動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用

1、動(dòng)力學(xué)習(xí)題課,牛頓力學(xué)普遍定理的聯(lián)合運(yùn)用,解題思路上的幾個(gè)關(guān)節(jié)點(diǎn),(1) 求運(yùn)動(dòng)量, 特別是速度問題,優(yōu)先考慮用動(dòng)能定理. (整體分析)(2) 求約束反力, 必須用動(dòng)量定理或質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理.也涉及到動(dòng)量矩定理(轉(zhuǎn)動(dòng), 曲線運(yùn)動(dòng))(3) 初瞬時(shí)問題,鮮用動(dòng)能定理.(4) 注意約束的位置和性質(zhì)及是否系統(tǒng)的動(dòng)量或動(dòng)量矩守恒(某一方向).(5) 根據(jù)題意尋找運(yùn)動(dòng)學(xué)方程或約束方程往往是解動(dòng)力學(xué)問題的關(guān)鍵.,,,由動(dòng)能定理: T2 －T1

2、= ∑WA,綜 – 1 滑塊M 的質(zhì)量為 m , 可在固定于鉛垂面內(nèi), 半徑為R 的光滑圓環(huán)上滑動(dòng), 如圖示. 滑塊 M 上系有一剛度系數(shù)為k 的彈性繩 MOA, 此繩穿過固定環(huán)O 并 固結(jié)在A 點(diǎn)處. 已知滑塊在點(diǎn)O 時(shí)繩子的張力為零. 開始時(shí)滑塊在B 點(diǎn)靜止, 當(dāng) 它受到微小擾動(dòng)時(shí)即沿圓環(huán)滑下. 求 : 下滑的速度v 與角? 的關(guān)系及圓環(huán)對(duì)滑 塊M 的支反力.,,再取滑塊M分析:,,,,,式 中 θ

3、= 90º-φ 、 F=2kRsinφ,,,由牛頓第二定律,整理后可得:,由動(dòng)力學(xué)方程: 切向投影有 mat = mgcos60º at = 4.9m/s²法向投影有 man = 0 = F1 + F2 – mg sin60º 平動(dòng)物體, 角加速度恒為零, 故有,(F1+F2)cos60º·b/2+(F1- F2)sin60º·b/2

4、 = 0 ,綜 – 4 正方形均質(zhì)板的質(zhì)量為 40kg , 在鉛直平面內(nèi)以三根軟繩拉住, 板的邊長b = 100mm. 求: ( 1 ) 當(dāng)軟繩FG 剪斷后, 木板開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度及AD 和 BE 兩繩 的張力; ( 2 ) 當(dāng)AD 和 BE 兩繩位于鉛直位置時(shí), 板中心C 的加速度和兩繩的張力.,由 , 聯(lián)立可得 F1 = 71.8 (N) F2 = 267.8 (N

5、),解: (1) 取板分析 初瞬時(shí)問題, 只有切向加速度.,,,,,,設(shè)繩長為L , 由動(dòng)能定理得:,,由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理及對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理:,聯(lián)立求得: F1 = F2 = 248.5(N),(2) 取最低位置板分析,,,,,對(duì)A塊 , 有動(dòng)力學(xué)方程,聯(lián)立 (1) (2) (3) (4) (5)得:,對(duì)B塊, 有動(dòng)力學(xué)方程,由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系:,綜 – 5 圖示三棱柱A 沿三棱柱B 的斜面滑動(dòng). A 和 B的質(zhì)量各為 m1 和m2

6、 .三棱 柱B 的斜面與水平面成? 角. 不計(jì)摩擦. 求三棱柱B 的加速度.,取B處的小球分析: 由相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程,A,在鉛直方向投影,取系統(tǒng)分析: 水平方向動(dòng)量守恒,由動(dòng)能定理,聯(lián)立 (1) (2) 可得,綜 – 10 質(zhì)量為 m0 的物體上刻有半徑為r 的半圓槽, 放在光滑的水平面上, 原處于靜止?fàn)顟B(tài). 有一質(zhì)量為 m 的小球自A 處無初速地沿光滑的半圓槽下滑. 若m0 = 3m , 求小球滑到B 處時(shí)相對(duì)于

7、物體的速度和槽對(duì)小球的正壓力.,,設(shè)A塊由靜止上升了s 米,解 : ( 1 )取系統(tǒng)分析:,,由動(dòng)能定理 T2 –T1 = ∑W,綜 – 13 圖示機(jī)構(gòu)中, 物塊A 、B 的質(zhì)量均為 m , 兩均質(zhì)圓輪的質(zhì)量均為2m , 半徑均為R. 輪C鉸接于無重的懸臂梁CK上, D為動(dòng)滑輪, 梁的長度為3R, 繩與輪之間無滑動(dòng). 系統(tǒng)由靜止開始運(yùn)動(dòng). 求: ( 1 ) A物塊上升的加速度; ( 2 ) HE段繩的拉力; ( 3 ) 固定

8、端K處的約束反力.,由對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理,(2) 取A塊,C 輪組合體分析,E,由動(dòng)量定理有:,X方向:,Y方向:,(3) 取KC桿分析,平衡問題:∑X = 0: ∑Y = 0: ∑MK(F) = 0:,解: (1) 系統(tǒng)分析, 如圖示 , 由動(dòng)能定理 T2 –T1 = ∑WA,補(bǔ)充例題: 圖示均質(zhì)桿AB長為l , 放在鉛直平面內(nèi), 桿的一端A靠在光滑的鉛直 墻上, 另一端B在光滑

9、的水平地板上, 并與水平面成?0. 此后, 令桿由靜止倒下. 求: ( 1 ) 桿在任意位置時(shí)的角加速度和角速度; ( 2 ) 當(dāng)桿脫離墻時(shí), 此桿與水平面所夾的角.,(2) 由題意及圖示, 桿脫離墻壁時(shí)必有 FA = 0 , 故先求 FA = ?,桿在脫離墻壁前有質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理( 水平投影 ):,解: (1) B端未脫離墻壁前桿作定軸轉(zhuǎn)動(dòng), 由動(dòng)能定理有:,,綜 – 19 均質(zhì)桿AB長為l ,質(zhì)量為m , 起

10、初緊靠在鉛垂的墻壁上. 由于微小的干擾, 桿 繞B點(diǎn)傾倒如圖. 不計(jì)摩擦. 求: ( 1 ) B端未脫離墻時(shí)AB桿的角速度和角加速度和B處的約束反力 ; ( 2 ) B端脫離墻時(shí)的夾角?1 = ? ( 3 ) 桿著地時(shí)質(zhì)心的速度及桿的角速度.,(2) B 端剛脫離墻壁時(shí), FB = 0 由上式可得:,,(3) 在上述FB = 0 以后,質(zhì)心水平速度守恒, 且在A端著地之前桿作

11、平面運(yùn)動(dòng).,整個(gè)過程中約束反力不作功, 由動(dòng)能定理得:,而在A即觸地面時(shí)有:,(速度投影定理 ),系統(tǒng)的質(zhì)心守恒, 初始系統(tǒng)的質(zhì)心B*靜止,綜 – 27 ( 五版下冊(cè) ) 兩質(zhì)量皆為m ,長皆為 l 的相同的均質(zhì)桿AB與BC, 在點(diǎn)B處用光滑鉸鏈連接. 在兩桿的中點(diǎn)之間連一剛度為k 的無質(zhì)量的彈簧, 彈簧原長為l/2. 初始 時(shí)將此兩桿拉開成一直線, 靜止放在光滑的水平面上. 求桿受微小干擾而合攏成互相垂直時(shí), B點(diǎn)的速度和各桿的角速度

12、.,,補(bǔ)充例題 均質(zhì)桿AB的質(zhì)量為m, 長為L , 用兩根柔索懸掛, 如圖示. 現(xiàn)將OB繩突然切斷, 求此瞬時(shí)AB桿的角加速度和AD繩的張力.,解: (1) 球桿系統(tǒng)在重力作用下的運(yùn)動(dòng)(方程).,,習(xí) 12 – 15 圖示兩小球A和B,質(zhì)量分別為 mA = 2kg , mB = 1kg . 用AB = l = 0.6m的無重剛桿連接. 在初瞬時(shí), 桿在水平位置, B不動(dòng), 而A的速度VA = 0.6? m/s

13、 , 方向鉛直向上. 求: ( 1 ) 兩小球在重力作用下的運(yùn)動(dòng); ( 2 ) 在t = 2 秒時(shí), 兩小球在定坐標(biāo)系A(chǔ) – xy 的位置; ( 3 ) 在t = 2 秒時(shí), 桿軸線方向的內(nèi)力.,(2) t = 2 秒時(shí), 兩球相對(duì)于定坐標(biāo)系 A – xy的位置,(1) 球桿系統(tǒng)在重力作用下的運(yùn)動(dòng)(方程).,(3) t = 2 秒時(shí), 桿軸線方向的內(nèi)力.,注: (1) 亦可取A球分析, 最后的結(jié)果相同.