公選課第7講數(shù)學與人類思想解放

1、遵義師范學院 2012—2013學年度第二學期 《數(shù)學文化》公共選修課第 7 講 數(shù)學與人類思想解放,1,數(shù)學不僅僅為各門科學提供方法和工具，而且對于人類的思想解放產生過極大的影響，數(shù)學史上幾次重大進展，在很大程度上打破了人類的思想局限，拓展了人類思想的視野。,以下幾例可以說明：一、解析幾何與微積分的發(fā)明——突破了初等數(shù)學的 限制，推動了科學和生產技術的飛速發(fā)展；二、非歐幾何的誕生與相對論的問世——破除了

2、“眼 見為實” 的局限，促成物理學和宇宙觀的革命；三、哥德爾不完全性定理的證明——說明了追求絕對 真理是不現(xiàn)實的，應該客觀看待真理；四、選票分配問題——揭示不可能有真正的公平,一、解析幾何與微積分的發(fā)明,古希臘曾產生過著名的三大幾何難題: 1.化圓為方問題；2.三等分角問題；3.倍立方體問題。 都是借助于代數(shù)方法進行討論并得到了部分成果，說明那時候，“數(shù)”與“形”就已經產生了聯(lián)系，當然后來的數(shù)學理論證

3、明這三個問題都是不可能解決的。但從公元前到公元16世紀，幾何與代數(shù)各自并行發(fā)展著。表面上看，幾何似乎是關于形的科學而與數(shù)無關，代數(shù)似乎是關于數(shù)的科學而與形無關。,代數(shù)與幾何難以聯(lián)系的原因是：人們心目中的數(shù)是相互孤立的，難以從數(shù)想到由無窮多個點構成的線等圖形。而對于形來說，例如線段或封閉圖形，它們與數(shù)的聯(lián)系也只限于長度與面積，難以從圖形想到數(shù)的能力。 人們從“運動”的角度來聯(lián)系數(shù)與形的：決定性的工具是建立了坐標系，點對應于數(shù)。點的

4、運動形成了線，線的運動形成了體...... 數(shù)與形的充分結合才產生了解析幾何。,解析幾何的主要創(chuàng)始人是笛卡兒。在笛卡兒之前，就已經出現(xiàn)了代數(shù)與幾何的結合，即解析幾何的萌芽. 笛卡爾首先用代數(shù)方法解決了求給定長度AB與AC的比例中項問題——從幾何得到了一個代數(shù)方程.另一方面,又將方程的根通過幾何上表示出來(尺規(guī)作圖). 反過來,笛卡兒對幾何問題應用了代數(shù)方法:研究幾何軌跡問題.,解析幾何的精華在于把幾何曲線用代數(shù)方程

5、來表示,同時又用代數(shù)的研究方法來研究幾何.這種方法顯示了其強大的生命力:代數(shù)是純演算的和推理的,它只需要邏輯的和技巧的,而不需要面對千變萬化的幾何曲線的表面現(xiàn)象得到其本質性的東西.即幾何曲線(曲面)的分類.,,,通過建立平面直角坐標系，首先用最簡單方程——“標準方程”表示處于特殊位置——以坐標軸為對稱軸、以坐標原點為中心或頂點的幾種常見曲線：直線、圓、橢圓、雙曲線，拋物線：,而對于不是特殊位置的曲線，它們的方程就不是這么簡單，而是所謂的

6、“一般方程”： 則通過代數(shù)方法(平移和旋轉)我們可以把一般方程化為標準方程. 它們是二次曲線的本質—三類:橢圓、雙曲線和拋物線。 而且還有三個不變量.,難以想象,沒有代數(shù)的參與,在眾多曲線中我們能看到這些本質性的東西.,,解析幾何出現(xiàn)后不久，微積分也被發(fā)現(xiàn)了?？梢哉f，微積分不僅是數(shù)學的偉大發(fā)現(xiàn)，也為近代科學開辟了光明的道路；微積分不僅是17世紀的偉大發(fā)現(xiàn)，而且是世界人類文明史上最為光輝燦爛的發(fā)現(xiàn)。 微積分的

7、來源是科學發(fā)展對數(shù)學要求的必然：瞬時速度、曲邊形面積、重心、極值等僅僅用初等數(shù)學難以解決的問題等等。,微積分的偉大意義在于： 1、微積分改變了數(shù)學的研究對象、方式和方法，帶來了數(shù)學空前和持久的繁榮昌盛！顯示了數(shù)學內部的辨證統(tǒng)一的深刻哲理。 2、突破了初等數(shù)學的局限，解決了初等數(shù)學不能解決的問題，推動了自然科學、工程技術、社會科學的發(fā)展。有了微積分，它就成為了物理學的基本語言。其他如力學、天文學、化學等學科都得到了無限的推動力

8、。近代的生物學、地理學、經濟學、社會科學等都離不開數(shù)學。,3、對人類物質文明作出了巨大貢獻。數(shù)學方法的應用和更新，通過其他學科對人類的進步產生了前所未有的作用：工業(yè)革命、人造衛(wèi)星、新星的發(fā)現(xiàn)、經濟規(guī)律、金融運作等等。 4、對人類文化產生了革命性的影響。只要研究變化規(guī)律就要用到微積分，在人文、社會科學領域也是如此。哲學（馬克思、恩格斯）、經濟學、考古學、社會學、心理學、語言學、法學......它們直接影響著人們的世界觀和文化結構

9、。,,微積分證實了“日心說”，改變了天文學 天圓地方是我們的祖先對宇宙認知的基本概念。從亞里士多德直到托勒密，人類一直以為地球靜止不動地位于有限宇宙的中心，宇宙是由天球殼層組成，行星和恒星鑲嵌在殼層上。 1543年，天文學家哥白尼改變了傳統(tǒng)世界，他宣布太陽是宇宙的中心，所有行星包括地球圍繞著太陽運行 。,,哥白尼的挑戰(zhàn)，引起中世紀傳統(tǒng)宗教勢力的激烈抵抗，熊熊烈焰焚毀了布魯諾的軀體，終身軟禁囚困了伽利略的心魂。 50多年后，

10、開普勒通過科學觀測和歸納，于1619年公布了行星運動三大定律，為哥白尼“日心說”提供了有力的證據(jù)。 1687年，英國著名數(shù)學家牛頓應用他發(fā)明的最新數(shù)學工具──微積分，發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律，推演出了太陽系的運動規(guī)律，為哥白尼“日心說”取得決定性勝利立下了汗馬功勞。,,英國的亞當斯和法國的勒維烈根據(jù)牛頓基于微積分開創(chuàng)的天體力學原理和相關數(shù)據(jù)，從數(shù)學上推算出一顆未知行星──海王星在太空中的位置。1846年9月23日晚，德國天文學家加勒在亞

11、當斯和勒維烈計算的位置只差一度之處找到了海王星。 雄辯的事實強有力地證實了哥白尼的“日心說”，數(shù)學成為人類思想解放的有力武器！ ——《絢麗的數(shù)學之花》解說詞,二、非歐幾何的建立——“眼見為虛” 歐氏幾何在公元前300年就已產生，起特征是建立了公理化方法：即從幾個概念和幾個命題，演繹出本學科其它所有概念和命題，從而構成這一學科的全貌。運用這種方法的學科被認為是嚴謹?shù)目茖W和成熟的科學。遺憾的是：

12、很多人不知道影響和改變世界的非歐幾何，甚至數(shù)學類專業(yè)的本科生（包括部分大學數(shù)學教師）也是如此。,公元前3世紀，古希臘數(shù)學家歐幾里得(生卒年不詳，鼎盛期約在公元前300年)寫了一本劃時代的巨著《幾何原本》，這本書在科學上開創(chuàng)了公理化方法的先河，它最早用公理化方法去建立演繹數(shù)學體系?！稁缀卧尽饭?3卷，它的開頭是23個定義，諸如點沒有大小、線有長度沒有寬度線的界是點、面只有長度和寬度、面的界是線等等。,定義的后面是5個公設， 前4

13、個公設分別是：兩點間可連一條直線、直線可無限延長、以任一點為圓心以任一半徑可作一圓、凡直角都相等。 公設之后是個公理，分別是：等于同量的量相等、等量加等量和相等、等量減等量差相等、可重合的圖形全等、整體大于部分。 《幾何原本》就是從定義、公設、公理出發(fā)，通過邏輯推理從而得出一系列的定理。《幾何原本》后來成為后世學習幾何知識的標準教材，它記載的幾何學也被稱為歐氏幾何。,《幾何原本》的第五公設是“如果一條直線與兩條直線相交，所

14、形成的同側內角和小于兩直角和，那么這兩條直線延長以后必在內角和小于兩直角和的這一側相交?！边@條公設又被稱為平行公設，它比前面四條公設復雜，看起來很像一條定理。于是自《幾何原本》問世以后，數(shù)學家們企圖由其它公設和公理推出第五公設，或者用更加自明的公設來代替它，如現(xiàn)在中學幾何課本中的“過直線外一點可作且僅能作一條直線平行于已知直線”就是這樣替代的一種努力。這樣一直到18世紀末，二千多年過去了，耗盡了無數(shù)的聰明才智，但均以失敗而告終。,失敗使

15、有些數(shù)學家對第五公設能否被證明產生了懷疑，一些人猜測到第五公設本身可能是獨立的，有人則認識到如果一組假設不矛盾則可能推出一種幾何學。這種思想上的轉變，后來導致了非歐幾何的產生。 在創(chuàng)立非歐幾何的過程中，德國數(shù)學家高斯、俄國數(shù)學家羅巴切夫斯基和匈牙利數(shù)學家波爾約是先驅人物并發(fā)揮了重要作用。,高斯深信有一種不同于歐氏幾何的幾何的存在，他稱之為非歐幾何。不過他生前一直沒有發(fā)表這方面的研究成果，一方面是因為他治學嚴謹，工作一定要非常成熟

16、才公布出來;另一方面是高斯深知幾何學傳統(tǒng)觀念的保守，他不想因此而招來非議。,波爾約當過奧地利軍隊的軍官，他的父親是一位數(shù)學家，并且與高斯有密切往來。波爾約受他父親的影響，也致力于對第五公設的證明。在研究過程中，他逐漸認識到第五公設的不可證明性，于是決心創(chuàng)造新的幾何。波爾約關于非歐幾何的工作，1832年作為他父親的一本初等數(shù)學著作的附錄發(fā)表了。當他父親把附錄寄給高斯時，高斯稱贊了波爾約，并說和自己40年來的思考相合。波爾約感到喪失了優(yōu)先權

17、，以后再也沒有數(shù)學論文問世。但波爾約僅24頁的附錄，足以使他載入數(shù)學史冊。,堅定地進行非歐幾何研究，并發(fā)表系統(tǒng)著作的當推俄國數(shù)學家羅巴切夫斯基。1816年起羅巴切夫斯基也試圖去證明第五公設，后來發(fā)現(xiàn)行不通。于是他嘗試用反證法，即先否定第五公設，而假定過直線外一點至少可作兩條直線與已知直線在同一平面上而又不相交，然后據(jù)此推出一系列的命題，結果發(fā)現(xiàn)這些命題前后一貫并無矛盾。,羅巴切夫斯基意識到這一發(fā)現(xiàn)的重要意義，他把這套與歐氏幾何不同的體系

18、稱之為“虛幾何學”，并在1826年2月23日公開宣讀了他關于非歐幾何的論文。以后，他又發(fā)表了多篇論文，并用法文和德文向國外加以介紹。然而他的工作不被人們理解，反而招來了譏笑和攻擊。但是羅巴切夫斯基沒有動搖，他一生都在為非歐幾何獲得承認而奮斗。他的學說在他死后被稱為羅巴切夫斯基幾何，他也被譽為“幾何學中的哥白尼”。,在羅巴切夫斯基等人之后，德國數(shù)學家黎曼于1854年建立了不同于羅巴切夫斯基幾何的非歐幾何學———黎曼幾何。黎曼是高斯晚年的學

19、生，他用“同一平面上的任何兩條直線一定相交”來代替歐氏幾何的第五公設，并對歐氏幾何的公理作了部分改動。他引入了n維流形(流形是一類特殊的拓撲空間)的曲率的概念，用它去描述歐幾里得空間和更一般的空間。他指出曲率為零的空間是歐幾里得空間，而黎曼空間的曲率大于零。,1868年意大利數(shù)學家貝爾特拉米證明了羅巴切夫斯基幾何能夠在負常曲率的曲面上實現(xiàn)。于是三種幾何學在曲率的概念下統(tǒng)一起來。歐氏幾何是描述曲率為零的空間的幾何，而非歐幾何則刻劃曲率為非

20、零常數(shù)的空間，其中曲率為負常數(shù)的空間幾何是羅巴切夫斯基幾何，而曲率為正常數(shù)的空間幾何是黎曼幾何。至此，非歐幾何開始被人們認可和接受。,非歐幾何與歐氏幾何的確有很大的不同，如在羅巴切夫斯基幾何中三角形內角和小于180°，在黎曼幾何中三角形內角和大于180°，而眾所周知歐氏幾何中三角形內角和等于180°。又如過直線外一點作已知直線的平行線，歐氏幾何中可以作一條，羅巴切夫斯基幾何中可以作無數(shù)條，而黎曼幾何中卻是零

21、條。非歐幾何還有很多與歐氏幾何不同的地方，但這些不同與現(xiàn)實世界并不矛盾，只不過它們描述不同的空間而已。,非歐幾何的產生是幾何學上的一次革命，它徹底地變革了幾何學的傳統(tǒng)觀念，打破了歐氏幾何是現(xiàn)實空間唯一反映的傳統(tǒng)認識。 這樣，人們可以對一個幾何學的理論體系任意的修改其中的一部分，保留其余部分，在經過邏輯演繹，只要不出現(xiàn)矛盾，就得到一種新的幾何學。 于是，就出現(xiàn)了形形色色的新幾何學，使人目不暇接，眼花繚亂，沒有一條清晰地脈絡

22、。,1872年德國數(shù)學家克萊因在就任埃爾朗根大學教授時提出了著名的埃爾朗根綱領，這個綱領用變換群的觀點把當時已經知道的幾種幾何學統(tǒng)一起來。 根據(jù)“埃爾朗根綱領”，幾何學被定義為研究在變換群的變換下圖形不變性質的學科，其中運動變換下的幾何就是歐氏幾何和非歐幾何。埃爾朗根綱領對后世幾何的發(fā)展具有重要的指導意義。 前面提到的“二次曲線的不變量”就是坐標變換（屬于“剛體變換”的一種）的不變量。,非歐幾何的產生促使人們對幾何學的基

23、礎進行深入的研究。1899年德國數(shù)學大師希爾伯特在《幾何基礎》這本著作中，用結合公理、順序公理、合同公理、平行公理和連續(xù)公理等五組公理，建立了完備的歐氏幾何公理體系。如果把五組公理中的平行公理換成羅巴切夫斯基平行公理，再結合另外四個公理，就可以推出非歐幾何的內容，這樣希爾伯特賦予了非歐幾何以嚴密的數(shù)學基礎。希爾伯特的方法的意義越出了幾何學的范圍，在整個數(shù)學領域產生了深遠的影響，奠定了現(xiàn)代數(shù)學公理化方法的基礎。,非歐幾何的產生具有以下重大

24、意義: 1.解決了平行公理的獨立性問題。推動了一般公理體系的獨立性、相容性、完備性問題的研究，促進了數(shù)學基礎這一更為深刻的數(shù)學分支的形成與發(fā)展。 2.非歐幾何提供了各門科學理論在整理完善時普遍學習的公理化方法，推動了科學理論的系統(tǒng)化和對嚴謹、邏輯和完美的追求，從而推動了社會的發(fā)展和進步。 3.非歐幾何將人類的視野從“中觀”拓展到宏觀和微觀，揭示了“眼見未必為實”，是人類看問題更加客觀全面。,4.非歐幾何的產生還對2

25、0世紀初物理學革命關于時間和空間的物理觀念的變革奠定了基礎。愛因斯坦在創(chuàng)立廣義相對論時，運用了黎曼幾何，他在研究中引入了黎曼張量運算，并把平直空間的張量運算推廣到彎曲的黎曼空間。廣義相對論認為時空整體上不是均勻的，只在充分小的區(qū)域近似均勻，這與黎曼空間相合。根據(jù)廣義相對論，反映宇宙結構的幾何學不是歐氏幾何，而是非歐幾何。 非歐幾何還推動了數(shù)學其它分支的發(fā)展。如黎曼幾何是微分幾何的基礎，并在微分方程、復變函數(shù)論等方面有重要應用。正

26、如希爾伯特所說：“19世紀最有啟發(fā)性、最重要的數(shù)學成就是非歐幾何的發(fā)現(xiàn)?！?20世紀最重要的科學理論是愛因斯坦的相對論，它改變了人們現(xiàn)存的時空觀。在創(chuàng)立相對論的過程中，數(shù)學和數(shù)學家的貢獻引人注目。為了實現(xiàn)廣義相對論的目標，愛因斯坦花費了3年時間，尋找必需的數(shù)學工具，最后在數(shù)學家格羅斯曼的介紹下，他掌握了以黎曼幾何為基礎的絕對微分學，1915年11月25日，愛因斯坦發(fā)表了一篇論文，終于導出了廣義協(xié)變的引力場方程，建立了廣義相對論。

27、 愛因斯坦運用數(shù)學工具改變了宇宙的圖象！ ——《絢麗的數(shù)學之花》解說詞,現(xiàn)在，擺在我們面前的是一個全新的宇宙全圖：空間是彎曲的，由此產生一個有限的宇宙，但是我們永遠不能夠接近其邊界。它生成于150億年前的一次大爆炸，那次爆炸把宇宙送上了現(xiàn)在的膨脹歷程。最初宇宙如豌豆一樣大小，10億年前，第一批銀河系誕生，50億年前太陽系出現(xiàn)，200億年后宇宙將達到最大膨脹，350億年后奇點快速激增，400億年后宇宙大擠壓，

28、最后收縮至原來的奇點。以后又開始一個新的大爆炸，產生一個新的宇宙…… 這正是宇宙的無窮之旅！ ——《絢麗的數(shù)學之花》解說詞,三、哥德爾不完全性定理 在20世紀數(shù)學家和邏輯學家行列中有一個具有傳奇色彩的偉大人物——哥德爾。他在短短幾年間使數(shù)理邏輯發(fā)生了革命，為我們這個時代的數(shù)學基礎研究規(guī)定了思維內涵，并為現(xiàn)代邏輯的幾乎所有分支奠定了基礎。他的思想對數(shù)學、哲學、計算機科學以及算法信息

29、論等領域都產生了深遠影響，而且其潛在的科學價值還在日益彰顯。人們將哥德爾定理與愛因斯坦的相對論、玻爾的互補原理、海森伯的不確定性原理、凱恩斯的經濟學、弗洛依德的精神分析學、以及DNA 雙螺旋基因結構理論并稱世紀影響人類思想最偉大的貢獻。,在19世紀80年代至20世紀30年代，圍繞著數(shù)學基礎的研究，出現(xiàn)了數(shù)學哲學三大學派：以羅素為代表的邏輯主義學派、以希爾伯特為代表的形式主義學派和以布勞威爾為代表的直覺主義學派。 這三大學派的觀點

30、如下：,邏輯主義建立之初就有一個清晰的數(shù)學和經驗的目標：企圖建構對全部數(shù)學都通用的形式公理系統(tǒng)。 《 初等數(shù)論基礎》中希爾伯特的一段名言顯然表達了形式主義的基本主張：“我的目標是使用純粹數(shù)學方法對所有基礎問題獲得最終解。”即所有定理必須有有窮證明，用有窮方法一舉建立整個數(shù)學的一致性。 以布勞威爾等人為代表的直覺主義批評形式系統(tǒng)的不恰當性，主張對邏輯算子重新加以解釋并強調證明的可構造性，他們反對將一致性作為存在性的充分條件，

31、其最終目的是要以構造性方法重建整個數(shù)學。,另外，除了這三個著名的數(shù)學哲學學派之外，還有一個以漢斯·哈恩和卡爾納普為代表的邏輯實證主義學派，他們則否認數(shù)學中包含任何內容，主張將一切數(shù)學都化歸為語法的約定，數(shù)學定理的有效性僅僅由某些使用符號的語法約定來確定，正如卡爾納普所說：“數(shù)學是不含內容和對象的輔助語言的系統(tǒng)?！?20世紀初，在數(shù)學基礎研究中，這四大派基礎綱領競爭激烈，無分軒輊，“哪一派也不能說服另外幾派”，但共同之點都是企圖

32、一勞永逸地為數(shù)學尋求一個統(tǒng)一的堅實的基礎。哥德爾顯然清楚這幾大綱領的共同目標及其在哲學上的根本分歧，但他并未卷入當時的論戰(zhàn)，而是潛心于大的元數(shù)學問題研究，希望為這場基礎研究訟案作出裁決。哥德爾出場時，數(shù)學在基礎上與世紀已完全不同，集合論和超窮數(shù)理論已被數(shù)學家普遍接受，自弗雷格初等邏輯形式系統(tǒng)之后又有了羅素廣博的大邏輯系統(tǒng)和策梅羅的ZF公理集合論系統(tǒng)，從嚴格有窮主義到嚴格超窮主義的整個方法論譜系業(yè)已形成。,同時，到了20世紀20年代末，命

33、題邏輯、一階謂詞邏輯、只有加法和乘法的一階算術這些相對貧乏的系統(tǒng)陸續(xù)被證明是完全的，即在這些系統(tǒng)中一切真命題都是可證的。甚至塔爾斯基1930年2月還曾估計，一切已知豐富的包括PM和ZF的系統(tǒng)，即使不完全大概也是可完全的，希爾伯特及其他數(shù)學家的理想似乎可以實現(xiàn)了。 然而，此后不久，哥德爾就在1931 年1月發(fā)表的《論〈數(shù)學及有關系統(tǒng)中的形式原理不可判定命題》中以驚人的結論向世人宣告，這一理想無異于一枕黃粱！,哥德爾證明了，對每個豐

34、富而可靠的數(shù)學形式系統(tǒng)S，第一，在S中存在既不可證也不可否證，即不可判定的命題（第一不完全性定理）；第二,，在S中不可證S的一致性（第二不完全性定理）。 兩個定理所揭示的事實是極端殘酷的，即當形式系統(tǒng)S豐富到足以包括初等數(shù)論，S 中就存在真的卻不可證的命題。即使添加更強的公理和推理規(guī)則將系統(tǒng)S擴張到S'，在S‘ 中仍存在真的但不可證的命題，繼續(xù)擴張到'S’、S” …情 形依然如此。實際上，除非把這種擴張過程持續(xù)到

35、可觀的超窮序數(shù)，使其滿足一個不可公理化的真理集，這種豐富而可靠的數(shù)學形式系統(tǒng)甚至連算術的真理都不能窮盡。,哥德爾使數(shù)學家猛然醒悟：數(shù)學不但是不完全的 ，而且是不可完全的 。這一事實的本質所在是，“形式系統(tǒng)中的可證命題與數(shù)學真理集之間永遠有一超窮距離，不用超窮手段不但填不滿這一距離，甚至也沒有希望去逼近”。 這些驚人的數(shù)學發(fā)現(xiàn)不僅大大改變了邏輯學的面貌，也是哥德爾的柏拉圖主義數(shù)學觀賴以建立的堅實的數(shù)學基礎。更為有趣的是，按照哥德爾

36、手稿中的說法，數(shù)學柏拉圖主義既是他的數(shù)學結果的哲學推論，又是獲得這些數(shù)學結果的助探原則，同時這種柏拉圖主義又能從以上兩點獲得合理性證據(jù)支持，而且在各種哲學爭論中哥德爾都以這一哲學意蘊空前深刻的數(shù)學結果為自己的立場提供辯護。,四、選票分配問題 選票分配問題屬于民主政治的范疇．選票分配是否合理是選民最關心的熱點問題．這一問題早已引起西方政治家和數(shù)學家的關注，并進行了大量深入的研究．那么，選票分配的基本原則是什么呢？首先是公平

37、合理．要做到公平合理，一個簡單的辦法是，選票按人數(shù)比例分配．但是會出現(xiàn)這樣的問題：人數(shù)的比例常常不是整數(shù)．怎么辦？一個簡單的辦法是四舍五入．四舍五入的結果可能會出現(xiàn)名額多余，或名額不足的情況．因為有這個缺點，美國喬治·華盛頓時代的財政部長亞歷山大·漢密爾頓在1790年提出一個解決名額分配的辦法，并于1792年為美國國會所通過．,美國國會的議員是按州分配．假定美國的人口數(shù)是 ，各州的人口數(shù)分別是 ， ，…，

38、 ，再假定議員的總數(shù)是 ．記 為第 個州分配的份額．漢密爾頓方法的具體操作如下： (1)取各州份額 的整數(shù)部分[ ]，讓第 個州先擁有[ ]個議員． (2)然后考慮各個 的小數(shù)部分{ }，按從大到小的順序將余下的名額分配給相應的州，直到名額分配完為止．,,,,,,,,,,,,,我們舉例來說明這一情況．假定某學院有三個系，總人數(shù)是200，學生會需要選舉20名委員．表1是按漢密爾頓

39、方法進行分配的結果． 表 1,漢密爾頓方法看起來十分合理，但是仍存在問題．按照常規(guī)，假定各州的人口比例不變，議員名額的總數(shù)由于某種原因而增加的話，那么各州的議員名額數(shù)或者不變，或者增加，至少不應該減少．可是漢密爾頓方法卻不能滿足這一常規(guī)．這里還以校學生會的選舉為例給以說明．由于考慮到20個委員在表決提案時會出現(xiàn)10：10的結局，所以學生會決定增加1名委員．按照漢密爾頓方法分配名額得到表2．

40、,表 2,表2的反映出，委員的名額增多了，丙系反而減少一名．令人驚奇！1880年，亞拉巴馬州曾面臨這種狀況．人們把漢密爾頓方法產生的這一矛盾叫作亞拉巴馬悖論．漢密爾頓方法侵犯了亞拉巴馬州的利益．其后，1890年，1900年人口普查后，緬因州和克羅拉多州也極力反對漢密爾頓方法．所以，從1880年起，美國國會就針對漢密爾頓方法的公正合理性展開了爭論．因此，必須改進漢密爾頓方法，使之更加合理．新的方法不久就提出來了，并消除了亞拉巴馬悖

41、論．但是新的方法引出新的問題，新的問題又需要消除．于是更新的方法，當然是更加公正合理的方法又出現(xiàn)了．人們當然會問，有沒有一種一勞永逸的解決辦法呢？,這個問題從誕生之日起，就一直吸引著眾多政治家和數(shù)學家去研究．這里要特別提出的是，1952年數(shù)學家阿羅證明了一個令人吃驚的定理——阿羅不可能定理，即不可能找到一個公平合理的選舉系統(tǒng)，這就是說，只有更合理，沒有最合理．原來世上無真正的“公”！阿羅不可能定理是數(shù)學應用于社會科學的一個里程碑．

42、 阿羅不可能定理不僅是一項數(shù)學成果，也是十分重要的經濟成果．因此，作為一名數(shù)學家，阿羅于1972年獲得了諾貝爾經濟學獎．選舉問題吸引經濟學家的因素主要有兩個方面：策略與公平性．而策略的研究又引出了博弈論． 這兩個例子說明，通過數(shù)學的分析糾正觀念和直覺上的誤解和遮蔽，是一種用數(shù)據(jù)和事實進行問題探究的記性的科學態(tài)度和方法．,以上幾個例子說明，數(shù)學中的新的發(fā)明和發(fā)現(xiàn)，不但對于科學發(fā)展和生產技術的進化能產生重大影響和促進，而且對于人類