運(yùn)籌學(xué)基礎(chǔ)

1、運(yùn)籌學(xué)基礎(chǔ),運(yùn)籌學(xué)分析的主要步驟,發(fā)現(xiàn)和定義待研究的問(wèn)題;構(gòu)造數(shù)學(xué)模型;尋找經(jīng)過(guò)模型優(yōu)化的結(jié)果;通過(guò)應(yīng)用這些結(jié)果對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分折和改善系統(tǒng)的運(yùn)行。,一、運(yùn)籌學(xué)模型,數(shù)學(xué)建模：(Mathematical Modelling)把現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問(wèn)題加以提煉，抽象為數(shù)學(xué)模型，求出模型的解，驗(yàn)證模型的合理性，并用該數(shù)學(xué)模型所提供的解答來(lái)解釋現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，我們把數(shù)學(xué)知識(shí)的這一應(yīng)用過(guò)程稱(chēng)為數(shù)學(xué)建模。,數(shù)學(xué)建模的幾個(gè)過(guò)程：,模型準(zhǔn)備 ：了解問(wèn)題的實(shí)際

2、背景，明確其實(shí)際意義，掌握對(duì)象的各種信息。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述問(wèn)題。模型假設(shè) ：根據(jù)實(shí)際對(duì)象的特征和建模的目的，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化，并用精確的語(yǔ)言提出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)。模型建立 ：在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來(lái)刻劃各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。（盡量用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具）,模型求解 ：利用獲取的數(shù)據(jù)資料，對(duì)模型的所有參數(shù)做出計(jì)算（估計(jì)）。模型分析 ：對(duì)所得的結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析。模型檢驗(yàn) ：將模型分析結(jié)果與實(shí)際情形進(jìn)行

3、比較，以此來(lái)驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性、合理性和適用性。如果模型與實(shí)際較吻合，則要對(duì)計(jì)算結(jié)果給出其實(shí)際含義，并解釋。如果模型與實(shí)際吻合較差,則應(yīng)該修改假設(shè)，在次重復(fù)建模過(guò)程。模型應(yīng)用 ：應(yīng)用方式因問(wèn)題的性質(zhì)和建模的目的而異。,二、線性規(guī)劃,生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題,設(shè)生產(chǎn)桌子x個(gè)，生產(chǎn)椅子y個(gè)（決策變量為2個(gè)）. 要達(dá)到銷(xiāo)售收入最大： Max z=50x＋30 y （目標(biāo)函數(shù)）。 工時(shí)要求：4x＋3y ? 120, 2 x＋y ?

4、 50. （約束條件） 變量取值要求：x?0, y?0. （約束條件）。線性規(guī)劃模型為： max z = 50 x＋30 y s.t. 4 x＋3 y ? 120 2 x＋y ? 50 x ? 0, y ? 0.,線性規(guī)劃模型,線性規(guī)劃模型的結(jié)構(gòu)目標(biāo)函數(shù) ：max，min約束條件：≥,=,≤變量符號(hào)：：≥0, or, ≤0線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式目標(biāo)函數(shù)：mi

5、n約束條件：=變量符號(hào)：≥0,數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題有三個(gè)組成部分：,1.有一組決策變量；2.有一個(gè)與決策變量有關(guān)的目標(biāo)函數(shù)，并是決策變量的線性函數(shù)，需要解決max或min問(wèn)題；3.有一組與決策變量有關(guān)的約束限制，用線性等式或線性不等式表示。,,,,,,,,,,,x2,x1,40,50,30,2x1+ x2 ? 50,20,10,10,20,30,4x1+3x2 ? 120,,z = 50x1+30x2= 600,,z = 50x1+

6、30x2= 900,z = 50x1+30x2= 1350,,,(15, 20),,,線性規(guī)劃的圖解,max z=x1+3x2s.t. x1+ x2≤6-x1+2x2≤8x1 ≥0, x2≥0,,,,,,,,,,,可行域,目標(biāo)函數(shù)等值線,最優(yōu)解,6,4,-8,6,0,x1,x2,目標(biāo)函數(shù)： Max z = 50 x1 + 100 x2 約束條件： s.t. x1 + x2

7、 ≤ 300 (A) 2 x1 + x2 ≤ 400 (B) x2 ≤ 250 (C) x1 ≥ 0 (D) x2 ≥ 0 (E)得到最優(yōu)解： x1 = 50， x2 = 250 最優(yōu)目標(biāo)值 z = 27500,,,

8、,,,,,,,,Z=36,圖解法的步驟,1.畫(huà)出直角坐標(biāo)系。2.畫(huà)出可行域，即滿(mǎn)足約束條件的全部（x,y）點(diǎn)。3.對(duì)目標(biāo)函數(shù)z給任意兩個(gè)常數(shù)，畫(huà)出兩條目標(biāo)函數(shù)等值線，確定目標(biāo)出函數(shù)的方向。沿這一方向，平移目標(biāo)函數(shù)等值線到可行域的邊界，確定最優(yōu)解。4.求解過(guò)最優(yōu)解點(diǎn)的兩個(gè)約束等式組成的線性方程組，求出最優(yōu)解的數(shù)值。5.代最優(yōu)解數(shù)值到目標(biāo)出函數(shù)中，得出最優(yōu)值。,整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題的提出,例 某廠擬用集裝箱托運(yùn)甲乙兩種貨物，每箱的體積、重量

9、、可獲利潤(rùn)以及托運(yùn)所受限制如表5－1：,問(wèn)兩種貨物各托運(yùn)多少箱，可使獲得的利潤(rùn)為最大？,三、整數(shù)規(guī)劃,1. 整數(shù)規(guī)劃一般形式,解：設(shè)托運(yùn)甲、乙兩種貨物x1，x2箱，用數(shù)學(xué)式可表示為：,2. IP問(wèn)題的求解,此IP問(wèn)題的最優(yōu)解(值)為：,LP問(wèn)題的最優(yōu)解(值)為：,做圖分析例的最優(yōu)解(直觀),某決策問(wèn)題的方案和狀態(tài)的收益表如下：,4.1 不確定型決策方法,四、決策分析,1. 悲觀準(zhǔn)則（ max—min 準(zhǔn)則）從每個(gè)方案中最差結(jié)果出發(fā)

10、，從中選擇最有利的方案 u（Ai）=min a i,j i =1,2,…,m j最優(yōu)方案是u（A i※）=max u（A i） i本例中是最優(yōu)方案是A1,,,,,2. 樂(lè)觀準(zhǔn)則（ max—max 準(zhǔn)則）從每個(gè)方案中最好的結(jié)果出發(fā)，從中選擇最有利的結(jié)果 u (Ai)

11、 = max ai,j j最優(yōu)方案是 Ai* ， u (Ai*) = max u(Ai) i 本例中最優(yōu)方案是 A 2 。,,,,,,,,,,,3. 折衷準(zhǔn)則悲觀準(zhǔn)則和樂(lè)觀準(zhǔn)則的折衷.樂(lè)觀系數(shù)為 ?，悲觀系數(shù)為1－ ?. （0 ≤ ? ≤1）

12、 j j i本例中：? = 0.8最優(yōu)方案A2 .,4. 等可能準(zhǔn)則（ Laplace 準(zhǔn)則）每個(gè)狀態(tài)出現(xiàn)的可能性是相等的。對(duì)每個(gè)方案計(jì)算各種狀態(tài)

13、下的平均結(jié)果，再?gòu)闹羞x擇最有利的方案。u (Ai*) = max u(Ai) 本例中最優(yōu)方案是 A1或A4 。,5. 遺憾準(zhǔn)則（ min－max準(zhǔn)則，后悔值準(zhǔn)則） 若某種狀態(tài)下未被考慮，將出現(xiàn)遺憾或后悔。對(duì)可能導(dǎo)致后悔最小的方案進(jìn)行選擇。 先列出后悔值矩陣：,,,,,,后悔值的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn) r(Ai)= max b i, j i = 1,2,…,m.

14、 j r(A i *)= min r (A i ) i最優(yōu)方案為 A 1 ， A 4 。,,用各準(zhǔn)則進(jìn)行決策后，可再進(jìn)行分析和比較,4.2 風(fēng)險(xiǎn)型決策方法,在不確定型決策中，將外部環(huán)境分成若干狀態(tài)：s1,s2,…,sm，但各種狀態(tài)的信息不知道。在風(fēng)險(xiǎn)型決策中，同樣將環(huán)境分成若干狀態(tài)：s1,s2,…,sm ，但每一

15、種狀態(tài)出現(xiàn)的概率可以直接預(yù)測(cè)或間接預(yù)測(cè)出來(lái)，即對(duì)每一狀態(tài)si，知道出現(xiàn)的概率 p ( s i ) ( i = 1,2,…,m ), 再進(jìn)行決策。,1. 概率最大原則,根據(jù)所給出狀態(tài)空間的概率分布，選擇出現(xiàn)概率最大的狀態(tài)進(jìn)行決策。例：按概率最大原則：P(S2)=0.4, 應(yīng)選擇 A 3 。,2. 最大期望原則,最大期望值法則 求各備選方案的期望收益 E（ A i ），根據(jù)期望收益的最大者決定采用的方案。

16、在上例題中，按最大期望法則應(yīng)選擇 A 1 。,,3. 決策樹(shù)方法 利用期望值法，用樹(shù)形圖討論多階段決策。,(1) 決策樹(shù) （1）決策點(diǎn)，一般用方形節(jié)點(diǎn)表示，并用字母區(qū)別。 決策點(diǎn)后的弧表示不同的決策方案，弧旁的數(shù)字表示方案所需成本費(fèi)用。 （2）狀態(tài)點(diǎn)，一般用園形節(jié)點(diǎn)表示，并用字母區(qū)別。 狀態(tài)點(diǎn)后的弧表示不同的狀態(tài)，弧旁的數(shù)字表示對(duì)應(yīng)狀態(tài)出現(xiàn)的概率。 （3）結(jié)果點(diǎn)，一般用三角形表示。 結(jié)果點(diǎn)后標(biāo)注

17、該結(jié)果的損益值。,(2)計(jì)算 用逆向倒推法，對(duì)每一個(gè)節(jié)點(diǎn)（包括決策點(diǎn)和狀態(tài)點(diǎn)）計(jì)算權(quán)值。 （1）對(duì)各狀態(tài)點(diǎn)，用期望值方法計(jì)算期望損益。 （2）對(duì)各決策點(diǎn)，對(duì)各方案的期望損益值扣去該方案所花費(fèi)的成本后，按最大收益準(zhǔn)則對(duì)該策點(diǎn)后的方案進(jìn)行比較選擇。選擇后的損益值作為該決策點(diǎn)的權(quán)值；并對(duì)未選中的決策方案進(jìn)行“剪枝”。 過(guò)程： 從結(jié)果點(diǎn)開(kāi)始 狀態(tài)點(diǎn)期望值 決策點(diǎn)收益值

18、 “剪枝” 狀態(tài)點(diǎn)期望值 決策點(diǎn)收益值 “剪枝” …… 初始決策點(diǎn)收益值 “剪枝”,,,,,,,,,,在例4.6中，計(jì)算順序?yàn)椋捍藭r(shí)對(duì)方法2“剪枝”；此時(shí)對(duì)方案2“剪枝”。 最后結(jié)果，該開(kāi)發(fā)公司應(yīng)參加投標(biāo)；若中標(biāo)，采用方法1進(jìn)行研制開(kāi)發(fā)；期望收益為4萬(wàn)元。,,,,五、對(duì)策論,局中人策略集 S＝{a1

19、,a2,…..an}局勢(shì)（ai, bj)贏得函數(shù)零和對(duì)策贏得矩陣,博弈論例,A采取低價(jià)策略；B采取低價(jià)策略,運(yùn)輸問(wèn)題網(wǎng)絡(luò)圖,六、運(yùn)輸問(wèn)題,運(yùn)輸問(wèn)題的一般數(shù)學(xué)模型,,最小元素法（1）,最小元素法（2）,最小元素法（3）,最小元素法（4）,最小元素法（5）,最小元素法（6）,7.1 圖的基本概念,一、幾個(gè)例子,例1 是北京、上海等十個(gè)城市間的鐵路交通圖。與此類(lèi)似的還有電話線分布圖、煤氣管道圖、航空路線圖等。,

20、七、圖論,例2 分別用點(diǎn)v1,v2,v3,v4,v5分別代表甲、乙、丙、丁、戊五支球隊(duì)。若有兩支球隊(duì)之間比賽過(guò)，就在相應(yīng)的點(diǎn)之間聯(lián)一條線，且這條線不過(guò)其他點(diǎn)。如下圖所示：,,v1,v2,v3,v4,v5,,,可知各隊(duì)之間的比賽情況如下：甲—— 乙、丙、丁、戊乙—— 甲、丙丙—— 甲、乙、丁丁—— 甲、丙、戊戊—— 甲、丁,,,,,,7.2 樹(shù),（一）、定義 ： 一個(gè)無(wú)圈的連通圖,在五個(gè)城市之間架設(shè)電話線，要求

21、任兩個(gè)城市之間都可以相互通話（允許通過(guò)其他城市），并且電話線的根數(shù)最少。,,,,,,,,,,v1,v5,v2,v3,v4,用v1,v2,v3,v4,v5代表五個(gè)城市,如果在某兩個(gè)城市之間架設(shè)電話線,則在相應(yīng)的兩點(diǎn)之間聯(lián)一條邊,這樣一個(gè)電話線網(wǎng)就可以用一個(gè)圖來(lái)表示。顯然,這個(gè)圖必須是連通的,而且是不含圈的連通圖。如左圖所示。,（二）、圖的支撐樹(shù),定義 設(shè)圖T=(V,E’) 是圖的支撐子圖，如果圖T=(V, E’) 是一個(gè)樹(shù)，則

22、稱(chēng)T是G的一個(gè)支撐樹(shù)。,支撐樹(shù)的求解方法,破圈法,例 用破圈法求解圖的一個(gè)支撐樹(shù),,,,,,,,,v1,v2,v3,v4,v5,e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e8,,,,,,,,,,,,,,,,,這就得到了該圖的一個(gè)支撐樹(shù)。,避圈法,,,,,,,,,,v1,v2,v3,v4,v5,v6,e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e8,e9,,,,,,,,,,,這就得到了該圖的一個(gè)支撐樹(shù)。,（三）、最小支撐樹(shù),定義1

23、 給圖G=(V,E) ，對(duì)G中的每一條邊[vi,vj]，相應(yīng)地有一個(gè)數(shù)wij，則稱(chēng)這樣的圖G為賦權(quán)圖，wij稱(chēng)為邊[vi,vj]上的權(quán)。,1. 定義,定義2 如果T=(V,E’) 是G的一個(gè)支撐樹(shù)，稱(chēng)E’中所有邊的權(quán)之和為支撐樹(shù)T的權(quán)，記為w(T)，即,最小支撐樹(shù) 如果支撐樹(shù)T*的權(quán)w(T*)是G的所有支撐樹(shù)的權(quán)中最小者，則稱(chēng)T*是G的最小支撐樹(shù)(簡(jiǎn)稱(chēng)最小樹(shù)),即,2. 最小支撐樹(shù)的求法：,方法一

24、 避圈法 開(kāi)始選一條權(quán)最小的邊，以后每一步中，總從未被選取的邊中選一條權(quán)最小的邊，并使之與已選取的邊不構(gòu)成圈。,v3,v5,,,,,,,,,v1,v2,v4,v6,6,5,1,5,7,2,3,4,4,,,,,,,,,,,,這就得到了該圖的一個(gè)最小支撐樹(shù)。,方法二 破圈法 任取一個(gè)圈，從圈中去掉一條權(quán)最大的邊。在余下的圖中，重復(fù)這個(gè)步驟，一直到一個(gè)不含圈的圖為止，這時(shí)的圖便是最小樹(shù)。,

25、,,,,,,,,v1,v2,v3,v4,v5,v6,6,5,1,5,7,2,3,4,4,,,,,,,,,,,,,,這就得到了該圖的一個(gè)最小支撐樹(shù)。,7.3 最短路問(wèn)題,一、最短路問(wèn)題的提出,,,,,,,,,,,,,,,,v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8,v9,1,3,2,2,1,6,6,10,4,10,4,2,3,2,3,6,例1,左圖為單行線交通網(wǎng)，弧旁數(shù)字表示通過(guò)這條單行線所需要的費(fèi)用。求從v1出發(fā)到v8總費(fèi)用最小的路

26、線。,,,如上圖所示的路線為最短路。,,,,二、求解方法: 狄克斯特拉算法 (Dijkstra , 1959),,,,,,,,,,,,,,,,v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8,v9,1,3,2,2,1,6,6,10,4,10,4,2,3,2,3,6,(0,0),,(v1,1),,標(biāo)號(hào)法，找起點(diǎn)已標(biāo)號(hào)而終點(diǎn)未標(biāo)號(hào)的最小值。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8,v9,1,3,2,

27、2,1,6,6,10,4,10,4,2,3,2,3,6,(0,0),,(v3,5),(v1,3),(v1,1),最后，找出v1到v8的最短路為：,(v4,11),,,(v2,6),,(v5,10),(v5,9),(v5,12),,,,,,例2,2,3,7,1,8,4,5,6,6,1,3,4,10,5,2,7,5,9,3,4,6,8,2,求從1到8的最短路徑,八、指派問(wèn)題,問(wèn)題提出： 需要 n 個(gè)人完成 n 項(xiàng)工作, 每人只能完成一項(xiàng),

28、 第 i 個(gè)人需耗時(shí) cij 完成第 j 項(xiàng)工作, 求需要時(shí)間最少的指派方案。 令 xij 為指派變量，xij = 1 表示指派第 i 個(gè)人完成第 j 項(xiàng)工作； xij = 0 表示不指派第 i 個(gè)人完成第 j 項(xiàng)工作,指派問(wèn)題模型:,求解指派問(wèn)題的匈牙利法畫(huà) n ? n 表, 將目標(biāo)函數(shù)系數(shù)填入（稱(chēng)此為指 派矩陣）;2從每行中找出最小系數(shù), 本行系數(shù)都減去該最小系數(shù); 再?gòu)拿苛兄姓页鲎钚∠禂?shù), 本列系數(shù)都

29、減去該最小系數(shù);,進(jìn)行試指派，以尋求最優(yōu)解（1）進(jìn)行行檢驗(yàn)從第一行開(kāi)始逐行檢查，當(dāng)遇到只含有一個(gè)未標(biāo)注的 0 元素的一行時(shí)，就在該0 元素上標(biāo)記△，這表示分配 △ 所在行的那個(gè)人擔(dān)任△ 那一列的那項(xiàng)工作。然后在該0 元素所在列的其它0 元素上標(biāo)記 ?，以免對(duì)那個(gè)任務(wù)再進(jìn)行分配。,（2）進(jìn)行列檢驗(yàn) 與行檢驗(yàn)類(lèi)似，從第一列開(kāi)始逐列檢查，當(dāng)遇到只含有一個(gè)未標(biāo)注的 0 元素的一列時(shí)，就在該0 元素上標(biāo)記△，并在該0 元素所在

30、行的其它0 元素上標(biāo)記 ?。,重復(fù)進(jìn)行上述列檢驗(yàn)，直到每一列都沒(méi)有未標(biāo)記的0 元素或至少有兩個(gè)未標(biāo)記的0 元素為止。,（3）反復(fù)進(jìn)行（1），（2）,例 有四個(gè)工人，要分別指派他們完成四項(xiàng)不同的工作，每人做各項(xiàng)工作所消耗的時(shí)間如表1所示，問(wèn)如何指派，才使總的消耗時(shí)間最少？,表 1,解： (1) 先對(duì)各行分別減去本行的最小元素，對(duì)列也如此，得：,-2,0,8,7,5,-4,11,0,10,4,-11,2,3,5,0,-4,0,1

31、1,5,6,-5,2,5,0,0,（2）進(jìn)行試指派：進(jìn)行行檢驗(yàn)，從第一行開(kāi)始，第一行只有一個(gè) 0 元素，標(biāo)以符號(hào)△，對(duì)第一列的其它 0 元素標(biāo)以 ? 號(hào)，其它類(lèi)似。,△,?,△,△,?,△,因?yàn)槊恳恍卸紭?biāo)記了符號(hào)△，其各數(shù)正好等于4，所以的最優(yōu)指派方案:工人甲—A，乙—B，丙—D，丁—C。相應(yīng)的最小總時(shí)間為26。,練習(xí)：設(shè)有指派矩陣，求最優(yōu)指派方案,-7,5,0,2,0,2,-6,2,3,0,0,0,-7,0,5,5,7