數(shù)學(xué)史課件第三章-數(shù)與數(shù)系的發(fā)展 (1)

1、第三章 數(shù)與數(shù)系的發(fā)展,主要內(nèi)容原始人類的數(shù)感（Number Sence）數(shù)的抽象概念與數(shù)的符號(hào)數(shù)域擴(kuò)張（簡(jiǎn)稱“擴(kuò)域”）形成五大數(shù)系公理化的方法創(chuàng)造超復(fù)數(shù) 四元數(shù)一一對(duì)應(yīng)的計(jì)數(shù)方法 超限數(shù)的連續(xù)假設(shè),3.1 數(shù)的起源,“數(shù)和形的概念不是從其它任何地方，而是從現(xiàn)實(shí)世界中得來(lái)的?！?對(duì)數(shù)的起源的進(jìn)程歸結(jié)為：依賴于本能感覺(jué)，形成一一對(duì)應(yīng)的計(jì)數(shù)方法，建立集合的等價(jià)關(guān)系并給出其一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)（或代表集合）規(guī)定符號(hào)。,3.1.

2、1 數(shù)感,數(shù)感，即感知事物多少的心理能力。原始人類較早的“有”與“無(wú)”、“多”與“少”的認(rèn)識(shí)某些鳥類和黃蜂具有數(shù)感，例如，烏鴉的數(shù)感,3.1.2 一一對(duì)應(yīng)計(jì)數(shù)法與進(jìn)位制,一一對(duì)應(yīng)的計(jì)數(shù)方法 例如，是用手指計(jì)數(shù)物體的個(gè)數(shù)荷馬（約公元前9~8世紀(jì)）的詩(shī)史中，獨(dú)眼巨人波呂斐摩斯用石子計(jì)數(shù)羊只澳洲土著人用身體的各部分來(lái)對(duì)應(yīng)自然數(shù) 一一對(duì)應(yīng)的計(jì)數(shù)方法很容易形成自然數(shù)的概念, 它是數(shù)概念發(fā)展的重要途徑。,進(jìn)位

3、制當(dāng)計(jì)數(shù)較多的實(shí)物時(shí)，人類學(xué)會(huì)了一次用更大的單位計(jì)數(shù)的方法。如，五進(jìn)制：一五，一十，十五，二十，…… 十進(jìn)制，這時(shí)從1到10的十個(gè)數(shù)都有自己的特殊名稱，而從11開始，就用10的進(jìn)位表示了。在英語(yǔ)中，eleven意指“剩下”或“比10多1”，twelve意指“比10多2”，thirteen即“3和10”，……；twenty意指“兩個(gè)10 ”，而hundred則指“10個(gè)10”。,,古代巴比倫人的六十進(jìn)位制瑪雅數(shù)系中的二十進(jìn)位

4、制計(jì)算機(jī)技術(shù)中的二進(jìn)位制進(jìn)位制的轉(zhuǎn)化例如，四進(jìn)制數(shù)（3021）4轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的方法為：（3021）4=3·43+0·42+1·4+2=198,3.1.3 度量的數(shù),使用具有確定標(biāo)準(zhǔn)的容器、長(zhǎng)度（稱為單位）等去度量，度量出的次數(shù)之大小就產(chǎn)生量的概念。人類的度量活動(dòng)是產(chǎn)生數(shù)概念的途徑之一。 度量數(shù)可以發(fā)展非整數(shù)性的小數(shù)和分?jǐn)?shù)的概念,如，畢德哥拉斯學(xué)派從音調(diào)的不同高度中抽象出數(shù)的理念， 在古代

5、中國(guó)的“黃鐘起度”的傳說(shuō),圖3.1是西漢末年王莽律嘉量斛的結(jié)構(gòu)示意圖；中間大的圓柱為斛量，中間底部圓柱形為斗，左右兩邊各有一耳，都呈圓柱形，左耳為升量，右耳上為合量、下為龠量。,3.1.4抽象的數(shù),數(shù)與被計(jì)算的東西分離開來(lái)了，出現(xiàn)了1，2，3，…這些無(wú)名數(shù)，無(wú)名數(shù)的出現(xiàn)標(biāo)志著抽象的數(shù)概念的產(chǎn)生， 懷特海（1861~1947）：“首先注意到七條魚和七天的共同點(diǎn)的人畢竟使思想史前進(jìn)了一大步。他是第一個(gè)具有純數(shù)學(xué)觀念的人”。

6、 教育的啟示 學(xué)會(huì)1、2、3，…的概念，并不意味著就可以脫離具體事物進(jìn)行抽象的數(shù)的思維。相反，當(dāng)人們接觸到數(shù)的符號(hào)或名稱時(shí)，仍然與那些需要計(jì)算對(duì)象的某些具體表象聯(lián)系在一起。,3.1.5 神秘的數(shù),神秘?cái)?shù)廣泛存在于古代人類社會(huì)，數(shù)字在這里不表示什么同類的序列，也不用于最簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)運(yùn)算，而是利用數(shù)本身的神秘性來(lái)預(yù)卜事物的未來(lái)。數(shù)被想象成具有神秘屬性的代表物，它便通過(guò)宗教、神話來(lái)影響人類的生活。原始人類對(duì)自然的認(rèn)識(shí)是有限的，往往借助

7、數(shù)——這個(gè)思維的抽象物，來(lái)解釋世界上無(wú)法理解或控制的各種現(xiàn)象。于是神秘?cái)?shù)就被不斷用于卜筮、祈禱或其它宗教活動(dòng)之中。甚至成為治國(guó)的工具。,如，夏王朝的“天有九野，地有九州，王有九鼎，籌有《九疇》”的治國(guó)方針。夏王朝將天分為 “九天”；地為“九州”，并將州的官員稱為“牧”。九州牧貢銅，鑄造九鼎，以九鼎象征九州，向天下昭示自己為九州之主。 春秋時(shí)期，用于籌算的“九九”表在中國(guó)也普遍使用。這或許可以看出，神秘?cái)?shù)與運(yùn)算中的數(shù)在歷史發(fā)展中

8、的先后順序。,3.2數(shù)的表示方法,3.2.1 結(jié)繩與書契結(jié)繩記數(shù)成為人類早期表示記數(shù)的方法圖3.2臺(tái)灣高山族的結(jié)繩（現(xiàn)藏中央民族大學(xué)）中國(guó)古籍上記有伏羲“結(jié)繩而治”。,結(jié)繩記數(shù)成為人類早期表示記數(shù)的方法,圖3.3日本琉球群島的結(jié)繩,,“書契”，就是刻劃?！皶笔莿澓郏捌酢笔强毯?如，在青海，1974年至1978年出土一批帶刻口的骨片，是新石器時(shí)代末期用于記事、記數(shù)的實(shí)物。,3.2.2文字記數(shù),新石器時(shí)代中晚期

9、的遺址（西安半坡、山東城子崖等都出現(xiàn)了數(shù)字符號(hào)。 如，在西安半坡人的遺址（距今約5000~6000年）中，發(fā)現(xiàn)陶器上刻的符號(hào)中有數(shù)字符號(hào)：“”（五）、“”（六）、“”（七）、“”（八）、“”（十）、“”（二十）,,,商代的甲骨文 “金文”（“鐘鼎文”或“彝銘”）的十進(jìn)制。個(gè)、十、百、千、萬(wàn)五個(gè)十進(jìn)制的數(shù)字（盡管表達(dá)形式尚不統(tǒng)一）都能準(zhǔn)確無(wú)誤的給以表達(dá)。商代對(duì)于數(shù)字的表述尚未形成位值制，但在沿襲前人數(shù)字符號(hào)表示法的基礎(chǔ)上，又創(chuàng)造

10、了百、千、萬(wàn)等數(shù)字名稱。,表示數(shù)的符號(hào)在人類歷史上經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的演變過(guò)程，一直到1522年所謂阿拉伯?dāng)?shù)碼（叫印度數(shù)碼更確切些）才被世界各國(guó)所接受。中國(guó)到1892年才開始采用阿拉伯?dāng)?shù)碼，但數(shù)的寫法還是豎寫，直到20世紀(jì)才采用現(xiàn)代寫法。,3.2.3 位值制記數(shù)法,十進(jìn)制的位值記數(shù)法，它不僅采用十進(jìn)制，而且在不同位置上的數(shù)碼，表示這個(gè)數(shù)碼與10的某個(gè)冪次的乘積。即用位置來(lái)表示數(shù)。,,中國(guó)古代的籌算中的位值制記數(shù)法?；I式的數(shù)碼有縱、橫兩種形式：

11、 1 2 3 4 5 6 7 8 9縱式 橫式,,,,,,,,,,,籌式數(shù)字?jǐn)[放的方法規(guī)定：個(gè)位、百位、萬(wàn)位以上的數(shù)用縱式，十位、千位、十萬(wàn)位上的數(shù)用橫式，縱橫相間，以免發(fā)生誤會(huì)；又規(guī)定用空位來(lái)表示零。 例如197和1907的籌式分別表示為 和,,不完全的定位制――“累加制”，它是同一單位用同一符號(hào)累加，達(dá)到較高單位時(shí)才

12、換一個(gè)新符號(hào)。 如羅馬數(shù)字采用五進(jìn)累加制，它用大寫拉丁字母表示數(shù)的單位：I（1）,V（5）, X（10）, L（50）, C（100）, D（500）, M（1000）。在表示其它數(shù)時(shí)，大單位在左，小單位在右，表示累加，如VⅡ(7); 若大單位在右、小單位在左，表示減法，如IV(4)。,,巴比倫人發(fā)展了應(yīng)用定位不完全的60進(jìn)位制的數(shù)系 一方面，60以上的數(shù)目依定位原則寫出；另一方面，60以內(nèi)的數(shù)則按照以十進(jìn)制的簡(jiǎn)單分群數(shù)

13、系寫出，如524,551=2×603+25×602+42×60+31= 其中分別代表1和10 。,,埃及象形文字?jǐn)?shù)系是以10進(jìn)位制為基礎(chǔ)的。用來(lái)表示1和10的頭幾次方的稱號(hào)是：,,任何數(shù)現(xiàn)在都可以用這些符號(hào)相加的方法給以表示了，其中每一個(gè)符號(hào)重復(fù)必要的次數(shù)。于是，13015=1×104+3×103+1×10+5=另外，埃及人比較習(xí)慣于從右往左寫，而我們寫這個(gè)數(shù)，還是

14、從左往右。,,古代瑪雅人的數(shù)系是16世紀(jì)在墨西哥發(fā)現(xiàn)的。研究認(rèn)為，法定的瑪雅年是360天，因此其數(shù)系本質(zhì)上是二十進(jìn)制。但從第二次數(shù)群的冪次不是202，而是18×20，對(duì)于更高次的數(shù)群亦采用18×20n的形式。如： 43，480=6×18×202+0×18×20+14×20。當(dāng)然，古代瑪雅人沒(méi)有計(jì)算符號(hào)，其數(shù)字是由表示6、0、14的符號(hào)自上而下排列的。,3.2.

15、4干支記數(shù)法,干支記數(shù)法是一種特有的60進(jìn)制的記數(shù)方法十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥,六十甲子,圖3.4 甲骨文中的干支表拓片如圖3.4。這些干支表盡管都有些殘損，但從排列上看，全是由上到下豎行排列，而且都是甲起頭，10對(duì)一行，排列整齊，說(shuō)明商代人已有了序數(shù)的概念。,甲骨文中的干支表,中國(guó)早在商代就使用干支紀(jì)日法。干支紀(jì)年，始于東漢初年,如，殷商的帝王們也大多

16、用其出生的那一天的干支名來(lái)命名。 據(jù)考證，中國(guó)古代自春秋時(shí)期魯隱公三年（公元前720年）二月己巳日（這天發(fā)生一次全日食）起，就開始連續(xù)使用干支紀(jì)日，直至清末，2600年從未間斷，這是世界上使用時(shí)間最長(zhǎng)的紀(jì)日法。 干支紀(jì)年，我們今天仍用在農(nóng)歷紀(jì)年上，近代史上許多重大事件，也常以該事件發(fā)生的干支年號(hào)來(lái)命名，如“辛亥革命”、“甲午戰(zhàn)爭(zhēng)”、“辛丑條約”、“庚子賠款”等。,3.3 數(shù)系在計(jì)算中發(fā)展,3.3.1負(fù)數(shù) 在中

17、國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中，較早形成負(fù)數(shù)和相關(guān)運(yùn)算法則。 《九章算術(shù)》方程章中提出了負(fù)數(shù)的概念以及它們的運(yùn)算法則：“異名相除，同名相益，正無(wú)入正之，負(fù)無(wú)入負(fù)之”。在古代演算使用算籌進(jìn)行的。為了區(qū)分正負(fù)數(shù)，劉徽在注文中說(shuō)“正算赤，負(fù)算黑，否則以斜正為異?！比?表示+6， 表示—6。,西方數(shù)學(xué)家更多地是研究負(fù)數(shù)存在的合理性,如，16、17世紀(jì)的帕斯卡認(rèn)為從0減去4是純粹的胡說(shuō) 帕斯卡的朋友阿潤(rùn)德提出一種有趣的說(shuō)法來(lái)反對(duì)負(fù)數(shù)，他說(shuō)如果

18、(－1)：1 = 1：(－1)，那么較小數(shù)與較大數(shù)的比怎么等于較大數(shù)與較小數(shù)的比呢？ 英國(guó)數(shù)學(xué)家瓦里士認(rèn)為負(fù)數(shù)小于零而大于無(wú)窮大（1655）。他對(duì)此解釋道：因?yàn)闀r(shí)，。而負(fù)數(shù) 故。 英國(guó)著名代數(shù)學(xué)家德·摩根在1831年仍認(rèn)為負(fù)數(shù)是虛構(gòu)的。他用以下的例子說(shuō)明這一點(diǎn)：“父親56歲，其子29歲。問(wèn)何時(shí)父親的年齡將是兒子的2倍？”他列方程56 + x = 2（29 + x），開解得x = －2。他稱此解是荒唐的。

19、 當(dāng)然，歐洲在18世紀(jì)排斥負(fù)數(shù)的人已經(jīng)不多了。隨著19世紀(jì)整數(shù)的理論基礎(chǔ)的建立，負(fù)數(shù)在邏輯上的合理性才真正確立。,3.3.2無(wú)理數(shù),公元前5世紀(jì)， 圖3.5 黃金比的幾何作圖法(一)畢德哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)了一些直角三角形的三邊不能用整數(shù)或整數(shù)之比來(lái)表示的事實(shí),圖3.6黃金比的幾何作圖法(二)在古希臘幾何學(xué)家試圖作正五邊形時(shí),就曾遇到過(guò)一個(gè)有趣的無(wú)理數(shù)。為了作正五邊形，只要能作出360的角即可，因?yàn)檫@個(gè)角的二倍（即720的角）是圓內(nèi)

20、接正五邊形一邊所對(duì)的圓心角。于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為作頂角為360的等腰三角形。為此，如圖3.5中，設(shè)AC平分底角OAB。這時(shí)，OC=AC=AB，且△BAC與△AOB相似。 取OA=1，設(shè)AB=x，于是有AB/BC=OA/AB，x/（1－x）=1/x，即 x2+x－1=0。由此得到x=（－1）/2。運(yùn)用古希臘尺規(guī)作圖的方法，不難作出這樣的x：,,如圖3.6所示，其中OA=1， MO=1/2，因而AM= /2，以及AB=AN=AM－

21、MN=（－1）/2=x。這里的無(wú)理數(shù)x被稱為“黃金比”（有的資料上把它的倒數(shù)（+1）/2≈1.618稱為“黃金比”），它在自然界中，以及在科學(xué)和藝術(shù)中，處處都會(huì)出現(xiàn)。它是早期被發(fā)現(xiàn)的無(wú)理數(shù)之一。,,第一次數(shù)學(xué)危機(jī)與古希臘數(shù)學(xué)家歐道克索斯的“量”理論 無(wú)理數(shù)最早出現(xiàn)在中國(guó)《九章算術(shù)》中時(shí)，絲毫沒(méi)有引起人們的異議。《九章算術(shù)》的開方術(shù)中說(shuō)：“若開不盡者，為不可開，當(dāng)以面命之?！?有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的小數(shù)表達(dá)式,任何有理數(shù)都具有一個(gè)有限的

22、或循環(huán)的小數(shù)表達(dá)式，反之，任何有限的或循環(huán)的小數(shù)表達(dá)式都表示一個(gè)有理數(shù)。而無(wú)理數(shù)的小數(shù)表達(dá)式是無(wú)限不循環(huán)的；反之，任何無(wú)限不循環(huán)小數(shù)表達(dá)式都表示一個(gè)無(wú)理數(shù)。重要的性質(zhì)：在任何兩個(gè)不同的正無(wú)理數(shù)之間都存在一個(gè)有理數(shù)。事實(shí)上，如果a和b（o＜a＜b）表示兩個(gè)無(wú)理數(shù)，且它們的小數(shù)表達(dá)式為a=a0.a1a2… 和 b=b0。b1b2…，設(shè)i是使得an≠bn（n=0，1，2，…）的第一個(gè)n值。于是，c= b0。b1b2…bi就是a和b

23、之間的一個(gè)有理數(shù)。,3.3.3復(fù)數(shù),虛數(shù)是負(fù)數(shù)開平方的產(chǎn)物，它是在代數(shù)方程求解過(guò)程中逐步為人們所發(fā)現(xiàn)的 公元三世紀(jì)的丟番圖只接受正有理根而忽略所有其它根，當(dāng)方程兩個(gè)負(fù)根或虛根時(shí)，他就稱它是不可解的。 十二世紀(jì)印度的婆什伽羅指出：“負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，因?yàn)樨?fù)數(shù)不可能是平方數(shù)” 卡當(dāng)（1545）解方程得到根和。這使卡當(dāng)迷惑不解，并稱負(fù)數(shù)的平方根是“虛構(gòu)的”、“超詭辯的力量”。 17世紀(jì)，盡管用公式法解方程時(shí)經(jīng)常產(chǎn)生虛數(shù)

24、，但是對(duì)它的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)仍沒(méi)有認(rèn)識(shí)。萊布尼茲說(shuō)：“那個(gè)我們稱之為虛的－1的平方根，是圣靈在分析奇觀中的超凡顯示，是介于存在與不存在之間的兩棲物，是理想世界的瑞兆。”,用幾何的直觀來(lái)認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù),英國(guó)數(shù)學(xué)家瓦里士（1685）用幾何直觀表示實(shí)數(shù)系二次方程復(fù)根的方法：畫一條數(shù)軸，將根的實(shí)部在數(shù)軸上表示為一點(diǎn)，在此點(diǎn)處做一線段垂直于數(shù)軸，其長(zhǎng)度等于的系數(shù)，即表示根的虛部。 丹麥數(shù)學(xué)家韋塞爾（1788年）做了改進(jìn)：在已有數(shù)軸上，做與之垂直的虛軸，

25、并以為單位，這樣就建立了復(fù)平面，對(duì)于每個(gè)復(fù)數(shù)a+bi，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)由坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)的向量。韋塞爾用幾何方法的向量運(yùn)算規(guī)定了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，這些定義在現(xiàn)今的教材中也仍保留著。 高斯在（1811年）提出a+bi可用點(diǎn)（a, b）表示，并于1831年闡述了復(fù)數(shù)的幾何加法與乘法。同時(shí)他指出，在這個(gè)幾何表示中人們可以看到復(fù)數(shù)的直觀意義已完全建立起來(lái)。復(fù)數(shù)的幾何表示促使人們改變了對(duì)虛數(shù)的神秘印象，成為直觀上可以接受的數(shù)學(xué)對(duì)象。,復(fù)數(shù)的公理化定義

26、,1837年英國(guó)數(shù)學(xué)家哈密頓指出，復(fù)數(shù)a+bi實(shí)數(shù)的有序偶（a, b），i在復(fù)平面上可表示為（0，1），用有序偶給出四則運(yùn)算的定義，在這種定義下，通常的結(jié)合律、交換律及分配律，都能用實(shí)數(shù)的有序偶推導(dǎo)出來(lái),3.3.4四元數(shù),利用“域擴(kuò)張”的方法，尋找新的數(shù)域――超復(fù)數(shù)域。 哈密頓的嘗試――從三元數(shù)到四元數(shù) “模法則”：兩個(gè)數(shù)(a +bi + cj)、（x + yi + zj）相乘得到一個(gè)新數(shù)，它所對(duì)應(yīng)的（三維空間）向量的長(zhǎng)，恰好是

27、原先兩數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量的長(zhǎng)的積。即對(duì)于 (a2 + b2 + c2)與(x2 + y2 + z2)，是否可以找到(u, v, w),使得(a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = u2 +v2 +w2。 此前，勒讓德就舉例說(shuō)明模法則在三元數(shù)域中不可能成立：3 = 1 + 1 + 1 及21 = 16 + 4 + 1都可以表示為三個(gè)平方數(shù)的和，可是3×21 = 63卻不能表示為三個(gè)平方數(shù)的和。理由是：

28、凡是形如8n + 7的整數(shù)都不能表示為三個(gè)平方數(shù)的和。,布爾罕橋上的頓悟——i2=j2=k2=ijk=－1。,哈密頓經(jīng)歷了十五年鍥而不舍的努力，終于使一個(gè)新的超復(fù)數(shù)域誕生了。這種四元數(shù)也像實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)那樣可以施行加、減、乘、除的運(yùn)算，但是卻不能滿足乘法交換律。正如我們已經(jīng)看到的，ij ≠ ji。,超復(fù)數(shù)域的發(fā)展,“八元數(shù)”，這是一種包含四元數(shù)的新數(shù)，不能滿足乘法結(jié)合律。 利用公理化方法構(gòu)造數(shù)系 “2n元數(shù)”，并且證明了： n =

29、4且滿足“模法則”的數(shù)是不存在的（1848年） 能保持普通代數(shù)所有基本性質(zhì)不變，而比復(fù)數(shù)域更大的數(shù)系是不具備這些基本性質(zhì)的。（維爾斯特拉斯，1861年） 能滿足除乘法交換律之外的一切代數(shù)基本性質(zhì)的超復(fù)數(shù)域，只有四元數(shù)一種（弗羅賓紐斯，1878年） 能施行加、減、乘、除的數(shù)系只有四種，他們分別是一維的實(shí)數(shù)域、二維的復(fù)數(shù)域、四維的四元數(shù)域及八維的八元數(shù)域（1958年）,3.4 數(shù)系的公理化,復(fù)數(shù)、微積分、幾何學(xué)的理論的邏輯

30、基礎(chǔ)都建立在實(shí)數(shù)系上。 人們用公理化方法建立實(shí)數(shù)的邏輯基礎(chǔ)，即實(shí)數(shù)系自身的嚴(yán)密化—— “分析的算術(shù)化”過(guò)程。在三個(gè)方面取得了進(jìn)展：（1）運(yùn)用公理化的方法，使實(shí)數(shù)建立在自然數(shù)系的基礎(chǔ)之上；（2）康托的基數(shù)序數(shù)理論，將自然數(shù)建立在集合論的基礎(chǔ)之上；（3）邏輯學(xué)家力圖從邏輯命題演算的基礎(chǔ)上導(dǎo)出集合論，將數(shù)學(xué)建立在純邏輯的基礎(chǔ)之上。這種方法尚未取得完美的結(jié)果。,3.4.1戴德金分割,無(wú)理數(shù)的邏輯定義（戴德金1872年）：將有理數(shù)集合劃分成

31、兩個(gè)非空集合A和，使得A中的任意的數(shù)都小于中的任一數(shù)。A和的分割記為。這樣的分割可能產(chǎn)生三種情況，（1）在A中沒(méi)有最大的數(shù)，而中有最小的數(shù)r；（2）在A中有最大的數(shù)r，而在中沒(méi)有最小的數(shù)；（3）在A中沒(méi)有最大的數(shù)，在中也沒(méi)有最小的數(shù)。在前面兩種情況中，分割產(chǎn)生有理數(shù)，或者說(shuō)分割界定了有理數(shù)。在第三種情況中，界數(shù)不存在，分割不能界定任何有理數(shù)。這時(shí)規(guī)定：任何屬于第三種情況的分割就界定了一個(gè)無(wú)理數(shù)。,3.4.2自然數(shù)公理,“皮亞諾公理”：

32、（1）1是一個(gè)自然數(shù)。（2）每一個(gè)確定的自然數(shù)a，都有一個(gè)確定的后繼數(shù)，而也是一個(gè)自然數(shù)。（3）1不是任何自然數(shù)的后繼數(shù)，即1≠。（4）一個(gè)數(shù)只能是某一個(gè)數(shù)的后繼數(shù)，或者根本不是后繼數(shù)，即由=，一定能推得a = b。（5）任何一個(gè)自然數(shù)的集合，如果包含1，并且假設(shè)包含a，也一定包含a的后繼數(shù)，那么這個(gè)集合就包含所有的自然數(shù)?！?上帝創(chuàng)造自然數(shù)；其余一切都是人為的。’（克羅內(nèi)克）,3.5 超限基數(shù),無(wú)限是整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。

33、 無(wú)限是許多怪事和悖論棲身之處 如，芝諾悖論，表述第五公設(shè)的表述，無(wú)窮小量（第二次數(shù)學(xué)危機(jī)） 希爾伯特說(shuō)：“自古以來(lái)，沒(méi)有別的問(wèn)題象無(wú)限這樣深深地激動(dòng)過(guò)人的情緒，沒(méi)有別的想法象它這樣富有成效地?zé)òl(fā)過(guò)人的精神。同時(shí)，沒(méi)有別的概念象它這樣迫切需要澄清?！?3.5.1一一對(duì)應(yīng)方法與可列集,定義：如果能根據(jù)某一法則使集合M與集合N中的元素建立一一對(duì)應(yīng)，那么M與N等價(jià)（按現(xiàn)代數(shù)學(xué)家的語(yǔ)言：稱M與N“等勢(shì)”或具有“相同基數(shù)”）。

34、 例如，偶數(shù)集E與自然數(shù)集N、整數(shù)集Z與自然數(shù)集N的一一對(duì)應(yīng)可以定義為：當(dāng)n∈N，有E中元2 n與之對(duì)應(yīng)； 當(dāng)n∈N，有Z中與之對(duì)應(yīng)。,,定義：能與自然數(shù)集 N 構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的集合，就稱為可列集或可數(shù)集。記為 。如， 。,,證明有理數(shù)集Q也是可列集（采用對(duì)角線的對(duì)應(yīng)方法）,,,定理：如果有可數(shù)個(gè)可列集A1,A2,A3,…，則它們的并集仍舊是可列集。,事實(shí)上，不妨假定對(duì)于任何i、j，Ai和Aj沒(méi)有共同

35、元素。我們現(xiàn)在對(duì)A1,A2,A3,…的元素編號(hào)如下：A1：a11①，a12②，a13④，a14⑦，…A2：a21③，a22⑤，a23⑧…A3：a31⑥，a32⑨…A4：a41⑩，………對(duì)于固定k,Ak的元素形如：ak1,a k2,a k3,… 。我們定義一一對(duì)應(yīng)F：{1，2，3，…} 其中F (1) = a 11, F (2) = a 12 ,F (3) = a21 , F (4) = a 13, F (5) = a

36、 22, F (6) = a 31,F (7) = a 14, …, 從上圖可以直觀看出這個(gè)映射是一一對(duì)應(yīng)。因此，仍舊是可數(shù)集。 由以上的性質(zhì)可以知道Q一定是可數(shù)集。,,定義：有限集合不能通過(guò)一一對(duì)應(yīng)映射到自己的真子集合上，而無(wú)窮集合卻可以通過(guò)一一對(duì)應(yīng)映射到自己的真子集合上。例如上面講到的，整數(shù)集合可以映入偶數(shù)集合。而偶數(shù)集合顯然是整數(shù)集合的真子集合。,3.5.2實(shí)數(shù)集R是不可列的,證明（0，1）是不可列的。將（0，1）上的實(shí)數(shù)用小

37、數(shù)表示，若它們是可列的， a1 = 0. a11 a12 a13…，a2 = 0. a21 a22 a23…， ak= 0.ak1 ak2…。選實(shí)數(shù)Z = 0.b1 b2…，定義bk = 由于至少對(duì)于第k位，bk≠akk，則Z≠ak (k∈N)。所以(0,1)是不可列的。 于是，康托把（0，1）區(qū)間作為一個(gè)新的、更大超限基數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)，其基數(shù)用C（英文“連續(xù)統(tǒng)”一詞第一個(gè)字母）表示。,,R與（0，1）的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系可

38、表示為y x∈(0,1) 所以R與（0，1）的基數(shù)均為C， 證明，無(wú)理數(shù)集合也是不可列集。事實(shí)上，R是由實(shí)數(shù)集與無(wú)理數(shù)集的并集構(gòu)成的。如果無(wú)理數(shù)集是可列集，那么由上節(jié)康托定理可得，R是可列的。這顯然矛盾。,3.5.3超限基數(shù)比大小,定義 若集合A與B的某一子集間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，則|A|≤|B|。設(shè)|A|≤|B| ，若A與B間無(wú)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，則定理：若|A|<|B|且|A|≤|B| 則|B|≤|A|。奇異的命題

39、如，二維平面上點(diǎn)的個(gè)數(shù)與一維直線上點(diǎn)的個(gè)數(shù)一樣多平面上全部點(diǎn)，以及三維立方體中的點(diǎn)，都只有基數(shù)C,3.6 發(fā)展數(shù)感,“發(fā)展數(shù)感”的課程目標(biāo)。在《標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)數(shù)感的學(xué)習(xí)的目標(biāo)規(guī)定為： “理解數(shù)的意義；能用多種方法來(lái)表示數(shù)；能在具體情景中把握數(shù)的相對(duì)大小關(guān)系；能用數(shù)來(lái)表達(dá)和交流信息；能為解決問(wèn)題而選擇適當(dāng)?shù)乃惴?；能估?jì)運(yùn)算結(jié)果；并對(duì)結(jié)果的合理性做出解釋?！?印度近代數(shù)學(xué)家拉馬努金（1887—1920）具有對(duì)數(shù)字敏銳的洞察能力 172