飛行器結構力學電子教案5-1

1、飛行器結構力學基礎——電子教學教案,西北工業(yè)大學航空學院航空結構工程系,第五章 位移法Displacement Method ofStructure Analysis,第一講,位移法概述桿元素與桁架的位移法求解,5.1 位移法概述,以結點位移(廣義位移)作為基本未知量，寫出由未知位移表示的應變，由物理方程寫出仍由未知位移表示的應力表達式，最后由平衡條件解出所有的未知位移，這就是位移法的基本思路。,在計算機科學飛速發(fā)展的今

2、天，適合于計算機應用的“有限元素法”正在逐步取代其他方法而成為飛行器結構分析方法的主流，并已發(fā)展為一門獨立的新興學科。本章所討論的位移法，是以矩陣運算作為數(shù)學工具來處理結構位移計算的，故也稱為矩陣位移法，它是有限元素法的基礎。,矩陣位移法主要內容包括兩個部分：,(1)單元分析，即將結構分解為有限個較小的單元，進行所謂離散化。對于桿系結構，一般以一根桿件或桿件的一段作為一個單元，分析單元的內力與位移之間的關系，建立單元剛度矩陣。,(2)整

3、體分析，即將各單元又集合成原來的結構，要求各單元滿足原結構的變形協(xié)調條件和平衡條件，從而建立整個結構的剛度方程，以求解原結構的位移和內力。,在桿系結構中，若單元只受軸力作用，則稱為桿元素，如桁架；若單元不僅受軸力，還受剪力和彎矩作用，則稱為梁元素，如梁、剛架等。,由于桿元素和梁元素是最簡單的元素，對這兩個元素的分析，既有鮮明的物理意義，又能反映位移法的實質。所以，本章主要對桿元素和梁元素進行分析，并用于桁架和剛架的位移法求解。,5.2

4、桿元素與桁架位移法求解,本節(jié)將由最簡單的桿元素和桁架開始，逐步介紹矩陣位移法的基本原理和計算過程 。,5.2 桿元素與桁架位移法求解,對于圖示桁架，編號為1、2、3、4、5、6的鉸結點稱為結點，兩結點之間的鏈桿稱為桿元素，如桿元素12、桿元素23等。,位移法中，將以每個結點處的位移（結點位移）作為基本未知量，建立關于未知結點位移的方程，首先求出結點位移，然后利用求出的結點位移，再求出其他的物理量（如元素應變、應力、內力等）。,在圖示坐

5、標系中，由于每一桿元素的方位不盡相同，為具普遍性，任取其中一桿元素i j，首先來研究桿元素的平衡關系。,5.2 桿元素與桁架位移法求解,一、桿元素的平衡方程及剛度矩陣,定義：,為桿元素在局部坐標系下的結點位移列陣和結點力列陣。,桿元素,結點上的結點位移分別記為 和 ，與結點位移相對應的結點力分別記為 和 ，結點位移和結點力一律以順坐標系的正方向為正。,如圖所示的桿元素 i j ，建立元素局部坐標系

6、 ， 軸沿桿元素的軸線由 i 結點指向 j 結點，桿長為Lij 。,5.2 桿元素與桁架位移法求解,關鍵：將桿元素的其他物理量（如元素內位移、應變、應力、結點力，應變能等）用結點位移表示。,（1）元素內位移,元素內各點的位移叫做內位移。桿元素的內位移可用結點位移通過線性插值得到：,式中， Ni (x)、Nj (x) 稱為位移形狀函數(shù)； [N(x)] 稱為元素的位移形狀函數(shù)矩陣。,對于桿元素，其位移形狀

7、函數(shù)具有如圖所示的形狀：,式中，[B]稱為元素的幾何矩陣。,（2）變形協(xié)調條件與幾何矩陣,利用變形協(xié)調條件，求元素應變，并用節(jié)點位移表示：,式中，[ S ]稱為元素的應力矩陣。,（3）物理關系與應力矩陣,（4）桿元素軸力N,對于等面積 A 的桿元素，其軸力用節(jié)點位移表示為,對于桿元素，[D] = E，應力可以用節(jié)點位移表示為,利用物理關系， ，[D]為元素彈性矩陣，由材料的應力-應變關系式得到。,作

8、用在桿元素上的結點力與桿軸力，滿足平衡條件：,（5）平衡條件與剛度矩陣,,上式就是位移法中桿元素的平衡方程，也稱為剛度方程。它表示元素結點力與結點位移之間的關系式。,或，,（5）平衡條件與剛度矩陣,,式中的,稱為桿元素在局部坐標系中的剛度矩陣。剛度矩陣將元素的結點位移列陣和結點力列陣聯(lián)系了起來。,kii、kij、kji 和 kjj 稱為剛度矩陣系數(shù)，簡稱剛度系數(shù)。,或，,將平衡方程展開后，得到：,,可見，剛度系數(shù)的物理意義為：,對線彈性

9、系統(tǒng)：kij = kji ( i≠j )因此，元素剛度矩陣為一對稱方陣 。,平衡方程的物理意義：,,i 點的位移在 i 點上引起的結點力。,j 點的位移在 i 點上引起的結點力。,i 點的位移在 j 點上引起的結點力。,j 點的位移在 j 點上引起的結點力。,應注意以下幾點：,（1）剛度矩陣 的列對應于結點位移，行則對應于結點力；,（2）根據(jù)元素平衡條件，必定有：,由此可以看出，由于結點位移 都可以有值，所以元素

10、是可移動的，結點位移列陣中包含有剛體運動，用結點位移表示的平衡方程是奇異的，剛度矩陣 的行列式等于零。這就意味著在去除剛體運動自由度之前，平衡方程不能直接用來求解位移。,元素剛度方程也可以通過虛功原理導出。,二、元素剛度矩陣的坐標變換,由于結構是由許多不同元素組成的，而各個元素的局部坐標系又是不全相同的，用位移法求解結點位移時，必須規(guī)定統(tǒng)一的坐標系，各結點位移的矢量必須按統(tǒng)一的坐標系來定義，便于建立全結構的平衡方程。因

11、此，由各個元素局部坐標系定義的元素結點位移和元素剛度矩陣必須向一個統(tǒng)一的坐標系轉換，統(tǒng)一的坐標系稱之為“總體坐標系”或“結構坐標系”。,總體坐標系,,考察圖示平面桿元素的情況，將 x、y 坐標系定義為總體坐標系，而將 、 坐標系定義為局部坐標系，總體坐標系與局部坐標系之間的夾角為θ（以逆時針方向為正）。,二、元素剛度矩陣的坐標變換,元素在局部坐標下的結點位移列陣、結點力列陣：,元素剛度矩陣擴階后，變?yōu)椋?局部坐標系中的結點位

12、移與總體坐標系中的結點位移，有以下轉換關系：,二、元素剛度矩陣的坐標變換,將其寫成矩陣形式：,則對結點位移：,記： ， ，則有：,分別表示元素在總體坐標系下的結點位移列陣和結點力列陣。,T 矩陣稱為坐標變換矩陣。,,相應地，對結點力：,元素在局部坐標中的作功與元素在總體坐標中的作功是相等的，據(jù)此，有：,則元素在總體坐標系下的剛度矩陣的變換式為：,即，元素在總體坐標系中的剛度方程為：,需要指

13、出：由于T 矩陣中僅僅包含坐標的傾角，當坐標平移時，對剛度矩陣沒有影響。因而如果僅平行移動坐標軸，剛度矩陣中元素值不變。,元素剛度矩陣的轉換：,平面桿元素在總體坐標下的剛度矩陣的展開式：,三、全結構平衡方程及結構總剛度矩陣,利用結點的力系平衡，建立結點平衡方程，從而得到全部結點的平衡方程。,例如圖示平面桁架，考慮結點2的平衡。作用在結點2上的沿總體坐標系軸正向的外載荷為X 2、Y 2，與結點2相連的桿元素的結點力如圖所示，桿元素

14、給結點2提供的力與桿元素的結點力大小相等，但方向相反，在結點2處形成平衡的共點力系。,結點2上的平衡方程為,或寫成：,利用桿元素的平衡方程，可以得到桿元素的結點力。,例如桿元素1-2的平衡方程為：,由此得到桿元素1-2在結點2處的結點力為：,結構在結點2處的平衡方程，就可寫作：,一般地，對于結構中的結點 i 的平衡方程，可寫作：,設全結構有 N 個結點，將 N 個結點的平衡方程聯(lián)立起來，組成全結構的平衡方程為：,簡記為：,稱之為

15、全結構的平衡方程或總剛度方程，[K ]稱之為全結構的剛度矩陣，簡稱為總剛度矩陣。,四、總剛度矩陣[K ]的組集,總剛度矩陣[K ]實際上是由各個元素的剛度矩陣組集而成的。元素的剛度矩陣只需按其結點位移在總剛度矩陣中的位置“按號就座”。,設全結構有 N 個結點，這 N 個結點的結點位移列陣為：,按結點位移列陣，排列結點外載荷列陣。,四、總剛度矩陣[K ]的組集,對于元素i j 的剛度矩陣， 遵照“按號就座”的原則，放置在總剛度矩陣[K ]

16、中的{δ i } 和{δ j } 所在行和列的交叉點處。,,,,,,,,,注意：剛度系數(shù)在此疊加。,五、總剛度方程的求解,總剛度方程在沒有引入位移約束條件之前，是不能求解的。這是因為，結構在沒有引入位移約束條件之前是自由體，整體上存在3個(空間體6個)靜力平衡條件，結點力列陣{P}中的項并不是完全獨立的，或剛度矩陣[ K ]中的相關行和列有線性相關性，導致剛度矩陣的逆陣不存在，是奇異矩陣。,在結構分析中，采用引入邊界條件的辦法刪去相關的

17、行(列)。如果一個結構的剛體位移被限制，則與限制位移相對應的支反力自行保持全結構的平衡，也即這些支反力必然是其他外力的線性組合，而它所對應的行(列)，恰恰是線性相關的行列。位移邊界條件處理之后，線性相關的行(列)就刪去，處理之后的總剛度矩陣[ K ]變成可逆的，此時，總剛度方程才能求解。,對零位移邊界條件，從總剛度矩陣中刪去零位移所對應的行和列，這種方法稱為刪行刪列法。,六、桁架的位移法求解,【例題1】試用位移法求圖示桁架中3點的位移以

18、及元素內力和支反力。設全部桿件的拉伸剛度均為EA。,解：以此例說明位移法的解題步驟。,1、結點編號、元素編號。,2、建立總體坐標系xoy 。,3、建立元素在總體坐標系xoy 中的剛度矩陣。,元素1-2，長度為L，,,元素1-3，長度為,元素2-3，長度為L，,,4、組集總剛度矩陣，建立總剛度方程。,按編號順序列出結點位移和結點力列陣：,,5、引入位移約束條件：,消除剛體位移。,簡單做法：從總剛度方程中，刪去等式兩端零位移所在的行和列。,

19、6、解引入位移約束條件后的總剛度方程，求出結點位移。,,7、求支反力。,可以從總剛度方程中，求出支反力。,,8、求元素內力，即桿軸力。,方法1：將已求出的結點位移代入到元素剛度方程中，可得到元素的結點力，然后合成得到桿的軸力。,對于元素i-j ：,注意：這里需要根據(jù)結點力的正負，來判斷桿子是受拉、還是受壓。,,8、求元素內力，即桿軸力。,方法2：將總體坐標系中的結點位移，轉化到元素局部坐標系中，在元素坐標系中計算桿的軸力。,對于元素i-

20、j ：,并且：Nij > 0，桿受拉； Nij > 0，桿受壓。,【例題2】用位移法求圖示桁架中結點1、3的位移，以及元素內力，設全部桿件的拉伸剛度均為EA。,解：,1、結點編號、元素編號。,2、建立總體坐標系xoy ，考慮到對稱性，取一半結構來分析。,3、建立元素剛度矩陣。,元素2-1，,元素2-3，,元素1-3，,4、組集總剛度矩陣，建立總剛度方程。,按編號順序列出結點位移和結點力列陣：,考慮到位移約束條件：,因為要從總