大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)第三章

1、1,第三章 地球重力場(chǎng)及形狀的基本理論,2,地球重力場(chǎng)狀基本理論,3.1.1 地球的概說(shuō)（略）3.1.2 地球運(yùn)動(dòng)概說(shuō) 地球是太陽(yáng)系中的一顆行星，它有自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。 1、地球的自轉(zhuǎn) 地球的自轉(zhuǎn)即地球繞地軸由西向東旋轉(zhuǎn)。 地球的繞地軸旋轉(zhuǎn)360度的時(shí)間：太陽(yáng)日、恒星日。 地球的自轉(zhuǎn)速度：,3,地球重力場(chǎng)狀基本理論,2、地球的公轉(zhuǎn) 地球的公

2、轉(zhuǎn)滿足開普勒三大行星運(yùn)動(dòng)定律 (1) 行星運(yùn)動(dòng)軌跡是橢圓，太陽(yáng)位于其 橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上 直角坐標(biāo)方程： 極坐標(biāo)方程： f 真近點(diǎn)角，p 為焦參數(shù)（半通徑）,4,地球重力場(chǎng)狀基本理論,行星運(yùn)動(dòng)在單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等； 在時(shí)間 t 內(nèi)掃過(guò)的面積 s 相等，則面速度 可根據(jù)能量守恒定律導(dǎo)出。 (3)

3、 行星運(yùn)動(dòng)的周期的平方與軌道的長(zhǎng)半軸的立方的比為常數(shù)。 設(shè)a 和a1 , T 和 T1分別表示兩行星軌道的長(zhǎng)半徑與軌道運(yùn)行周期。,5,地球重力場(chǎng)狀基本理論,則第三定律表達(dá)為：一般可以用來(lái)計(jì)算行星或衛(wèi)星的質(zhì)量。牛頓萬(wàn)有引力定律： 開普勒定律是牛頓萬(wàn)有引力定律的基礎(chǔ)。 天體力學(xué),6,地球重力場(chǎng)狀基本理論,宇宙空間任意兩質(zhì)點(diǎn)，彼此相互吸引，其引力大小與他們的質(zhì)量成積成正比，與他們之間的距離平方成反比。,在相對(duì)運(yùn)

4、動(dòng)中，行星相對(duì)于太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)加速度：,,7,地球重力場(chǎng)狀基本理論,考慮到M>>m 注意： f 、 G、 k2 在不同的教材都表示引力常數(shù)。,8,,,,,地球重力場(chǎng)的基本原理,3.2.1 引力與離心力,其它作用力（太陽(yáng)、月亮）大多數(shù)情況下可忽略。,9,地球重力場(chǎng)的基本原理,3.2.2 引力位和離心力位 由理論力學(xué)可知，如果某一空間（有限或無(wú)限）的任意一點(diǎn)都有一定力的作用，而力的大小與

5、方向只與該點(diǎn)的位置有關(guān)，則這一空間稱為力場(chǎng)。就力場(chǎng)而言，具有共同的特性，即力場(chǎng)所做的功與路徑無(wú)關(guān)，只與起點(diǎn)與終點(diǎn)有關(guān)。這樣的力稱為保守力。引力與離心力都是保守力。 引力位：?jiǎn)挝毁|(zhì)點(diǎn)受物質(zhì)M的引力作用產(chǎn)生的位能稱為引力位，或者說(shuō)將單位質(zhì)點(diǎn)從無(wú)窮遠(yuǎn)處移動(dòng)到該點(diǎn)引力所做的功。即：,,,,,10,地球重力場(chǎng)的基本原理,,萬(wàn)有引力定律：,推導(dǎo)如下:,假設(shè)沿力線方向做功為,，則有,此功等于位能的減少，,積分則有：,因?yàn)閞→∞, V=0。所以

6、 C=0 ，則有,取 m=1，,11,地球重力場(chǎng)的基本原理,地球總體的位函數(shù)：,1、由牛頓第二定律可知：,2、對(duì)位函數(shù)求導(dǎo)：,, 則有,12,地球重力場(chǎng)的基本原理,結(jié)論： 單位質(zhì)點(diǎn)的物體在引力場(chǎng)中的加速度等于引力位的導(dǎo)數(shù)，方向與徑向方向相反。推論： 位對(duì)被吸引點(diǎn)各坐標(biāo)軸的偏導(dǎo)數(shù)等于相應(yīng)坐標(biāo)軸上的加速度(或引力)向量的負(fù)值。,13,地球重力場(chǎng)的基本原理,離心力位 在離心力場(chǎng)中，,14,,,,地球重力場(chǎng)的基本原

7、理,3.2.3 重力位,重力是引力和離心力的合力，重力位W是引力位V和離心力位Q之和：,對(duì)三坐標(biāo)軸求偏導(dǎo)數(shù)求得重力的分力或重力加速度分量：,15,各分力的模：方向余弦： 重力位在任意方向的偏導(dǎo)數(shù)等于重力在該方向上的分力：,,,地球重力場(chǎng)的基本原理,16,,,,地球重力場(chǎng)的基本原理,當(dāng)g與l相垂直時(shí)，那么dＷ=0，Ｗ＝常數(shù),當(dāng)給出不同的常數(shù)值，就得到一簇曲面，稱為重力等位面，也就是我們通常說(shuō)的水準(zhǔn)面?？梢娝疁?zhǔn)面有無(wú)窮多個(gè)

8、。其中，我們把完全靜止的海水面所形成的重力等位面，專稱它為大地水準(zhǔn)面。,如果令g與l夾角等于π，則有：,水準(zhǔn)面之間既不平行，也不相交和相切。,17,對(duì)于某一單位質(zhì)點(diǎn)而言，作用其上的重力在數(shù)值上等于使它產(chǎn)生的重力加速度的數(shù)值，所以重力即采用重力加速度的量綱，單位是： 伽(Gal=cms－２)， 毫伽(mGal= Gal/1000=10－５ms－２) 微伽(μGal= mGal/1000=10

9、－８m s－２) 1、地面點(diǎn)重力近似值 980Gal，赤道重力值 978Gal，兩極重力值 983Gal。由于地球的極曲率及周日運(yùn)動(dòng)的原因，重力有從赤道向兩極增大的趨勢(shì)。 2、地球上重力的大小與方向只與被吸引點(diǎn)的位置有關(guān)，理論上應(yīng)該是常數(shù)，但重力是隨時(shí)間變化而變化，即相同的點(diǎn)在不同的時(shí)刻所觀測(cè)到的重力不相同。,地球重力場(chǎng)的基本原理,18,3.2.4 地球的正常重力位和正常重力 要精確計(jì)算出地球重力位，必須知道

10、地球表面的形狀及內(nèi)部物質(zhì)密度，但前者正是我們要研究的，后者分布極其不規(guī)則，目前也無(wú)法知道，故根據(jù)上式不能精確地求得地球的重力位，為此引進(jìn)一個(gè)與其近似的地球重力位——正常重力位。,,地球重力場(chǎng)的基本原理,19,地球重力場(chǎng)的基本原理,,正常重力位是一個(gè)函數(shù)簡(jiǎn)單、不涉及地球形狀和密度便可直接計(jì)算得到的地球重力位的近似值的輔助重力位。當(dāng)知道了地球正常重力位，想法求出它同地球重力位的差異(稱擾動(dòng)位)，便可求出大地水準(zhǔn)面與這已知形狀(正常位水準(zhǔn)面)

11、的差異。最后解決確定地球重力位和地球形狀的問題。,1 地球引力位的數(shù)學(xué)表達(dá)式 地球慣性矩表達(dá)引力位 (方法1),設(shè)地球上的點(diǎn)坐標(biāo)為:,地球表面點(diǎn)坐標(biāo)為:,與,與,20,建立空間直角坐標(biāo)系與球面極坐標(biāo)系,,,,,,,地球重力場(chǎng)的基本原理,21,地球重力場(chǎng)的基本原理,由于,,,,,,,22,地球重力場(chǎng)的基本原理,理論力學(xué)可知：物體的重心為定義坐標(biāo)系： ，則有：,

12、23,用球諧函數(shù)表達(dá)地球引力位（方法2） 勒讓德多項(xiàng)式,,,,,,地球重力場(chǎng)的基本原理,24,地球重力場(chǎng)的基本原理,,25,地球重力場(chǎng)的基本原理,勒讓德多項(xiàng)式中： 稱為n階主球函數(shù)(或帶球函數(shù))， 稱為n階K級(jí)的勒讓德締合函數(shù)(或伴隨函數(shù))。 稱為締合球函數(shù)(其中，當(dāng)k=n時(shí)

13、稱為扇球函數(shù)，當(dāng)k≠n時(shí)稱為田球函數(shù)),,,,,26,地球重力場(chǎng)的基本原理,用球諧函數(shù)表示的地球引力位的公式 2 地球正常重力位,,,,27,地球重力場(chǎng)的基本原理,當(dāng)選取前3項(xiàng)時(shí)，將重力位W寫成U,,,28,地球重力場(chǎng)的基本原理,現(xiàn)在需要求系數(shù)：若地球是旋轉(zhuǎn)橢球體，則有轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ，將系數(shù)代入則有：式中：,29,地球重力場(chǎng)的基本原理,設(shè)赤道的離心力與重力之比為：令：則有：

14、,30,地球重力場(chǎng)的基本原理,注意：如果正常重力位已知，則對(duì)應(yīng)的正常水準(zhǔn)面已知，不同的正常重力位對(duì)應(yīng)不同的正常位水準(zhǔn)面，我們尋找的是與大地水準(zhǔn)面相近的正常位水準(zhǔn)面的形狀，上式中，對(duì)r和 取不同的常數(shù)值，就得到一簇正常位水準(zhǔn)面，取 ，求得與大地水準(zhǔn)面相近的正常位水準(zhǔn)面方程： ?。?，則有,31,地球重力場(chǎng)的基本原理,另外，旋轉(zhuǎn)橢球面的方程：

15、 則有： 4.4.3正常重力公式 因?yàn)椋?,,,32,地球重力場(chǎng)的基本原理,特例： ，赤道正常重力： ，極點(diǎn)處正常重力： 令： 則有： 上述正常重力公式稱為克萊羅定理。,33,地球重力場(chǎng)的基本原理,顧及到扁率的二次項(xiàng)的正常重

16、力公式,式中：,34,1901～1909年赫爾默特公式：1930年卡西尼公式： 1975年國(guó)際地球正常重力公式：ＷGS84坐標(biāo)系中的橢球重力公式：,,,,,,地球重力場(chǎng)的基本原理,35,高出水準(zhǔn)橢球面H米的正常重力計(jì)算公式,,,,,,,,地球重力場(chǎng)的基本原理,36,4 正常重力場(chǎng)參數(shù)在物理大地測(cè)量中,正常橢球重力場(chǎng)可用4個(gè)基本參數(shù)決定,即： 地球正常(水準(zhǔn))橢球的基本參數(shù)，又稱地球大地基準(zhǔn)常數(shù)是：其中：,,,

17、,,,,地球重力場(chǎng)的基本原理,37,3.2.5 正常橢球、水準(zhǔn)橢球、總地球橢球與參考橢球 正常橢球面 是大地水準(zhǔn)面的規(guī)則形狀（一般指旋轉(zhuǎn)橢球面）。因此引入正常橢球后，地球重力位被分成正常重力位和擾動(dòng)位兩部分，實(shí)際重力也被分成正常重力和重力異常兩部分。正常橢球的確定： 1、除了確定其M和ω值外，其規(guī)則形狀可以任意選擇。但考慮到實(shí)際使用的方便，又顧及幾何大地測(cè)量中采用旋轉(zhuǎn)橢球的實(shí)際情況，目前都采用水準(zhǔn)橢球作為正常橢球。 2

18、、對(duì)于正常橢球，除了確定其4個(gè)基本參數(shù)：a, J２，fM和ω外，也要定位和定向。正常橢球的定位是使其中心和地球質(zhì)心重合，正常橢球的定向是使其短軸與地軸重合，起始子午面與起始天文子午面重合。,地球重力場(chǎng)的基本原理,38,地球重力場(chǎng)的基本原理,總的地球橢球： 一個(gè)和整個(gè)大地體最為密合的?？偟厍驒E球中心和地球質(zhì)心重合，總的地球橢球的短軸與地球地軸相重合，起始大地子午面和起始天文子午面重合，總地球橢球和大地體最為密合。 從幾

19、何和物理兩個(gè)方面來(lái)研究全球性問題，我們可把總地球橢球定義為最密合于大地體的正常橢球。正常橢球參數(shù)是根據(jù)天文大地測(cè)量，重力測(cè)量及人衛(wèi)觀測(cè)資料一起處理確定的，并由國(guó)際組織發(fā)布。參考橢球： 其大小及定位定向最接近于本國(guó)或本地區(qū)的地球橢球。這種最接近，表現(xiàn)在兩個(gè)面最接近及同點(diǎn)的法線和垂線最接近。,39,3.3.1一般說(shuō)明 大地高由兩部分組成：地形高部分(含H正或H正常)及大地水準(zhǔn)面(或似大地水準(zhǔn)面)高部分。

20、地形高基本上確定著地球自然表面的地貌，大地水準(zhǔn)面高度又稱大地水準(zhǔn)面差距 N，似大地水準(zhǔn)面高度又稱高程異常ζ，它們基本上確定著大地水準(zhǔn)面或似大地水準(zhǔn)面的起伏。因此，大地高可表示為：,3.3 高 程系 統(tǒng),40,設(shè)由O—A—B路線水準(zhǔn)測(cè)量得到B點(diǎn)的高程由O—N—B線路得到B點(diǎn)高程由于水準(zhǔn)面不平行，對(duì)應(yīng)的Δｈ和Δｈ′不相等，水準(zhǔn)環(huán)線高程閉合差也不等于零，稱為 理論閉合差。,,,,高 程系 統(tǒng),41,3.3.2 正高系統(tǒng)正高系統(tǒng)是以

21、大地水準(zhǔn)面為高程基準(zhǔn)面，地面上任一點(diǎn)的正高是該點(diǎn)沿垂線方向至大地水準(zhǔn)面的距離。 因?yàn)闊o(wú)限接近兩水準(zhǔn)面其位能差可以寫為,,,,,,高 程系 統(tǒng),42,3.3.3 正常高系統(tǒng) 將正高系統(tǒng)中不能精確測(cè)定的 用正常重力代替，便得到另一種系統(tǒng)的高程，稱其為正常高。我國(guó)規(guī)定采用正常高高程系統(tǒng)作為我國(guó)高程的統(tǒng)一系統(tǒng)。正常高高差的實(shí)際計(jì)算公式,,,,,高 程系 統(tǒng),43,說(shuō)明： 1、正常高與正高不同，它不是地面點(diǎn)到大地水準(zhǔn)面的距

22、離，而是地面點(diǎn)到一個(gè)與大地水準(zhǔn)面極為接近的基準(zhǔn)面的距離，這個(gè)基準(zhǔn)面稱為似大地水準(zhǔn)面。因此，似大地水準(zhǔn)面是由地面沿垂線向下量取正常高所得的點(diǎn)形成的連續(xù)曲面，它不是水準(zhǔn)面，只是用以計(jì)算的輔助面。因此，我們可以把正常高定義為以似大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)面的高程。 2、正常高和正高之差,在高山地區(qū)可達(dá)4米，在平原地區(qū)數(shù)厘米，在海水面上相等，大地水準(zhǔn)面的高程原點(diǎn)對(duì)似大地水準(zhǔn)面也是適用的。 ,高 程系 統(tǒng),44,3.3.4 力高和地區(qū)力高高程系統(tǒng)

23、 同一個(gè)重力位水準(zhǔn)面上兩點(diǎn)的正高或正常高是不相等的。對(duì)于大型水庫(kù)等工程項(xiàng)目，它的靜止水面是一個(gè)重力等位面，在設(shè)計(jì)、施工、放樣等工作中，通常要求這個(gè)水面是一個(gè)等高面。這時(shí)若繼續(xù)采用正常高或正高顯然是不合適的，為了解決這個(gè)矛盾，可以采用所謂力高系統(tǒng)，它按下式定義：,,,高 程系 統(tǒng),45,注意：說(shuō)明力高是區(qū)域性的，主要用于大型水庫(kù)等工程建設(shè)中。它不能作為國(guó)家統(tǒng)一高程系統(tǒng)。在工程測(cè)量中，應(yīng)根據(jù)測(cè)量范圍大小，測(cè)量任務(wù)的性質(zhì)和目的等因素，

24、合理地選擇正常高，力高或區(qū)域力高作為工程的高程系統(tǒng)。,高 程系 統(tǒng),46,3.3.5 國(guó)家高程基準(zhǔn)1、高程基準(zhǔn)面 高程基準(zhǔn)面：就是地面點(diǎn)高程的統(tǒng)一起算面，由于大地水準(zhǔn)面所形成的體形——大地體是與整個(gè)地球最為接近的體形，因此通常采用大地水準(zhǔn)面作為高程基準(zhǔn)面。高程基準(zhǔn)面的確定：在海洋近岸的一點(diǎn)處豎立水位標(biāo)尺，成年累月地觀測(cè)海水面的水位升降，根據(jù)長(zhǎng)期觀測(cè)的結(jié)果可以求出該點(diǎn)處海洋水面的平均位置，假定大地水準(zhǔn)面就是通過(guò)這點(diǎn)處實(shí)測(cè)的平均海水

25、面。驗(yàn)潮、驗(yàn)潮站,高 程系 統(tǒng),47,1956年黃海高程系統(tǒng)：1950年至1956年7年間青島驗(yàn)潮站的潮汐資料推求的平均海水面作為我國(guó)的高程基準(zhǔn)面。1985國(guó)家高程基準(zhǔn)：根據(jù)青島驗(yàn)潮站 1952～1979年中取19年的驗(yàn)潮資料計(jì)算確定，并從1988年1月1日開始啟用。  ,高 程系 統(tǒng),48,2、水準(zhǔn)原點(diǎn) 為了長(zhǎng)期、牢固地表示出高程基準(zhǔn)面的位置，作為傳遞高程的起算點(diǎn)，必須建立穩(wěn)固的水準(zhǔn)起算點(diǎn)，用精密水準(zhǔn)測(cè)量方

26、法將它與驗(yàn)潮站的水準(zhǔn)標(biāo)尺進(jìn)行聯(lián)測(cè)，以高程基準(zhǔn)面為零推求水準(zhǔn)原點(diǎn)的高程。,,高 程系 統(tǒng),49,1956年黃海高程系統(tǒng)中，我國(guó)水準(zhǔn)原點(diǎn)的高程為72.289m 1985國(guó)家高程基準(zhǔn)系統(tǒng)中，我國(guó)水準(zhǔn)原點(diǎn)的高程為72.260m。地面上的點(diǎn)相對(duì)于高程基準(zhǔn)面的高度，通常稱為絕對(duì)高程或海拔高程，也簡(jiǎn)稱為標(biāo)高或高程。海洋的深度也是相對(duì)于高程基準(zhǔn)面而言的，例如太平洋的平均深度為4000m，就是說(shuō)在高程基準(zhǔn)面以下4000m。,,高 程系 統(tǒng)

27、,50,3.4 測(cè)定垂線偏差和大地水準(zhǔn)面差距的基本概念 大地坐標(biāo)同天文坐標(biāo)的區(qū)別主要是由同一點(diǎn)的法線和垂線不一致，亦即由垂線偏差引起的。 地面一點(diǎn)上的重力向量g和相應(yīng)橢球面上的法線向量 n之間的夾角定義為該點(diǎn)的垂線偏差。很顯然，根據(jù)所采用的橢球不同可分為絕對(duì)垂線偏差及相對(duì)垂線偏差，垂線同總地球橢球(或參考橢球)法線構(gòu)成的角度稱為絕對(duì)(或相對(duì))垂線偏差，它們統(tǒng)稱為天文大地垂線偏差。,51,圖中，u是垂線偏差，ξ

28、、η分別是u在子午圈和卯酉圈上的分量,,,,,,,,,,垂線偏差,52,垂線偏差,1、天文大地測(cè)量方法 在天文大地點(diǎn)上，既進(jìn)行大地測(cè)量取得大地坐標(biāo)(B,L)，又進(jìn)行天文測(cè)量取得天文坐標(biāo)(φ，λ）。 2、重力測(cè)量方法 建立擾動(dòng)位與垂線偏差的關(guān)系，即擾動(dòng)位與觀測(cè)量(重力異常)的函數(shù),,,,,,,53,垂線偏差,,,,維寧.曼尼茲公式,此公式是在假定大地水準(zhǔn)面之外沒有擾動(dòng)物質(zhì)及全球重力異常Δｇ都已知的情況下推導(dǎo)的。然而這兩個(gè)

29、條件都還不能實(shí)現(xiàn)，所以重力方法至今也沒有得到獨(dú)立的應(yīng)用。,54,3、天文重力方法 綜合利用天文大地方法和重力測(cè)量方法來(lái)確定垂線偏差 4、GPS測(cè)量方法 在GPS相對(duì)定位中，只要測(cè)出基線長(zhǎng)D，大地方位角A及高程異常差Δζ，便可求得垂線偏差。但這種方法應(yīng)用是有條件的，比如，地形平坦，基線不長(zhǎng)，精度要求較低等。,,,垂線偏差,55,3.4.2 測(cè)定大地水準(zhǔn)面差距的基本概念 1、用地球重力場(chǎng)模型法計(jì)算大地水準(zhǔn)面差距

30、 大地水準(zhǔn)面上一點(diǎn)P的實(shí)際重力位 Ｗ 與相應(yīng)于點(diǎn)P的正常重力位 U 之差，稱之為該點(diǎn)的擾動(dòng)位T，用下式表示 由于在選擇正常重力位時(shí)總是使地球離心力位對(duì)Ｗ和U的影響相同，因此擾動(dòng)位具有引力位的性質(zhì)。,,大地水準(zhǔn)面差距,56,大地水準(zhǔn)面差距,57,,,,,大地水準(zhǔn)面差距,58,大地水準(zhǔn)面差距,,2、利用斯托克司積分公式計(jì)算,,,已知：,則有：,59,大地水準(zhǔn)面差距,3、衛(wèi)星無(wú)線電測(cè)高方法研究大地水準(zhǔn)面,60

31、,4、利用GPS高程擬合法研究似大地水準(zhǔn)面 如果在測(cè)區(qū)中選擇一定的GPS點(diǎn)同時(shí)聯(lián)測(cè)幾何水準(zhǔn)測(cè)量，求出這些點(diǎn)的正常高h(yuǎn)，于是在這些點(diǎn)上便可求出高程異常:代入下面數(shù)學(xué)擬合方程中用最小二乘求解：,,,,大地水準(zhǔn)面差距,61,5、利用最小二乘配置法研究大地水準(zhǔn)面,大地水準(zhǔn)面差距,62,3.5 地球形狀的基本概念1、天文大地測(cè)量方法 弧線法面積法 現(xiàn)代推求新的橢球元素是在原有舊的橢球元素基礎(chǔ)上，綜合利用天文、