),14,復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù),定義：導(dǎo)數(shù)存在的充分必要條件：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,15,微分,微分,16,解析,解析的概念：在某點(diǎn)處解析，是指在該點(diǎn)及其鄰域內(nèi)可導(dǎo)；在某區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)與在某區(qū)域內(nèi)解析完全等價解析的判別：（1）實(shí)部與虛部可微（導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)）（2）滿足C－R方程,17,調(diào)和函數(shù),調(diào)和的概念：（1）具有二階偏導(dǎo)數(shù)（2）滿足拉普拉斯方程：共軛調(diào)和的概念

5、：（1）實(shí)部和虛部是調(diào)和函數(shù)（2）一階導(dǎo)數(shù)滿足C－R方程調(diào)和與解析的關(guān)系：解析的充分必要條件是虛部是實(shí)部的共軛調(diào)和函數(shù)或者說，負(fù)實(shí)部是虛部的共軛調(diào)和函數(shù),18,4、積分,定積分的計(jì)算方法：極限和：實(shí)部虛部：參數(shù)方程：,,,19,柯西積分定理,柯西積分定理若函數(shù) f(z) 在單連通域D內(nèi)處處解析則函數(shù) f(z) 沿D內(nèi)的任何一條封閉曲線C的積分為零：,20,復(fù)合閉路定理,21,柯西積分公式,,Cauchy積分公

6、式,,,22,高階導(dǎo)數(shù)求積分公式,不在于通過積分來求導(dǎo), 而在于通過求導(dǎo)來求積分.,高階導(dǎo)數(shù)公式的作用:,23,定積分的計(jì)算,,Cauchy積分定理,原函數(shù)的概念,復(fù)合閉路定理,Cauchy積分公式,高階導(dǎo)數(shù)公式,,,,,,,積分公式及計(jì)算,,24,5、級數(shù),復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的判斂（1）首先判別（2）基本判別方法：（3）實(shí)部和虛部：（4）絕對收斂：,25,函數(shù)項(xiàng)級數(shù),（1）冪級數(shù)部分和斂散性判別：收斂圓和

7、收斂半徑,級數(shù)必絕對收斂,,26,（2）Taylor級數(shù),常見函數(shù)的泰勒展開式,27,28,（3）羅朗級數(shù),29,羅朗級數(shù)展開的方法,（1）直接法（2）間接法,根據(jù)解析函數(shù) Laurent 級數(shù)展開式的唯一性, 可運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開 .,30,6、留數(shù),孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)的定義：可去奇點(diǎn)：級數(shù)沒有負(fù)冪項(xiàng) 極點(diǎn)：級數(shù)有有限個負(fù)冪項(xiàng),為常數(shù),31,,本性奇點(diǎn)展開式有無窮多個負(fù)冪項(xiàng)零點(diǎn)

8、零點(diǎn)的判別,32,,無窮遠(yuǎn)點(diǎn)對應(yīng)于z=0的特殊點(diǎn),33,留數(shù),留數(shù)定義,,,34,留數(shù)計(jì)算,留數(shù)計(jì)算可去奇點(diǎn)：本性奇點(diǎn)：極點(diǎn)：,35,留數(shù)定理,留數(shù)定理將沿封閉曲線C積分轉(zhuǎn)化為求,被積函數(shù)在C內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù).,,36,處留數(shù)的計(jì)算,用1/t替換，更好求時,級數(shù)展開較方便時,求孤立奇點(diǎn)的留數(shù)較方便時,37,第二篇 積分變換,38,主要內(nèi)容,1、傅立葉變換2、拉普拉斯變換,39,1、傅立葉變換,傅立葉級數(shù),周期函數(shù)的頻譜

9、序列,該式從物理上可看作是頻率為 的振動的疊加,40,,頻譜序列的幅值由系數(shù)確定：,41,非周期函數(shù)的傅立葉變換,,F(w)被稱為頻譜函數(shù)f(x)是角頻率為w的振動 的疊加,42,卷積定義,卷積運(yùn)算的性質(zhì)：,交換律：,分配律：,43,傅立葉變換性質(zhì)一覽,,線性,af(t)+bg(t),aF(w)+bG(w),位移,相似,微分,積分,卷積,F1(w) F2(w),44,d函數(shù)的定義,工程定義：,工程定義：