《應(yīng)用大地測(cè)量學(xué)》第五章-地球橢球與測(cè)量計(jì)算

1、第五章 地球橢球與測(cè)量計(jì)算,中國(guó)礦業(yè)大學(xué)環(huán)境與測(cè)繪學(xué)院,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),本章解決的主要問(wèn)題,1、基礎(chǔ)知識(shí)橢球的幾何特征；地球橢球及其定位；橢球面上的弧長(zhǎng)計(jì)算。2、地面觀測(cè)元素化算至橢球面3、橢球面上大地坐標(biāo)的計(jì)算問(wèn)題,,,,,,,1,2,3,4,5,,A1,N,,,A2,S,(B1,L1),平面坐標(biāo)計(jì)算,球面坐標(biāo)計(jì)算,,,,β,(x1,y1),,第五章 地球橢球及橢球面上的計(jì)算,第一節(jié) 地球橢球及其定位（基礎(chǔ)）第二節(jié)

2、 橢球面上法截線曲率半徑（基礎(chǔ)）第三節(jié) 橢球面上弧長(zhǎng)計(jì)算（基礎(chǔ)）第四節(jié) 地面觀測(cè)值歸算至橢球面（重點(diǎn)）第五節(jié) 橢球面上大地問(wèn)題解算（重點(diǎn)）,第五章 地球橢球及橢球面上的計(jì)算,第一節(jié) 地球橢球及其定位（基礎(chǔ)）第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑（基礎(chǔ)）第三節(jié) 橢球面上弧長(zhǎng)計(jì)算（基礎(chǔ)）第四節(jié) 地面觀測(cè)值歸算至橢球面（重點(diǎn)）第五節(jié) 橢球面上大地問(wèn)題解算（重點(diǎn)）,§5.1 地球橢球及其定位,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),測(cè)量的外業(yè)工作主要

3、是在地球表面進(jìn)行的，或者說(shuō)主要是對(duì)地球表面進(jìn)行觀測(cè)的，由于地球表面不是一個(gè)規(guī)則的數(shù)學(xué)曲面，在其上面無(wú)法進(jìn)行嚴(yán)密的測(cè)量計(jì)算。因此，需要尋求一個(gè)大小和形狀最接近于地球的規(guī)則形體——地球橢球，在其表面完成測(cè)量計(jì)算工作。用橢球來(lái)表示地球必須解決2個(gè)問(wèn)題：一是橢球參數(shù)的選擇(橢球的大小和形狀)； 二是確定橢球與地球的相關(guān)位置，即橢球的定位(橢球與大地水準(zhǔn)面包圍的大地體應(yīng)當(dāng)最密合)。,§5.1 地球橢球及其定位,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),具有一

4、定幾何參數(shù)，經(jīng)過(guò)定位，在全球范圍內(nèi)與大地體最為接近、密合最好的橢球稱為地球橢球。 在某一地區(qū)與大地水準(zhǔn)面密合最好的橢球，稱為參考橢球。,§5.1 地球橢球及其定位,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),§5.1.1 橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系§5.1.2 垂線偏差及其基本公式§5.1.3 橢球定位,§5.1 地球橢球及其定位,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),§5.1.1 橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系

5、67;5.1.2 垂線偏差及其基本公式§5.1.3 橢球定位,§5.1.1 橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),偏心距： 第一偏心率： （5-1）第二偏心率： 扁率： （5-2）橢球長(zhǎng)半徑a，短半徑b,§5.1.1 橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系,應(yīng)用大地

6、測(cè)量學(xué),a、b、e、e’之間的關(guān)系： （5-3） （5-4） （5-5）,§5.1.1 橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),幾種橢球幾何參數(shù),§5.1.1 橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系,§5.1 地球橢球及其

7、定位,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),§5.1.1 橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系§5.1.2 垂線偏差及其基本公式§5.1.3 橢球定位,§5.1.2 垂線偏差及其基本公式,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),垂線偏差——地面一點(diǎn)上，鉛垂線方向和相應(yīng)的橢球面法線方向之間的夾角u 。垂線偏差u的分量——子午圈分量ξ 和卯酉圈分量η計(jì)算公式： （5-7）

8、 （5-8）,§5.1.2 垂線偏差及其基本公式,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),天文方位角與大地方位角之間的關(guān)系式： （5-14） （5-15） 以上公式稱為拉普拉斯方程式。,§5.1.2 垂線偏差及其基本公式,應(yīng)用大

9、地測(cè)量學(xué),橢球短軸與地球某一固定歷元的地軸不平行，起始大地子午面和起始天文子午面也不平行，將產(chǎn)生歐拉角，設(shè)為 。此時(shí)垂線偏差公式（5-8）及拉普拉斯方程式（5-15）擴(kuò)展為：（5-16） 上式稱為廣義垂線偏差和拉普拉斯方程。,§5.1 地球橢球及其定位,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),§5.1.1 橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系§5.1.2 垂線偏差及其基本公式§5.1.3 橢球定

10、位,§5.1.3 橢球定位,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),橢球定位——將一定參數(shù)的橢球與大地體的相關(guān)位置固定下來(lái)，確定測(cè)量計(jì)算基準(zhǔn)面的具體位置和大地測(cè)量起算數(shù)據(jù)。 包括：定位和定向兩方面。定位是指確定橢球中心的位置，定向是指確定該橢球坐標(biāo)軸的指向。從數(shù)學(xué)上講就是要確定三個(gè)平移參數(shù) 和三個(gè)旋轉(zhuǎn)角度 。 橢球定位三個(gè)條件：（1）橢球短軸與某一指定歷元的地球橢球自轉(zhuǎn)軸平行；（2）起始大地子午

11、面與起始天文子午面相平行；（3）在一定區(qū)域范圍內(nèi)，橢球面與大地水準(zhǔn)面（或似大地水準(zhǔn)面）最為密合。,§5.1.3 橢球定位,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),橢球定位通過(guò)大地原點(diǎn)的天文觀測(cè)實(shí)現(xiàn)。對(duì)于大地原點(diǎn)：B0= ψ0-ξ0L0= λ0-η0·secψ0A0= α0-η0·tanψ0H0= H0常+ζ0 初期定位時(shí)，ξ0，η0，ζ0未知，可取為0。稱為一點(diǎn)定位。 根據(jù)大地測(cè)量和天文

12、測(cè)量數(shù)據(jù)，在 條件下，求出原點(diǎn)的ξ0，η0，ζ0值。稱為多點(diǎn)定位。,第五章 地球橢球及橢球面上的計(jì)算,第一節(jié) 地球橢球及其定位（基礎(chǔ)）第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑（基礎(chǔ)）第三節(jié) 橢球面上弧長(zhǎng)計(jì)算（基礎(chǔ)）第四節(jié) 地面觀測(cè)值歸算至橢球面（重點(diǎn)）第五節(jié) 橢球面上大地問(wèn)題解算（重點(diǎn)）,第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),基本概念法截面——包含曲面一點(diǎn)法線的平面。法截線——法截面與曲面的截線。

13、斜截線——不包含法線的平面與橢球面的截線。子午圈——包含短軸的平面與橢球面的交線。卯酉圈——與橢球面上一點(diǎn)子午圈相垂直的法截線，為該點(diǎn)的卯酉圈。平行圈——垂直于短軸的平面與橢球面的交線。,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),§5.2.1 卯酉圈曲率半徑§5.2.2 子午圈曲率半徑§5.2.3 任意方向的法截線曲率半徑§5.2.4 平均曲率半徑§5.2.5 曲率半徑的數(shù)值計(jì)算公式,§

14、5.2 橢球面上法截線曲率半徑,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),§5.2.1 卯酉圈曲率半徑§5.2.2 子午圈曲率半徑§5.2.3 任意方向的法截線曲率半徑§5.2.4 平均曲率半徑§5.2.5 曲率半徑的數(shù)值計(jì)算公式,§5.2 橢球面上法截線曲率半徑,§5.2.1 卯酉圈曲率半徑,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),,,§5.2.1 卯酉圈曲率半徑,微分幾何中麥尼

15、厄定理： （5-19） （5-26）

16、 （5-23） W又稱第一基本緯度函數(shù)，V稱為第二基本維度函數(shù)。,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),§5.2.1 卯酉圈曲率半徑§5.2.2 子午圈曲率半徑§5.2.3 任意方向的法截線曲率半徑§5.2.4 平均曲率半徑§5.2.5 曲率半徑的數(shù)值計(jì)算公式,§5.2 橢球面上法截線曲率半徑,§5.2.2 子午圈曲率半徑,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),,,,,（5-30）,

17、§5.2.2 子午圈曲率半徑,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),,,表 M、N隨B變化的規(guī)律,,,橢球面上任一點(diǎn)處的法截線中，卯酉圈曲率半徑達(dá)到最大值，而子午圈曲率半徑最小。因此，任一點(diǎn)的卯酉圈和子午圈的切線方向，就是橢球面在該點(diǎn)的主方向，其曲率半徑N和M稱為該點(diǎn)的主曲率半徑。由于橢球面上任一點(diǎn)處的平行圈與卯酉圈有公共切線，所以，經(jīng)線和緯線上每一點(diǎn)的切線也都是橢球面在該點(diǎn)主方向。,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),§5.2.1 卯酉圈曲率半徑

18、7;5.2.2 子午圈曲率半徑§5.2.3 任意方向的法截線曲率半徑§5.2.4 平均曲率半徑§5.2.5 曲率半徑的數(shù)值計(jì)算公式,§5.2 橢球面上法截線曲率半徑,§5.2.3 任意方向的法截線曲率半徑,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),微分幾何中的歐拉公式： （5-3

19、1） （5-32） （5-33）,,,§5.2.3 任意方向的法截線曲率半徑,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),公式（5-33）可以看出，任意方向A的法截線曲率半徑RA，不僅與緯度B

20、有關(guān)，還與該點(diǎn)的法截線的大地方位角A有關(guān)。法截線的特性： （1）相對(duì)于主方向?qū)ΨQ位置的法截線具有相同的曲率半徑。 （2）橢球面上任一點(diǎn)相互垂直的兩個(gè)法截線曲率之和為固定值，且等于兩個(gè)主方向曲率之和。,,,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),§5.2.1 卯酉圈曲率半徑§5.2.2 子午圈曲率半徑§5.2.3 任意方向的法截線曲率半徑§5.2.4 平均曲率半徑§5.2.5 曲率半徑的數(shù)

21、值計(jì)算公式,§5.2 橢球面上法截線曲率半徑,§5.2.4 平均曲率半徑,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),在測(cè)量工作中，常常根據(jù)一定的精度要求，將某一范圍內(nèi)的橢球面視為圓球面來(lái)處理，為此就要求出這個(gè)圓球面的半徑——平均曲率半徑。 平均曲率半徑：過(guò)橢球面上一點(diǎn)的所有法截線（A從0～2π），當(dāng)其數(shù)目趨于無(wú)窮時(shí)，它們的曲率半徑的算術(shù)平均值的極限。

22、 （5-35） （5-36） 關(guān)系： N > R > M,,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),§5.2.1 卯酉圈曲率半徑§5.2.2 子午圈曲率半徑§5.2.3 任意方向的法截線曲率半徑§5.

23、2.4 平均曲率半徑§5.2.5 曲率半徑的數(shù)值計(jì)算公式,§5.2 橢球面上法截線曲率半徑,§5.2.5 曲率半徑的數(shù)值計(jì)算公式,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),,將N、M、R的計(jì)算公式（5-26）、（5-30）、（5-36）展開(kāi)成微小參數(shù)的冪級(jí)數(shù)，取其前幾項(xiàng)數(shù)值。 克拉索夫斯基橢球參數(shù)代入得到（5-38）。 1975年國(guó)際橢球參數(shù)代入得到（5-39）。,第五章 地球橢球及橢球面上的計(jì)算

24、,第一節(jié) 地球橢球及其定位（基礎(chǔ)）第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑（基礎(chǔ)）第三節(jié) 橢球面上弧長(zhǎng)計(jì)算（基礎(chǔ)）第四節(jié) 地面觀測(cè)值歸算至橢球面（重點(diǎn)）第五節(jié) 橢球面上大地問(wèn)題解算（重點(diǎn)）,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),（用于高斯投影計(jì)算，橢球面上大地問(wèn)題解算）§5.3.1 子午圈弧長(zhǎng)計(jì)算§5.3.2 平行圈弧長(zhǎng)計(jì)算,§5.3 橢球面上弧長(zhǎng)計(jì)算,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),§5.3.1 子午圈弧長(zhǎng)計(jì)算§5

25、.3.2 平行圈弧長(zhǎng)計(jì)算,§5.3 橢球面上弧長(zhǎng)計(jì)算,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),1、計(jì)算B=0到B的子午圈弧長(zhǎng)X由M=dX/dB（5-27）得： 將（5-37） 代入上式，從0到B積分，可得X。可知，X是B的函數(shù)。見(jiàn)公式(5-41)。 注意：將不同的橢球參數(shù)代入得相應(yīng)的子午圈弧長(zhǎng)計(jì)算式。,§5.3.1 子午圈弧長(zhǎng)計(jì)算,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),2、計(jì)算已知緯度B1和B2之間的子午圈弧長(zhǎng)△X（1）分別計(jì)算0到B1

26、和0到B2之間的子午圈弧長(zhǎng)X1和X2，然后求△X=X2-X1；（2）用上述積分式求B1～B2之間的子午圈弧長(zhǎng)△X。,§5.3.1 子午圈弧長(zhǎng)計(jì)算,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),§5.3.1 子午圈弧長(zhǎng)計(jì)算§5.3.2 平行圈弧長(zhǎng)計(jì)算,§5.3 橢球面上弧長(zhǎng)計(jì)算,§5.3.2 平行圈弧長(zhǎng)計(jì)算,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),平行圈是一個(gè)半徑等于 r=N·COSB的圓，緯度B處經(jīng)度L1～L2之間的平行圈弧

27、長(zhǎng),經(jīng)度差相同，緯度不同的平行圈，弧長(zhǎng)不同。緯度越高，單位經(jīng)度差點(diǎn)平行圈弧長(zhǎng)越短。 用于計(jì)算中、小比例尺地形圖中兩條子午圈和兩條平行圈所包圍的橢球面面積。,第五章 地球橢球及橢球面上的計(jì)算,第一節(jié) 地球橢球及其定位（基礎(chǔ)）第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑（基礎(chǔ)）第三節(jié) 橢球面上弧長(zhǎng)計(jì)算（基礎(chǔ)）第四節(jié) 地面觀測(cè)值歸算至橢球面（重點(diǎn)）第五節(jié) 橢球面上大地問(wèn)題解算（重點(diǎn)）,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),§5.4.1 相對(duì)法截線&

28、#167;5.4.2 大地線及其特征§5.4.3 大地線微分方程和克萊勞方程§5.4.4 地面觀測(cè)方向歸算至橢球面§5.4.5 地面觀測(cè)距離歸算至橢球面§5.4.6 橢球面上的三角形解算,§5.4 地面觀測(cè)值歸算至橢球面,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),§5.4.1 相對(duì)法截線§5.4.2 大地線及其特征§5.4.3 大地線微分方程和克萊勞方程§5.

29、4.4 地面觀測(cè)方向歸算至橢球面§5.4.5 地面觀測(cè)距離歸算至橢球面§5.4.6 橢球面上的三角形解算,§5.4 地面觀測(cè)值歸算至橢球面,§5.4.1 相對(duì)法截線,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),CK=NsinB， （5-22）代入（5-21）得：所以： （5-43） 上式說(shuō)點(diǎn)的緯度不同，其法線與短軸的交點(diǎn)到橢球中

30、心之間的距離不等，緯度越高，交點(diǎn)到橢球中心的距離越長(zhǎng)。,§5.4.1 相對(duì)法截線,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),設(shè)Q1和Q2兩點(diǎn)既不在同一平行圈上，也不在同一子午圈上，它們的法線Q1n1和Q2n2不相交。法截線Q1m1Q2和Q2m2Q1稱為兩點(diǎn)間的相對(duì)法截線。 正法截線與反法截線。一般不重合。,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),正反法截線之間的夾角△近似公式：令Bm=45°，A=45°，不同距離S求得的△值為： 

31、   S               △  100km          0.042″  60km     

32、0;     0.015″  30km           0.004″ 在長(zhǎng)距離的測(cè)量中，對(duì)向觀測(cè)所得3個(gè)內(nèi)角不能組成閉合三角形，需在兩點(diǎn)間選擇一條單一曲線——大地線。,§5.4.1 相對(duì)法截線,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),§5.4.1 相對(duì)法截線§5.4.

33、2 大地線及其特征§5.4.3 大地線微分方程和克萊勞方程§5.4.4 地面觀測(cè)方向歸算至橢球面§5.4.5 地面觀測(cè)距離歸算至橢球面§5.4.6 橢球面上的三角形解算,§5.4 地面觀測(cè)值歸算至橢球面,§5.4.2 大地線及其特征,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),1、大地線——曲面上兩點(diǎn)間的最短曲線。（或：大地線是曲面上的一條曲線，該曲線上每一點(diǎn)處的密切平面都包含曲面在該點(diǎn)的法線。,

34、§5.4.2 大地線及其特征,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),2、大地線幾何特征（1）一般情況下，曲面上的曲線并不是大地線（如球面上的小圓）。大地線相當(dāng)于橢球面上兩點(diǎn)間的最短程曲線。（2）大地線與相對(duì)法截線間的夾角為δ=△/3。（3）大地線與相對(duì)法截線間的長(zhǎng)度之差甚微，600km時(shí)二者之差僅為0.007mm。（4）兩點(diǎn)位于同一條子午圈上或赤道上，則大地線與子午圈、赤道重合。,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),§5.4.1 相對(duì)法截線

35、7;5.4.2 大地線及其特征§5.4.3 大地線微分方程和克萊勞方程§5.4.4 地面觀測(cè)方向歸算至橢球面§5.4.5 地面觀測(cè)距離歸算至橢球面§5.4.6 橢球面上的三角形解算,§5.4 地面觀測(cè)值歸算至橢球面,§5.4.3 大地線微分方程和克萊勞方程,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),大地線的解析特性——表述dB、dL、dA與dS的關(guān)系： 大地線的三個(gè)微分方程：,,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué)

36、,大地線的解析特性——表述dB、dL、dA與dS的關(guān)系： 大地線的克萊勞方程 ： r·sinA=C（C為常數(shù)）,,對(duì)于橢球面上一大地線而言，每點(diǎn)處平行圈半徑與該點(diǎn)處大地線方位角正弦的乘積是一個(gè)常數(shù)（大地線常數(shù)）?！藙谌R定理,§5.4.3 大地線微分方程和克萊勞方程,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),§5.4.1 相對(duì)法截線§5.4.2 大地線及其特征§5.4.3 大地線微分方程和克萊勞方

37、程§5.4.4 地面觀測(cè)方向歸算至橢球面§5.4.5 地面觀測(cè)距離歸算至橢球面§5.4.6 橢球面上的三角形解算,§5.4 地面觀測(cè)值歸算至橢球面,§5.4.4 地面觀測(cè)方向歸算至橢球面,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),將地面觀測(cè)方向歸算至橢球面上，包括三個(gè)基本內(nèi)容：（1）將測(cè)站點(diǎn)鉛垂線為基準(zhǔn)的地面觀測(cè)方向換算成橢球面上以法線為基準(zhǔn)的觀測(cè)方向。（垂線偏差改正）（2）將照準(zhǔn)點(diǎn)沿法線投影至橢球面，

38、換算成橢球面上兩點(diǎn)間的法截線方向。（標(biāo)高差改正）（3）將橢球面上的法截線方向換算成大地線方向。（截面差改正）,,§5.4.4 地面觀測(cè)方向歸算至橢球面,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),1、垂線偏差改正δ1 將地面測(cè)站點(diǎn)鉛垂線為基準(zhǔn)的觀測(cè)方向換算成橢球面上以法線為準(zhǔn)的觀測(cè)方向，其改正數(shù)δ1為： （5-51）例：A=0°，tanα=0.01，ξ=η=5″，

39、則δ1=0.05″。 垂線偏差改正數(shù)的大小主要取決于測(cè)站點(diǎn)的垂線偏差和觀測(cè)方向的天頂距（或垂直角）。僅在國(guó)家一、二等三角測(cè)量計(jì)算中，才規(guī)定加入此項(xiàng)改正。,,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),2、標(biāo)高差改正δ2 橢球上兩點(diǎn)不在同一子午面或同一平行圈上，過(guò)兩點(diǎn)多法線不共面，照準(zhǔn)點(diǎn) B高出橢球面某一高度 H2，使得在A點(diǎn)照準(zhǔn)B點(diǎn)的法截線Ab′與Ab之間有一夾角δ2。 （5-52）

40、B2 照準(zhǔn)點(diǎn)的大地緯度；A1 測(cè)站點(diǎn)至照準(zhǔn)點(diǎn)的大地方位角；H2 照準(zhǔn)點(diǎn)高出橢球面的高程；M1 測(cè)站點(diǎn)子午圈曲率半徑。例：A1=45°，B2=45°，H2=2000m，δ1=0.1″局部地區(qū)的控制測(cè)量一般不必考慮此項(xiàng)改正。,,§5.4.4 地面觀測(cè)方向歸算至橢球面,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),3、截面差改正δ3 將橢球面上法截線方向換算為大地線方向所加的為截面差改正數(shù)δ3。例：A1=45

41、°，Bm=45°，S=30km δ3=0.001″ 截面差改正主要與測(cè)站點(diǎn)至照準(zhǔn)點(diǎn)間的距離有關(guān)。只有在國(guó)家一等三角測(cè)量計(jì)算中，才進(jìn)行改正。,,§5.4.4 地面觀測(cè)方向歸算至橢球面,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),§5.4.1 相對(duì)法截線§5.4.2 大地線及其特征§5.4.3 大地線微分方程和克萊勞方程§5.4.4 地面觀測(cè)方向歸算至橢球面§5.4

42、.5 地面觀測(cè)距離歸算至橢球面§5.4.6 橢球面上的三角形解算,§5.4 地面觀測(cè)值歸算至橢球面,§5.4.5 地面觀測(cè)距離歸算至橢球面,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),設(shè)A、B兩點(diǎn)的大地高分別為H1為H2，h=H2-H1，d為空間直線長(zhǎng)。由三角形AOB按余弦公式可得： 弦長(zhǎng) （5-55） （4-28）（

43、4-31）弧長(zhǎng),,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),§5.4.1 相對(duì)法截線§5.4.2 大地線及其特征§5.4.3 大地線微分方程和克萊勞方程§5.4.4 地面觀測(cè)方向歸算至橢球面§5.4.5 地面觀測(cè)距離歸算至橢球面§5.4.6 橢球面上的三角形解算,§5.4 地面觀測(cè)值歸算至橢球面,§5.4.6 橢球面上的三角形解算,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),目的——將方向觀測(cè)值和起

44、算邊長(zhǎng)歸算到橢球面上后，在橢球面上解算未知邊長(zhǎng)。方法一：按球面三角形解算公式： 方法二：（勒讓德定理）將球面三角形改化為對(duì)應(yīng)邊相等的平面三角形，按平面三角公式解算三角形求得球面邊長(zhǎng)。球面三角形球面角超 ε=（A0+B0+C0）-180°=△/R2·ρ″，△為三角形面積。    A1=A0-ε/3， B1=B0-ε/3，C1=C0-ε/3。,,第五章 地球橢球及橢球面上的計(jì)算,

45、第一節(jié) 地球橢球及其定位（基礎(chǔ)）第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑（基礎(chǔ)）第三節(jié) 橢球面上弧長(zhǎng)計(jì)算（基礎(chǔ)）第四節(jié) 地面觀測(cè)值歸算至橢球面（重點(diǎn)）第五節(jié) 橢球面上大地問(wèn)題解算（重點(diǎn)）,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),§5.5.1 概述§5.5.2 勒讓德級(jí)數(shù)式§5.5.3 高斯平均引數(shù)正解公式§5.5.4 高斯平均引數(shù)反解公式,§5.5 橢球面上大地問(wèn)題解算,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),§5.5.

46、1 概述§5.5.2 勒讓德級(jí)數(shù)式§5.5.3 高斯平均引數(shù)正解公式§5.5.4 高斯平均引數(shù)反解公式,§5.5 橢球面上大地問(wèn)題解算,§5.5.1 概述,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),（一）解算內(nèi)容 大地問(wèn)題正解——已知P1點(diǎn)大地坐標(biāo)（B1，L1）、P1P2大地線長(zhǎng)S和大地方位角A1，推求P2點(diǎn)大地坐標(biāo)（B2，L2）和大地方位角A2。 大地問(wèn)題反解——已知P1P2兩點(diǎn)的大地坐標(biāo)

47、（B1，L1）、（B2，L2）反算P1P2的大地線長(zhǎng)S和大地方位角A1、A2。,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),（二）解算方法 1、按解算的距離分為：短距離（<400km)、中距離（400～1000km)和長(zhǎng)距離（1000～2000km)的解算。 2、按解算形式分為：直接解法和間接解法 直接解法——直接解求點(diǎn)B、A和相鄰起算點(diǎn)的大地經(jīng)差。 間接解法——先求大地經(jīng)差、緯差和大地方位角差，再加入到已知點(diǎn)的相應(yīng)大地?cái)?shù)據(jù)中。主要用于短

48、距離大地問(wèn)題的解算。,§5.5.1 概述,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),（二）解算方法 3、高斯平均引數(shù)大地問(wèn)題解算公式（間接解法，適用于短距離）。 基本思路： a、按照平均引數(shù)展開(kāi)的泰勒級(jí)數(shù)把大地線兩端點(diǎn)的經(jīng)差、緯差和方位角差各表示為大地線長(zhǎng)S的冪級(jí)數(shù)； b、利用大地線微分方程推求冪級(jí)數(shù)中各階導(dǎo)數(shù)，最終得到大地問(wèn)題解算公式。,§5.5.1 概述,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),§5.5.1 概述§5

49、.5.2 勒讓德級(jí)數(shù)式§5.5.3 高斯平均引數(shù)正解公式§5.5.4 高斯平均引數(shù)反解公式,§5.5 橢球面上大地問(wèn)題解算,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),按照泰勒級(jí)數(shù)將P1和P2兩點(diǎn)的緯差b、經(jīng)差l和方位角差α展開(kāi)成為大地線長(zhǎng)度S的冪級(jí)數(shù)，成為勒讓德級(jí)數(shù)式。 公式（5-63） 公式（5-69） 公式（5-70） 公式（5-71）,§5.5.2 勒讓德級(jí)數(shù)式,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),&

50、#167;5.5.1 概述§5.5.2 勒讓德級(jí)數(shù)式§5.5.3 高斯平均引數(shù)正解公式§5.5.4 高斯平均引數(shù)反解公式,§5.5 橢球面上大地問(wèn)題解算,§5.5.3 高斯平均引數(shù)正解公式,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),（一）基本思想 首先把勒讓德級(jí)數(shù)在P1點(diǎn)展開(kāi)改為在大地線長(zhǎng)度中點(diǎn)M展開(kāi)，以使級(jí)數(shù)公式項(xiàng)數(shù)減少、收斂快、精度高； 其次，考慮到求定中點(diǎn)M的復(fù)雜性，將M點(diǎn)用大地線兩端的

51、平均緯度及平均方位角相對(duì)應(yīng)的m點(diǎn)來(lái)代替，并借助迭代計(jì)算，便可順利的實(shí)現(xiàn)大地問(wèn)題的正解。,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),（二）高斯平均引數(shù)正解公式推求步驟：1、經(jīng)差l、緯差b、方位角差a是S的函數(shù)，故可以將其展為S的泰勒級(jí)數(shù)（按平均引數(shù)在 S/2處展為S的冪級(jí)數(shù)）。2、引入大地線兩端點(diǎn)的平均緯度和平均方位角，將dL/dS以Bm、Am按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)。3、根據(jù)大地線微分方程求泰勒級(jí)數(shù)中的系數(shù)。4、將系數(shù)代入平均引數(shù)公式。5、由于B2、A2未知，B

52、m、Am精確值未知，可通過(guò)逐次趨近法求出。一般三次即可。,§5.5.3 高斯平均引數(shù)正解公式,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),（三）計(jì)算公式一般公式： 公式（5-89）實(shí)用公式：距離小于70km時(shí)，采用簡(jiǎn)化公式：公式（5-90）,§5.5.3 高斯平均引數(shù)正解公式,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),§5.5.1 概述§5.5.2 勒讓德級(jí)數(shù)式§5.5.3 高斯平均引數(shù)正解公式§5.5.4

53、高斯平均引數(shù)反解公式,§5.5 橢球面上大地問(wèn)題解算,§5.5.4 高斯平均引數(shù)反解公式,應(yīng)用大地測(cè)量學(xué),高斯平均引數(shù)反解公式推求步驟：1、已知兩點(diǎn)間的緯差b、經(jīng)差l和平均緯度Bm，導(dǎo)出 SsinAm和 ScosAm，求a″。2、由SsinAm、ScosAm和 a計(jì)算S和A1、A2。計(jì)算公式： 公式（5-93）、（5-96）,第五章 復(fù)習(xí)思考題,1。名詞定義：地球橢球、橢球定位、法截線、子午圈、卯酉圈

54、、相對(duì)法截線、大地線、垂線偏差改正、標(biāo)高差改正、截面差改正、大地問(wèn)題正解、大地問(wèn)題反解。2。寫(xiě)出N、M、R及子午圈弧長(zhǎng)、平行圈弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，說(shuō)明式中符號(hào)的意義。3。大地線微分方程的意義。4。地面觀測(cè)值（方向、距離）歸算至橢球面應(yīng)加哪些改正？,第五章 習(xí)題,1。已知圖幅I-50-67中A、B點(diǎn)的大地緯度B=34°20′、34°，求相應(yīng)的M、N、R。2。計(jì)算圖幅I-50-67圖廓長(zhǎng)度。,,,,,117