大地測量學(xué)基礎(chǔ)[1].7控制

1、南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,1,,第七章 橢球面上的測量計算,§7.1 地球橢球的基本幾何參數(shù) 及其相互關(guān)系7.1.1 地球橢球的基本幾何參數(shù)◆子午圈(線,面,橢圓)◆平行圈(緯圈)◆赤道,,,,,,,,,,,,,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,2,決定旋轉(zhuǎn)橢球的性狀和大小的五個基本幾何參數(shù)(或稱元素) 橢圓的長半徑: 橢圓的短半徑: 橢圓的扁率: 橢圓的第一偏心率:

2、 橢圓的第二偏心率: :橢球的焦距,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,3,為簡化書寫，常引入以下符號：此外，還有兩個常用的輔助函數(shù)：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,4,7.1.2 地球橢球參數(shù)的相互關(guān)系,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,5,§7.2 橢球面上的常用坐標(biāo)系 及其相互關(guān)系7.2.1 各種坐標(biāo)系的建立1.大地坐標(biāo)系 大地經(jīng)度B 大地緯度L 大地高H,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,6,2

3、.空間直角坐標(biāo)系當(dāng)坐標(biāo)原點位在總地球橢球(或參考橢球)質(zhì)心時，此時稱為地心(或參心)空間直角坐標(biāo)系，Z軸與地球平均自轉(zhuǎn)軸相重合，亦即指向某一時刻的平均北極點;X軸指向平均自轉(zhuǎn)軸與平均格林尼治天文臺所決定的子午面與赤道面的交點Ge,而Y軸與此平面垂直，且指向東為正。,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,7,3.子午面直角坐標(biāo)系設(shè)P點的大地經(jīng)度為L，在過P點的子午面上，以子午圈橢圓中心為原點，建立x,y平面直角坐標(biāo)系。 在該坐

4、標(biāo)系中，P點的位置用L,x,y表示。,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,8,4.天文坐標(biāo)系 天文坐標(biāo)系是以鉛垂線為依據(jù)建立起來的。在這個坐標(biāo)系中，一點的坐標(biāo)用天文經(jīng)度λ及天文緯度φ表示。所謂天文緯度φ是P點的鉛垂線與地球赤道面形成的銳角，天文經(jīng)度λ是天文起始子午面同過P點的天文子午面之間形成的二面角，此時的天文子午面系指過P點的鉛垂線和地球旋轉(zhuǎn)軸組成的平面。,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,9,5.地心緯度坐標(biāo)系及歸化緯度坐標(biāo)系 設(shè)橢

5、球面上P點的大地經(jīng)度L，在此子午面上以橢圓中心O為原點建立地心緯度坐標(biāo)系; 以橢球長半徑a為半徑作輔助圓，延長Ｐ２Ｐ與輔助圓相交Ｐ１點，則OP１與x軸夾角稱為P點的歸化緯度u。,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,10,6.站心地平坐標(biāo)系 大地站心地平坐標(biāo)系是以測站法線和子午線方向為依據(jù)的坐標(biāo)系，點的坐標(biāo)可用(x,y,z)或(S,A,Z)表示。 天文站心地平坐標(biāo)系由垂線，真地平面及天文子午面所決定。,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,11,

6、7.2.2 各種坐標(biāo)系間的關(guān)系1.子午平面坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系的關(guān)系,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,12,,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,13,子午平面直角坐標(biāo)系同歸化緯度 坐標(biāo)系的關(guān)系 由圖可知:,,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,14,子午平面直角坐標(biāo)系同地心緯度 坐標(biāo)系的關(guān)系 由圖可知:而:,,,,,,,,,,,,,,,,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,15,2.空間直角坐標(biāo)系同子午平面直角坐標(biāo)系的關(guān)系,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,16,3.空間

7、直角坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系的關(guān)系圖中:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,17,,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,18,則:,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,19,當(dāng)已知P點的空間直角坐標(biāo)計算相應(yīng)的大地坐標(biāo)時,對大地經(jīng)度L有大地緯度B的計算比較復(fù)雜,通常采用迭代法:或:,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,20,迭代時可取: 用 的初值計算 和 ,按

8、 進(jìn)行第二次迭代,直到最后兩次 值之差小于允許誤差為止。 當(dāng)已知大地緯度 時，按下式計算大地高 或,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,21,4.空間直角坐標(biāo)系同歸化緯度坐標(biāo)系的關(guān)系,,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,22,5.大地緯度 ，歸化緯度 ，地心緯度 之間的 關(guān)系 和 之間的關(guān)系,,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,23,和 之間

9、的關(guān)系 和 之間的關(guān)系 大地緯度、地心緯度、歸化緯度之間的差異很小，經(jīng)過計算，當(dāng)B=45°時,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,24,§7.3 橢球面上的幾種曲率半徑 過橢球面上任意一點可作一條垂直于橢球面的法線，包含這條法線的平面叫作法截面，法截面與橢球面的交線叫法截線。 包含橢球面一點的法截可作無數(shù)多個法截面相應(yīng)有無數(shù)多個法截線。橢球面上法截線曲率半徑不同于球面上的法截線曲率半徑都等

10、于圓球的半徑,而是不同方向的法截線曲率半徑都不相同。因此本節(jié)首先研究子午線及卯酉線的曲率半徑，在此基礎(chǔ)上再研究平均曲率半徑及任意方向的曲率半徑。,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,25,7.3.1 子午曲率半徑,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,26,,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,27,,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,28,7.3.2 卯酉曲率半徑 過橢球面上一點的法線，可作無限個法截面，其中一個與該點子午面相垂直的法截面同橢球面相截形成的閉合的圈稱為卯酉圈

11、。 圖中PEE′即為過P點的卯酉圈。卯酉圈曲率半徑用N表示。,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,29,麥尼爾定理:假設(shè)通過曲面上一點引兩條截弧，一為法截弧，一為斜截弧，且在該點上這兩條截弧具有公共切線，這時斜截弧在該點處的曲率半徑等于法截弧的曲率半徑乘以兩截弧平面夾角的余弦。即： 而：所以： 也可以寫成：由圖可看出：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,30,卯酉圈曲率半徑恰好等于法線

12、介于橢球面和短軸之間的長度，亦即卯酉圈的曲率中心位在橢球的旋轉(zhuǎn)軸上。,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,31,主曲率半徑的計算 以上討論的子午圈曲率半徑M及卯酉圈曲率半徑N，是兩個互相垂直的法截弧的曲率半徑，這在微分幾何中統(tǒng)稱為主曲率半徑。,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,32,,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,33,將克拉索夫斯基橢球元素值代入得各系數(shù),南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,34,將1975年國際橢球元素值代入得各系數(shù),南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,35,也可以寫

13、成：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,36,則式中：,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,37,將克拉索夫斯基橢球元素值代入得各系數(shù),南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,38,將1975年國際橢球元素值代入得各系數(shù),南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,39,7.3.3 任意法截弧的曲率半徑,,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,40,ＲＡ不僅與點的緯度B有關(guān)，而且還與過該點的法截弧的方位角A有關(guān)。當(dāng)Ａ＝０°時，變?yōu)橛嬎阕游缛η拾霃降?，即Ｒ０＝Ｍ；?dāng)ＲＡ＝90°時，為卯酉圈曲率半徑

14、，即Ｒ９０＝Ｎ。主曲率半徑M及N分別是ＲＡ的極小值和極大值。,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,41,當(dāng)A由0°→90°時，ＲＡ之值由Ｍ→Ｎ，當(dāng)A由90°→180°時，ＲＡ值由N→Ｍ，可見ＲＡ值的變化是以90°為周期且與子午圈和卯酉圈對稱的。7.3.4 平均曲率半徑 或 橢球面上任意一點的平均曲率半徑R等于該點子午圈曲率半徑M和卯酉圈曲率半徑N的幾何平均值。,南京

15、工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,42,7.3.5 M，N，R的關(guān)系,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,43,對于克拉索夫斯基橢球,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,44,§7.4 橢球面上的弧長計算7.4.1 子午線弧長計算公式,,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,45,,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,46,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,47,克拉索夫斯基橢球子午弧長計算公式 1975年國際橢球子午弧長計算公式,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,48,如果以B＝90°代入，則得子

16、午橢圓在一個 象限內(nèi)的弧長約為10 002 137m。旋轉(zhuǎn)橢球的子午圈的整個弧長約為40 008 549.995m。即一象限子午線弧長約為10 000km，地球周長約為40 000km。 為求子午線上兩個緯度B１及Ｂ２間的弧長，只需按式分別算出相應(yīng)的X１及X２，而后取差：ΔＸ＝Ｘ２－Ｘ１，該ΔＸ即為所求的弧長。,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,49,當(dāng)弧長甚短(例如X≤40km，計算精度到0.001m)，可視子午弧為圓弧，而圓

17、的半徑為該圓弧上平均緯度點的子午圈的曲率半徑Mｍ,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,50,由子午弧長求大地緯度迭代解法:,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,51,7.4.2 平行圈弧長公式,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,52,子午線弧長和平行圈弧長變化的比較,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,53,§7.5 將地面觀測值歸算至橢球面 觀測的基準(zhǔn)線不是各點相應(yīng)的橢球面的法線，而是各點的垂線，各點的垂線與法線存在著垂線偏差。 歸算的兩條基本要求：①以橢

18、球面的法線為基準(zhǔn)；②將地面觀測元素化為橢球面上大地線的相應(yīng)元素。,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,54,7.5.1 將地面觀測的水平方向歸算至 橢球面 將水平方向歸算至橢球面上，包括垂線偏差改正、標(biāo)高差改正及截面差改正，習(xí)慣上稱此三項改正為三差改正。 (1)垂線偏差改正,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,55,以測站A為中心作出單位半徑的輔助球,u是垂線偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分別以ξ，η表示，M是地面觀測

19、目標(biāo)m在球面上的投影。 垂線偏差對水平方向的影響是(R-R１),南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,56,(2)標(biāo)高差改正,,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,57,(3)截面差改正,,南京工業(yè)大學(xué)土木學(xué)院,58,7.5.1 將地面觀測的長度歸算至橢球面1.基線尺量距的歸算 將基線尺量取的長度加上測段傾斜改正后，可以認(rèn)為它是基線平均高程面上的長度，以Ｓ０表示，現(xiàn)要把它歸算至參考橢球面上的大地線長度S。(1).垂線偏差對長度歸算的影響,南京工業(yè)