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文檔簡介
1、復(fù)習(xí),廖波,一、命題 可以確定其值的陳述語句。非陳述、悖論不可二、聯(lián)結(jié)詞:能給出真值表 否定?、合取?、析取?、條件?、雙條件? ? ?的等價(jià)式、異或、不可兼或、可兼或三、合式公式的定義(1)命題變元、常量是合法 (2)若A是合式公式,則? A合式(3)若A、B合則A?B、A?B、A?B、A?B合式(4)有限次使用(2)~(3)得到的式子都是合法的。學(xué)會判斷一個(gè)公式是否合法。,四、真值表 先確定公
2、式中命題變元即自由變元清單 可以分步給出每部分的公式的真值 也可以直接將各部分的值寫在運(yùn)算符的下方 證明兩個(gè)公式等值、求主析取范式、主合取范式、設(shè)計(jì)電路、重言式或永真式、矛盾式或永假式、可滿足式五、習(xí)題一 命題符號化第6題、14題、16、17、18、19、20、21、22、23、,六、等值式 1、定義:對于命題變元的每組值真值完全相同 2、p?q(1個(gè))、 p?q(3個(gè)) 3、分配律(正用/逆用)、德摩
3、、原=逆否 4、雙否、冪等、交換、結(jié)合、A?0 、A?1、 A?0、A?1、A??A、 A??A 5、局部等值變換后,整體仍等值。例題某次研討會及習(xí)題,寫出表達(dá)式再等值變換七、主析取范式與主合取范式 1、先給出真值表 2、公式=主析取=小項(xiàng)的析取=大項(xiàng)的合取 3、小項(xiàng)對應(yīng)真值表中取值為1之行 mo1=?p?q 大項(xiàng)………………………0之行 M01= p??q 4、先給出真值表再給出公式,設(shè)計(jì)題,八、析取范
4、式與合取范式 1、定義:主范式是每一項(xiàng)中每個(gè)變元均出現(xiàn),范式則不一定。九、習(xí)題二 1、掌握用真值表證明公式等值 2、學(xué)會用真值表求主析取、主合取范式 3、掌握設(shè)計(jì)題第27題 4、某科研所派人出國、29、30題 變元不多時(shí),可給出真值表主析取式范式 并且將明顯不成立的取值組去掉 變元多時(shí)先等值變換再求析取范式 也可用歸結(jié)法Robinson方法“對對碰”。,
5、十、推理的定義 1、定義:若A1,A2,……為真時(shí)公式B為真,則稱{A1, A2, …, An}可推出B,記為{A1,A2,,…}?B。 2、證明方法: (1)真值表法:A1?A2?…An?B為永真。 (2)利用范式:將??轉(zhuǎn)換為???,將?進(jìn)行到底,順、逆用分配律,得到公式的范式,判斷是否為永真。 (3)自然推理:從A1,A2,…An 為真出發(fā),推理判斷B是否為1。 (4)附加條件法: A1?A2?…
6、An ?(C?D)等價(jià)于A1?A2?…An ?C ?D (5)反證法或歸謬法 假設(shè)A1,A2,,…為1時(shí), B不為1即為0,也即?B為1,則可以推出矛盾的結(jié)論。,3、常用的等值式 p?q?(?p?q) ? ?q ? ?p p?q ? ?p?q 逆用 p?q ? (p?q)?(q?p) ? (?p?q) ? (p? ? q) ?(p?q) ? (?p??q) 主析取范式
7、 ?(p?q) ? ?p??q 順、逆用 ?(p?q) ? ?p??q 順、逆用 p?(q?r) ? (p?q) ?(p ? r) 順、逆用 p?(q?r) ? (p?q)?(p ? r) 順、逆用 p?(p?q) ?p p?(p?q) ?p 吸收律 多吃少 0?B?B,1?B ?1 0?B?0,1?B ?B,4、推理定律 1)A?A?B 因?yàn)锳為1時(shí), A?B 為1 2)A
8、?B?A 因?yàn)锳?B為1時(shí),A為1且B為1。 3)(A?B)?A?B 左=1時(shí)右=1,假言推理或分離原則 4)(A?B)?(B?C)?(A?C) 附加條件再(3) 傳遞律 可以不記,但要會推 5)(A?B)?(C?D)?(A?C)?(B?D) ?到?附加再(3) (A?B)?(?A?B)?B 歸謬法或反證法? B為1 6)(A?B)?(C?D)?(?B??D)?(?A??C)附加逆反再 7)(A?B
9、)??B??A 逆否再(3)。 拒取式 8)(A?B)??B?A ?到?轉(zhuǎn)換再(3). 析取三段論,5、Robinson證明法:機(jī)器證明法,歸結(jié)法 若p?q,?p?r為真,則q?r為真。 用反證法證明,即假設(shè)q?r為假。 (1) q?r為0 (假設(shè)) (2) q為0,r為0 (析取的定義) (3) p?q為1 (已知) (4) p?0為1 ((2)代入(3))
10、 (5) p為1 (由(4)及?的定義) (6) ?p?r為1 (已知) (7) ?p?0為1 ((2)代入(6)) (8) ?p為1 (由(7)及?的定義) (9) p? ?p為1 (由(5)與(8)可知),這是矛盾!故“假設(shè)q?r為假”錯(cuò)!,只能為真。證畢,(1)對對碰!(2)P必須變元q,r可為公式(3)前提為析取式的合取(4)可用于反證法與順證法。,十一、習(xí)題
11、三 1、游泳題、看電影給出真值表主析取式范式 2、如果小趙去小李也去等問題:推理方式 3、自然推理:分離原則、逆否、條件式來回用,十二、謂詞的符號即一階邏輯命題的符號化 1、個(gè)體常項(xiàng) 獨(dú)立存在的個(gè)體,如“楊圣洪” 2、個(gè)體變元 表示某個(gè)范圍(個(gè)體域)任意對象。 3、謂詞 大寫字母表示F,G,H 刻畫一個(gè)對象的性質(zhì)或多個(gè)對象之間的關(guān)系。 4、量詞 ? All “所有的”、 “全部”、 “一切”、……
12、 F(x)表示x男人是壞蛋 , ?xF(x) x值域?yàn)槟腥思?L(x,y)表示x人與y人是同事, ?x?yL(x,y) x,y值域?yàn)椤坝?jì)通院的老師集”。 5、量詞 ? Exist “存在有”、 “某些”、 “一部分”、 F(x)表示x男人是壞蛋 , ? xF(x) x值域?yàn)槟腥思?L(x,y)表示x人與y人是同事, ? x ? yL(x,y) x,y值域?yàn)椤昂洗髮W(xué)的職工集”。 6、掌握對簡單語句的符
13、號化,7、合法的謂詞公式非邏輯符號:個(gè)體常元、函數(shù)符號、謂詞符號邏輯符號:個(gè)體變元、量詞符號、聯(lián)結(jié)詞、逗號、括號。項(xiàng)的定義:個(gè)體常元與變元及其函數(shù)式為項(xiàng)。(1)個(gè)體常元和個(gè)體變元是項(xiàng)。(2)若?(x1,x2,…, xn)是n元函數(shù),t1,t2,…tn是n個(gè)項(xiàng),則?(t1,t2,…, tn)是項(xiàng)。(3)有限次使用(2)得到的表達(dá)式是項(xiàng)。原子公式: 設(shè)R(x1,x2,…,xn)是n元謂詞,t1,t2,…,tn是項(xiàng),則R(
14、t1,t2,…, tn)是原子公式。,7、合法的謂詞公式項(xiàng)的定義:個(gè)體常元與變元及其函數(shù)式為項(xiàng)。原子公式: 設(shè)R(x1,x2,…,xn)是n元謂詞,t1,t2,…,tn是項(xiàng),則R(t1,t2,…, tn)是原子公式。合式謂詞公式: (1)原子公式是合式公式; (2)若A是合式公式,則(?A)也是合式公式; (3)若A,B合式,則A?B, A?B, A?B , A?B 合式 (4)若A合式,則?xA、? xA合式 (
15、5)有限次使用(2)~(4)得到的式子是合式。,7、合法的謂詞公式項(xiàng)的定義:個(gè)體常元與變元及其函數(shù)式為項(xiàng)。原子公式: 設(shè)R(x1,x2,…,xn)是n元謂詞,t1,t2,…,tn是項(xiàng),則R(t1,t2,…, tn)是原子公式。合式謂詞公式: (?A)、A?B, A?B, A?B , A?B 、?xA、?xA量詞指導(dǎo)變元:?xA和?xA中的x量詞轄域:?xA和?xA中的A為量詞?/?轄域變元的約束出現(xiàn):在?x和?x的轄域A中
16、,x的所有出現(xiàn)都稱為約束出現(xiàn)。變元的自由出現(xiàn):不是約束出現(xiàn)的變元。,8、合法的謂詞公式的解釋例4.7:?x(F(x)?G(x)) 其中x的取值范圍是什么? F(x)的含義是什么?G(x)的含義是什么? 將這些問題確定后,表達(dá)式?x(F(x)?G(x))的真值就確定了,這就是公式的解釋。 dom(x)=D1=全總個(gè)體域 F(x)表示x是人,G(x)表示x是黃種人。 ?x(F(x)?G(x)):所有的人都是黃種
17、人,值為F. dom(x)=D2=實(shí)數(shù)集R F(x)表示x是自然數(shù),G(x)表示x是整數(shù)。 ?x(F(x)?G(x)):所有的自然數(shù)都是整數(shù),值為T.,9、謂詞公式的類型永真式(邏輯有效式):在任何解釋下均為真。永假式(矛盾式):在任何解釋下均為假??蓾M足式:至少存在一種解釋下為真。10、代換實(shí)例: 設(shè)A0是含命題變元p1,p2,...,pn的命題公式,A1,A2,...,An是n個(gè)謂詞公式(其中個(gè)體常元/變元/函
18、數(shù)/謂詞公式都未確定含義),用Ai處處代替A0中pi的出現(xiàn),所得公式A稱為A0的代換實(shí)例。 定理:命題重言式的代換實(shí)例都是永真式, 矛盾式的代換實(shí)例都是矛盾式。,十三、習(xí)題四 1、符號化 2、確定謂詞公式的值:常量、取值范圍、謂詞 3、自然推理:分離原則、逆否、條件式來回用十四、一階邏輯等值 1、定義: 二個(gè)謂詞公式等值是指對于謂詞的每種解釋下真值相同。 即A?B在每種解釋下都是永真式!,2、消去量詞等
19、值式 設(shè)個(gè)體域?yàn)橛邢藜疍={a1,a2,...,an},則有 ?xA(x) ?A(a1)?A(a2)?… ?A(an) ?xA(x) ?A(a1)?A(a2) ?… ?A(an)3、量詞否定等值式-對于量詞的德摩律 設(shè)公式A(x)含自由出現(xiàn)的個(gè)體變項(xiàng)x,則 (1) ??xA(x) ??x?A(x) 不是所有的個(gè)體有某性=有些個(gè)體沒有該特性 (2) ??xA(x) ? ? x?A(x)
20、沒有x有某些特性=所有的沒有這個(gè)特性4、無關(guān)項(xiàng)自由進(jìn)去轄域 設(shè)公式A(x)含自由出現(xiàn)的個(gè)體變項(xiàng)x,B不含x ?xA(x)?B? ?x(A(x)?B) ?xA(x)?B? ?x(A(x)?B),5、量詞分配: ? 對?, ?對? 設(shè)公式A(x),B(x)含自由出現(xiàn)的個(gè)體變項(xiàng)x,則: ?x(A(x)?B(x)) ??xA(x)??xB(x) ?x(A(x)?B(x)) ??xA(x)??xB(x) 但是
21、: ? 對?, ?對?不可分配 ?x(A(x)?B(x)) ??xA(x) ??xB(x) (*) 1?0 ?x(A(x)?B(x)) ??xA(x) ??xB(x) (**) 0?16、置換規(guī)則 若A1?B1,則將某公式?(A1,A2,...,An)中的A全部換成B后得到?(B1,A2,...,An),仍然等值即 ?(A1,A2,...,An)= ?(B1,A2,...,An) 局
22、部等值變換后整體仍然相等。?x(A(x)?B(x))?G(x)?(?xA(x)??xB(x))?G(x),7、換名規(guī)則:指導(dǎo)變元與約束變元同換 將某量詞的指導(dǎo)變元與轄域中同名約束變元,換成不在公式中出現(xiàn)的變元,則與原公式等值。8、代替規(guī)則:某個(gè)公式中自由變元全換掉則仍與公式等值。,十五、一階邏輯的推理理論1、定義 若在各種解釋下A1?A2?A3…?An?B只能為真,則稱為前提A1,A2,…,An可推出結(jié)論B。2、常見的謂詞推理
23、式 (1)命題邏輯的推理式,代換得到的謂詞推理式 如p?q?p, ?xF(x)??yF(y)??xF(x)p?q,p?q, ?xF(x) ? ?yF(y), ?xF(x) ??yF(y)(2)特有的謂詞推理式?xA(x)??xB(x)??x(A(x)?B(x))?x(A(x)?B(x))??xA(x)??xB(x)(3)四條鐵律: 全稱量詞的指定 ?xA(x)?A(x0) x0是任意個(gè)體 全稱量詞的推廣 A(x0)
24、? ?xA(x) x0前面某全稱指定 存在量詞的指定 ?xA(x)?A(c) c為某個(gè)特定的個(gè)體 存在量詞的推廣 A(c) ??xA(x) c為某個(gè)特定的個(gè)體,例題 ?x(F(x)?G(x)),?xF(x)??xG(x)證明:(1)?xF(x)為真 (前提)(2) F(c)為真 (存在指定,至少存在c使F(c)為真)(3) ?x(F(x)?G(x))為真 (前提)(4) F(c)?G(c)為真 (全稱指定,尤其x
25、=c時(shí)為真)(5) G(c)為真 ( (2),(4)分離)(6) ?xG(x)為真 ((5)存在推廣) 通過指定將量詞去掉,通過代換實(shí)例使用命題邏輯的方法. 通過推廣加上量詞,對于存在只有一個(gè)實(shí)例,對推廣全稱,一定要注意x是全稱指定的.,3、一階邏輯前束范式 定義:形如Q1x1Q2x2…QkxkB的公式為前束范式,其中Qi為?或?,B中不含有數(shù)量詞。 如 ?x?y(F(x)?G(y)?H(x,y)) 是前
26、束范式 ?x(F(x)??y(G(y)?H(x,y))不是!因B有量詞 定理1:任何邏輯公式可轉(zhuǎn)換為前束范式。 ?? ?? ?? ?? 命邏代換 約變/自變換名 擴(kuò)張 例:?xF(x)???xG(x) ??xF(x)??x?G(x)? ?x(F(x)??G(x)) 量詞在前,B中無量?xF(x)???xG(x) ? ?xF(x)???yG(y) ??xF(x)??y?G(y)??x?y(F(x)
27、??G(y)),十六、習(xí)題五 1、確定謂詞公式的值:常量、取值范圍、謂詞 2、符號化 3、自然推理: 四鐵律 分離原則、逆否、條件式來回用十七、集合論 1、定義 枚舉法: 教學(xué)樓={復(fù)臨,中樓,東樓,北樓,前進(jìn)樓} 描述法:偶數(shù)集={除以2余為0的所有整數(shù)} 2、子集A?B:A中的每個(gè)元素都是B的元素 冪集P(A)={A的所有子集的集合}=2A. 如A={1,2,3}
28、A000={},A001={3},A010={2},A011={2,3}, A100={1},A101={1,3},A110={1,2},A111={1,2,3} 其有23個(gè) ,即2|A|個(gè),3、有窮集的計(jì)數(shù)1)、|A|=集合A的元素?cái)?shù)2)、例題:會英=13、日=5、德=10、法=9,同時(shí)會英日有2人,會德、法、英中任意二種有4人,會日語的既不懂法也不懂德,只會1種和3種人?,令同時(shí)會三種語言為x人,只會英為y1,只會法
29、為y2,只會德語y3 y1+2+4-x+x+4-x=12 y2+4-x+4-x+x=9 y3+2(4-x)+x=10 y1+y2+y3+3+2+3(4-x)+x=24,4、包含排斥原理4.1 |A1?A2|=|A1|+|A2|-|A1?A2| 因?yàn)楣膊糠炙懔藘纱危±?:A1={藍(lán)球隊(duì)}=10,A2={足球隊(duì)}=13,雙重身球員3人,請問這二個(gè)球隊(duì)總共多少人?解:|A1?A2|=|A1|+|A2|-|A
30、1?A2|=10+13-3=20人4.2 |A1?A2 ? … ? |=?|Ai|-?|Ai?Aj| +?|Ai?Aj?Ak|-?|Ai?Aj?Ak?AL|….+(-1)n-1| A1?A2?… ? An|加奇數(shù)個(gè)集合相交-偶數(shù)集合相交,A1,A2,十八、習(xí)題六 1、60人看雜志、25個(gè)學(xué)生、1~300整數(shù)、120的素?cái)?shù)(不是2、3、5、7、11的倍數(shù)、不是1)、
31、 2、符號化 3、自然推理: 四鐵律 分離原則、逆否、條件式來回用十九、關(guān)系1、有序?qū)?: 有秩序的二個(gè)元素排在一塊稱為有序?qū)?形如 2、笛卡爾積/直積A?B 形如A?B={|a?A,b?B},3、關(guān)系 : 將笛卡爾積中前后兩個(gè)元素之間存在某種關(guān)系的序偶檢出來,便得到一個(gè)關(guān)系. A?B={1,2,3}?{a,b,c}={,,, ,,,,,} R1={前后兩個(gè)元素的序號一樣} ={,,
32、},三、關(guān)系 A?B={1,2,3}?{a,b,c}={,,, ,,,,,} R1={前后兩個(gè)元素的序號一樣} ={,,}用如下形式的關(guān)系矩陣表示,A={1,2,3}, F?AxA,G?AxA A上的關(guān)系F={,} G={,,},五、關(guān)系的分類 :圖、關(guān)系矩陣、序偶 自反關(guān)系:若?x?A,都有?R 反自反關(guān)系:若?x?A有?R 對稱關(guān)系:若?R有?R 反對稱關(guān)系:若?R,?R?x=y 若?R
33、且x?y??R則反對稱 定義等價(jià) 如:A={1,2,3} R1={,} 對稱 R2={,,,} 反對稱 R3={,,} 因?R1不對稱,因與成對出現(xiàn),而不是反對稱,五、關(guān)系的性質(zhì)與分類 傳遞關(guān)系:若?R,?R??R 表示從結(jié)點(diǎn)x出發(fā),連續(xù)2跳后達(dá)到結(jié)點(diǎn)的z所成序偶仍在R中。 而連續(xù)2跳所達(dá)關(guān)系即為R?R,仍在R中即要求R?R?R。 如A={1,2,3} R1={,} 可傳遞的,OKR1?R1=R1?
34、R1故為可傳遞!,六、關(guān)系的閉包:加點(diǎn)序偶使之成某種類型1、R自反閉包r(R)的定義: (1)r(R)自反; (2)R?r(R); (3)R?R',R'自反?r(R)?R' 最小性 恰好增加到變成自反為止。 2、R對稱閉包s(R)的定義: (1)s(R)對稱; (2)R?s(R); (3)R?R‘,R’對稱?s(R)?R‘ 最小性3、R傳
35、遞閉包t(R)的定義: (1)t(R)傳遞; (2)R?t(R); (3)R?R',R'傳遞?t(R)?R' 最小性,t(R)=R?R2 ?R3... ?Rn-1.任何兩點(diǎn)最多n-1步達(dá) =M+M2+M3+...+Mn-1.例A={a,b,c,d}, R={,,,, }t(R)=R?R2?R3,R2={,,,,,,}R3={,,,,,,} ?{,,,,
36、}={,,,,,,,,}t(R)={,,,, , , , , , , , , , , , ,,,,,},七、等價(jià)關(guān)系與劃分 自反、對稱、可傳遞的關(guān)系稱為等價(jià)關(guān)系。 例 A={1,2,3,4,5,6,7,8}R={,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,} 等價(jià)類{1,4,7},{2,5,8},{3,6}彼此不相交,并集=A,稱為A的劃分。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,七、等價(jià)關(guān)系與劃分R= {1,4,
37、7}x{1,4,7}?{2,5,8}x{2,5,8}? {3,6}x{3,6}得到劃分 {1,4,7}, {2,5,8},{3,6}. 若有A的劃分,倒用以上工作會得到一個(gè)劃分!如A1={1,2,3},A2={4,5,6},A3={7,8},則: R'=A1?A1?A2?A2 ? A3?A3 ={,,, ,,, , ,, ,,,,,,, ,,,,,} 可驗(yàn)證R'是對稱、自反、可傳遞的等價(jià)關(guān)系。,八
38、、偏序關(guān)系 1)自反、反對稱、可傳遞的關(guān)系。廣義的“小于等于”關(guān)系,記為?。 2)當(dāng)??時(shí),寫成x?y,主要為了直觀。 3)當(dāng)??但x?y時(shí),記成x??或??。 5)全序(線序): ?x,y?A ,x與y都可比。如 A={1,2,3,4,5,6} R={:x?y} 狹義? B={1,2},A={?,{1,2}} R={:x?y,x?A,y?A},即x與y是B的子集。全序 B={1,2},A={?,
39、{1},{2},{1,2}} R={:x?y,x?A,y?A},即x與y是B的子集。 偏序,八、偏序關(guān)系 2)當(dāng)??時(shí),寫成x?y,主要為了直觀。 4)?x,y?A x與y可比是指??或??。 6)偏序集:集合A與定義其上偏序關(guān)系。 7)蓋住:x?A,y?A,x:x?y,x?A,y?A}, {1}蓋住?, {2}蓋住?,但{1,2}并不蓋住?.,八、偏序關(guān)系 7)蓋住:x?A,y?A,x:x?y,x?A,y?
40、A}, {1}蓋住?, {2}蓋住?,但{1,2}并不蓋住?.去掉自反線可傳遞線得到覆蓋關(guān)系哈斯圖,八、偏序關(guān)系 7)蓋住:x?A,y?A,x,剔可傳遞生、自反,八、偏序關(guān)系-最大元/最小元 8)最大元:設(shè)是偏序集,B?A, y0?B, 若?x?B,均有?R,則y0是B的最大元。 y0與B每個(gè)元素x有關(guān)系R即可比,且比其大。,B={a,b,c,d,e,f,g,h} 最大最小無,B={1~8} 有最小,B={1,2,4,8
41、} 有最大與最小,B={b,c,d,e,f} 最大有,八、偏序關(guān)系-極大元/極小元 8)最大元:設(shè)是偏序集,B?A, y0?B, 若?x?B,均有?R,則y0是B的最大元。 y0與B每個(gè)元素x有關(guān)系R即可比,且比其大。 9)極大元: 不存在x,使之與y0可比且?R,,極大元{a,f,h},極小 元{a,b,c,g},極大元{8,6,9,7},極小元{1},二運(yùn)算的定義x?P(A), y?P(A) x+y =x?y,
42、x?y=x?yx?Boolean, y?Boolean x+y =x?y, x?y=x?yx+y =(x(i,j)+y(i,j)), x-y =(x(i,j)-y(i,j)), x?y=(x(i,j) ? y(i,j)), 很幸運(yùn)!這些運(yùn)算都可利用,它們所在領(lǐng)域的運(yùn)算符來定義,還有很多運(yùn)算,只能給出其運(yùn)算的結(jié)果,如x?y=(xy) mod 5 x,y?{0,1,2,3,4},三、運(yùn)算的性質(zhì) 1、交換律 設(shè)?是集合S上
43、的二元運(yùn)算,若?x,y?S都有x?y=y ?x, 則稱?在S上是可交換的, 或者說運(yùn)算?在S上滿足交換律。 若運(yùn)算表是對稱的,則滿足交換律。x?y=(xy) mod 5 x,y?{0,1,2,3,4},三、運(yùn)算的性質(zhì) 2、結(jié)合律 設(shè)?是集合S上的二元運(yùn)算,若?x,y,z?S都有(x?y)?z=x?(y?z), 則稱?在S上是可結(jié)合的,或者說運(yùn)算?在S上滿足結(jié)合律。 如:x,y,z?P(A) (x+y)+z
44、=(x?y)?z=x?(y?z)=x+(y+z) (x?y)?z=(x?y)?z=x?(y?z)=x?(y?z) 當(dāng)運(yùn)算滿足結(jié)合律時(shí),常將決定運(yùn)算次序的園括號去掉,如(x+y)+z=x+y+z。 普通的加、乘、集合的并、交、邏輯的與、邏輯或、矩陣的加、乘滿足結(jié)合律。,三、運(yùn)算的性質(zhì) 3、冪等律 設(shè)?是集合S上的二元運(yùn)算,若?x?S都有x?x=x, 則稱?在S上是冪等的,或者說運(yùn)算?在S上滿足冪等律。 如:x?
45、P(A) x+x=(x?x)=x , x?x=(x?x)=x 邏輯的與、邏輯或滿足結(jié)合律。 有些運(yùn)算不滿足冪等律,但是集合S中的某些元素滿足! 如普通加法不滿足冪等,但0滿足0+0=0, 普通乘法不滿足冪等,但1滿足1?1=1。 普通矩陣的乘法不冪等,但單位矩陣滿足!,三、運(yùn)算的性質(zhì) 4、分配律 設(shè)?與*是集合S上的二種運(yùn)算,若?x,y,z?S都有 x*(y?z)=(x*y)?(x*z
46、), (y?z)*x=(y*x)?(z*x) 則稱*對?是可分配的。 如: ?x,y,z?P(A), ?對?可分配, x?(y?z)=(x?y)?(x?z) ?對?也可分配, x ?(y?z)=(x?y)?(x ? z) 邏輯的與、邏輯或滿足結(jié)合律。 有些運(yùn)算不滿足冪等律,但是集合S中的某些元素滿足! 如普通加法不滿足冪等,但0滿足0+0=0, 普通乘法不滿足冪等,但1滿足1?1=1
47、。 普通矩陣的乘法不冪等,但單位矩陣滿足!,三、運(yùn)算的性質(zhì) 5、吸收律 設(shè)?與*是集合S上的二種可交換的二元運(yùn)算,若?x,y?S都有 x*(x?y)=x , x?(x*y)=x則稱*與?是滿足吸收律。 如: ?x,y,z?P(A), x?(x?y)=x, x ?(x?y)=x 又如: ?x,y,z命題變元 x? (x?y)=x, x ? (x ? y)=x小結(jié): 交換律、結(jié)合律、冪
48、等律、分配律、吸收律是普通的加與乘、集合的并與交、命題變元的與或等運(yùn)算的規(guī)律的總結(jié)、推廣!,四、集合S中滿足某運(yùn)算的特殊元素 1、單位元 設(shè)?是集合S上的二元運(yùn)算,如果集合S中的某元素eL,對?x?S都有 eL?x=x 則稱之為左單位元。 設(shè)?是集合S上的二元運(yùn)算,如果集合S中的某元素eR,對?x?S都有 x?eR=x 則稱之為右單位元。 如果S中某個(gè)元素既是左單位元,又是右單位元,則為單位元。 如:??A= A
49、??=A 0+x=x+0=x 1*x=x*1=x,四、集合S中滿足某運(yùn)算的特殊元素 1、單位元 對?x?S都有 eL?x=x 則稱之為左單位元。 對?x?S都有 x?eR=x 則稱之為右單位元。 定理:設(shè)?是S上的二元運(yùn)算,若存在左單位元eL與右單位元eR,則eL=eR=e且唯一 證明: ?x?S都有eL?x=x? eL?eR=eR ?x?S都有 x?eR=x ?eL?eR=eL
50、由以上二式可知eR=eL,即兩個(gè)單位元的值相等,不妨將其值記為e ,則e既是左單位元,又是右單位元,故由單位元定義可知,e是單位元。如: ??A= A??=A 0+x=x+0=x 1*x=x*1=x,四、集合S中滿足某運(yùn)算的特殊元素 1、單位元 對?x?S都有 eL?x=x 則稱之為左單位元。 對?x?S都有 x?eR=x 則稱之為右單位元。 2、零元 對?x?S都有 ?L?x= ?L 則稱之為左零元。
51、對?x?S都有 x? ?R = ?R 則稱之為右零元。 定理:設(shè)?是S上的二元運(yùn)算,若存在零元?與單位元e,且集合S中至少有2個(gè)元素,則??e 。 證明:假設(shè)?=e , 由單位元定義可知,?x?S都有x?e=x, 由假設(shè)可知?=e , 故x??=x ….. (1) 。 由零元的定義可知,?x?S都有??x=?…..(2) 由(1)(2)可知x=?,又由假設(shè)可知?=e ,故x= ?=e 故S中只有1個(gè)元素!
52、矛盾!假設(shè)錯(cuò)!,四、集合S中滿足某運(yùn)算的特殊元素 3、逆元 并不是所有元素有逆元! 某x?S若有yL?S,使得yL?x=e,左逆元。 某x?S若有yR?S,使得x?yR=e,右逆元。 則y既是x的左逆元又是右逆元,則為x的逆元。 定理:設(shè)運(yùn)算?滿足結(jié)合律且存在單位元,某元素x,若存在左逆元yL與右逆元yR,則yL=yR并且唯一。 證明:yL=yL?e=yL?(x?yR)=(yL?x)?yR=e?y
53、R=yR。 唯一性:若x有兩個(gè)逆元y1、y2。 y1=y1?e=y1?(x?y2)=(y1?x)?y2=e?y2=y2.,六、代數(shù)系統(tǒng)同構(gòu)與同態(tài) 如果判斷類似呢?同構(gòu)或同態(tài)檢測! 定義1:設(shè)有兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng),,若能在集合A與B之間構(gòu)造映射f,滿足如下要求: (1)?y?B均?x?A,使得y=f(x) (1)滿射(2)1-1 (2)當(dāng)x1,x2?A, x1?x2有f(x1),f(x2)?B, f(x1)?f(
54、x2) (3) ?x1,x2?A有f(x1?x2)=f(x1) *f(x2),一、群的定義(0)設(shè)V=是封閉代數(shù)系統(tǒng),稱為廣群。(1)設(shè)V=是封閉、可結(jié)合,則為半群。(2)設(shè)V=是封閉、可結(jié)合、有單位元e,則V為幺群,也叫獨(dú)異點(diǎn)。(3)V=是封閉、可結(jié)合、有單位元e、每a?S,有逆元a-1?S則稱為群G。Group例題1: 正整數(shù)集上的加法 x+y+z=(x+y)+z=x+(y+z) 可結(jié)合 x+0=x+0=x
55、 單位元為0 x+(-x)=0 x的逆元為相反數(shù)。 故是群。,二、群的性質(zhì)有限群:指群的元素集G有限,|G|有限。如:,無窮群, 有限群, Klein四元群是有限群平凡群:只有單位元e的代數(shù)系統(tǒng)。如: ,交換群:若群中的運(yùn)算可交換,Abel群。如: ,無窮群, 有限群, Klein四元群是有限群,二、群的性質(zhì)n次冪:,理解:an表示a進(jìn)行n
56、次?運(yùn)算,是群,a?G如:在中13表示1進(jìn)行3次+運(yùn)算=1+1+1=3如: 在中13表示1進(jìn)行3次?運(yùn)算=1?1 ? 1=1如:,其中Z3={[0],[1],[2]}, [0]n=[0]n個(gè)3k型數(shù)加仍是3k型(3k1+3k2...+3kp)%3=0[1]n=n個(gè)3k+1型數(shù)加(3k1+1+3k2+1+...+3kp+1)%3=n%3[2]n=n個(gè)3k+2型數(shù)加(3k1+2+3k2+2...+3kp+2)%3=2n%3[1
57、]+[2]=(3k+1+3m+2)%3=3%3=[0] 互逆([1]-4)=([1]-1)4=[2]4=2n%3=[2],定理1:設(shè)G為群,則G的冪運(yùn)算滿足: ?a?G,(a-1)-1=a 驗(yàn)證a是a-1的逆元,(a-1)-1為a-1的逆元?a,b?G,(ab)-1=b-1a-1 驗(yàn)證b-1a-1是ab的逆元?a?G,(an)am=an+m,n,m?z 由冪的定義?a?G,(an)m=anm,n,m?z an進(jìn)行m次運(yùn)算
58、證明: (1) a-1是a的逆元,而逆元是相互的,故a也是a-1的逆元,同時(shí)a-1的逆元記為(a-1)-1,故a=(a-1)-1。 (2) (ab)-1是ab的逆元, 而ab(b-1a-1)=abb-1a-1=aea-1=aa-1=e, (b-1a-1)ab=b-1a-1ab=b-1eb=b-1b=e 根據(jù)逆元的定義,b-1a-1也是ab的逆元 而逆元唯一,故兩個(gè)逆元相等,即(ab)-1
59、=b-1a-1(3) anam=an-1aam=an-1am+1=an-2aam+1=...a0am+n=am+n(4) (an)m=anananan...an=anm 指數(shù)相加和為(n+…+n)=nm,定理2:設(shè)G為群且|G|>1,則G中沒有零元。證明:假設(shè)有零元?, 由剛才定理可知??e 由零元的定義可知,?x?G有x??=??x=? 所以x??=??x?e, 故零元?不可能有單位元,這
60、與群中每個(gè)元素有逆元矛盾! 所以“假設(shè)有零元?”是錯(cuò)的,即群中沒有零元。,定理3:設(shè)為群,對于a, b?G, 必存在唯一的 x?G,使得a ? x = b。群中方程有解! 證明:設(shè) a 的逆元是a?1 ,可驗(yàn)證 x = a?1 ? b是其解! 則 a ? x = a ? (a?1 ? b) = (a ? a?1) ? b = e ? b
61、 = b 若另有一解 x1,滿足 a ? x1= b 則a?1 ? (a ?x1)= a?1 ? b 即 x1 = a?1 ? b 故x1=x,即解唯一!,定理4:設(shè)G為群,則G的滿足消去律: ?a,b,c?G,若ab=ac,則b=c?a,b,c?G,若ba=ca,則b=c, 證明: (1) b=eb=a-1ab=a-1ac=ec=c (2) b=be=baa-1=caa-1=ce=
62、c定理5:設(shè)為群,a?G,|a|=r,設(shè)k整數(shù)(1) ak=e?r|k ar=e(2) |a-1|=|a|, 證明:(1) e=ak?r|k。用r去除k得余數(shù)i,則0?i<r,即k=mr+i e=ak=amr+i=amr.ai=(ar)mai=emai=ai 由于r是使得at=e的最小整數(shù),若0<i<r則矛盾,故i=0 故k=mr即r|k r|k?e=ak, r|k?k=m
63、r ?ak=amr=(ar)m=em=e,三、子群:G是群的元素集,??H?G,若代數(shù)系統(tǒng)是群,則稱為的子群,也簡稱H是G的子群,記為H?G. 若H?G則稱H是G的真子群,記為H是的子群! 是的子群 是的子群 是的子群,n是自然數(shù) 又如: 對于任何群其本身是其子群,因?yàn)镚?G 是的子群。因?yàn)槭侨?{e} ?G 平凡子群!,(1)子群判斷定理一:設(shè)G為群, ??H?G, H是G的子群? (i)?
64、a,b?H,有a?b?H(封閉) (ii) ?a?H,有a-1?H(逆元)(2)子群判斷定理二:G為群, ??H?G, H是G的子群? ?a,b?H,有a?b-1?H(3)子群判斷定理三:G為群, ??H?G,|H|有限,H是子群??a,b?H,有a?b?H(只要封閉即可)證明:左?右顯然!右?左:由Th1只需要證逆元存在即可. ?b?H(i)若b=e?H, 而母群G中e?e=e可知e-1=e,而e?H故e-
65、1?H.(ii)若b?e,由封閉性?b2=b?b?H即b2?H,故b3=b2?b?H?S={b,b2,b3,…,bk,…}?H?|S|?|H|,而|H|有限?S有限,bi肯定與bj相等!否則無窮了!?bi=bj(i>j)?bj?bi-j=bj?e,根據(jù)G中消去律?bi-j=e,而 b?e?i-j>1?bi-j-1b=bbi-j-1=e ?bi-j-1是b的逆元,即b-1=bi-j-1,而bi-j-1?S?H,故b
66、i-j-1?H,即b-1?H,四、Abel群即交換群 定義:設(shè)是群,其運(yùn)算?是可交換的,則稱為交換群.例題:是交換群。解: 封閉性:?x,y?{0,1,2,3},則z=x+4y=(x+y)mod 4肯定在0~3之間,故z?{0,1,2,3}。 可結(jié)合:?x,y,z?{0,1,2,3} ,x+4y+4z=(x+y+z)mod 4,由于(x+y+z) mod 4可結(jié)合,故+4是可結(jié)合的。 單位元:x+4e=e+4x=x,
67、故e=0. 逆元:0+40 =0,1+43=0,2+42=0, 故0-1=0,1-1=3,3-1=1,2-1=2 交換:x+4y=(x+y)mod 4 y+4x=(y+x)mod 4
68、
69、
70、
71、
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