第四講-黃金分割及數(shù)學(xué)的真、善、美

1、,,第四講 黃金分割及數(shù)學(xué)的真、善、美,提綱：,1、引 言2、黃金分割的簡(jiǎn)單性質(zhì)3、正五邊形中的黃金分割4、黃金分割與斐波那契數(shù)列5、黃金分割與優(yōu)選法6、余音：數(shù)學(xué)的真、善、美,,藝術(shù)與生活中黃金比的美,,一、引言,黃金分割是具有悠久歷史同時(shí)卻永葆青春的數(shù)學(xué)珍品。 “幾何學(xué)有兩大財(cái)富：一個(gè)是畢達(dá)哥拉斯定理，另一個(gè)是按照中外比劃分一個(gè)線段。第一大財(cái)富可稱得上是黃金定理，而第二大財(cái)富則可稱之為珍珠定理?！?/p>

2、——德國(guó)天文學(xué)家 開普勒,《幾何原本》第二篇問(wèn)題11：分割一已給直線，使整段與其中一分段所成矩形等于另一分段上的正方形。,,A,B,C,D,E,F,G,H,,,,《幾何原本》第六篇中的定義：,分一線段為二線段，當(dāng)整體線段比大線段等于大線段比小線段時(shí)，則稱此線段被分為中外比（extreme and mean ratio）。需指出的是：黃金分割這一名稱只是在它十分出名之后，即到19世紀(jì)初期才出現(xiàn)的。,二、黃金分割的簡(jiǎn)單性質(zhì),·

3、,A,C,B,E,F,1,上圖E點(diǎn)位線段AC的黃金分割點(diǎn),0.5,黃金比的幾何畫法,黃金分割點(diǎn)（比）,,A,B,C,,,1,,,,,解得,其正根為,即,有,,黃金比的連分?jǐn)?shù)表示：,,黃金比的根式表示：,由,,,還可得,三、正五邊形中的黃金分割,,,,,,,,,,,,B,C,D,E,F,G,H,I,J,A,命題3.1：正五邊形邊長(zhǎng)與對(duì)角線之比為黃金比,,,,,,,,,,,,B,C,D,E,F,G,H,I,J,A,·,四、黃金分割

4、與斐波那契數(shù)列,,斐波那契兔子問(wèn)題：,,兔子出生以后兩個(gè)月就能生小兔，若每次不多不少恰好生一對(duì)（一雌一雄），且每月生一次。假如養(yǎng)了初生的小兔一對(duì)，則一年以后共可有多少對(duì)兔子（如果生下來(lái)的小兔都不死的話）？,,用○表示一對(duì)小兔子，用●表示一對(duì)大兔子 。且用下圖a表示一對(duì)小兔子一月后長(zhǎng)成一對(duì)大兔子，圖b表示一對(duì)大兔子一月生一對(duì)小兔子。,●,●,○,,,,(a),(b),,●,○,●,●,●,●,●,●,●,●,●,●,●,●,●,●,●,

5、●,●,,,,○,○,○,○,○,○,○,○,○,○,○,○,●,●,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,┅ ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ ┅,命題4、1：當(dāng),即,,,,n個(gè)1,其中 為斐波那契數(shù)列的第n項(xiàng)。,斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式 ：,,,斐波那契數(shù)列的一些有趣性質(zhì):,命題4.4：成立,命題4.3：成立,命題4.

6、5：成立,命題4.2：成立,,,,,,命題4.6：成立,,命題4.6的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用：七個(gè)依次的矩形之和等于一個(gè)大的正方形。,,,,,,,,,13×21,8×13,5×8,3×5,2×3,,1×2,,1×1,,,爬樓梯問(wèn)題：上樓梯時(shí)，從樓梯外只能進(jìn)入第1梯，跨入樓梯后若允許每次跨一梯或兩梯，問(wèn)：可以用多少種方法，跨到第n梯？,,,,,2,3,4,5,1,n-2,n-1

7、,n,蜜蜂進(jìn)蜂房問(wèn)題：一只蜜蜂從蜂房A出發(fā)，想爬到第1,2,3，……，n號(hào)蜂房，但只允許它自左向右（不許反向倒走），問(wèn)它爬到第n號(hào)蜂房的路線數(shù)可以有多少條？,推廣的斐波那契數(shù)列：盧卡斯數(shù)列,從任何兩個(gè)前小后大的正整數(shù)開始，往后的每一個(gè)數(shù)是該數(shù)之前兩個(gè)數(shù)的和，由此構(gòu)成的無(wú)窮數(shù)列稱為推廣的斐波那契數(shù)列。 1,3,4,7,11,18，29…，現(xiàn)稱為盧卡斯數(shù)列。它與黃金分割同樣有密切的聯(lián)系。,五、黃金分割點(diǎn)與優(yōu)選法,,中國(guó)數(shù)學(xué)家

8、 華羅庚,,假設(shè)在區(qū)間【0,1】上有一個(gè)單峰函數(shù)，我們要求其達(dá)到極大值的點(diǎn)?？梢酝ㄟ^(guò)在區(qū)間上不斷取點(diǎn)進(jìn)行比較后得到。 在區(qū)間上取兩個(gè)點(diǎn)的原則是：這兩個(gè)點(diǎn)應(yīng)該關(guān)于區(qū)間的中點(diǎn)對(duì)稱配置，同時(shí)，其中的任何一個(gè)點(diǎn)應(yīng)同時(shí)是縮小區(qū)間中的一個(gè)這樣的點(diǎn)。,,用優(yōu)選法在一個(gè)區(qū)間中所選的兩個(gè)點(diǎn)，就是此區(qū)間上的左、右黃金分割點(diǎn)。換言之，優(yōu)選法是基于黃金分割的優(yōu)選法。黃金分割點(diǎn)具有再生性。,,,,,,,,,,,,,,余 音：數(shù)學(xué)的真、善、美,思 索

9、：黃金分割是美的，同時(shí)亦是有用的（善的），它的美和善來(lái)自何方？黃金分割的美和善來(lái)自于它的真。即它是本存在于自然界與人類社會(huì)許多事物之間的確定的數(shù)量關(guān)系。當(dāng)人們通過(guò)深入的觀察，把這種數(shù)量關(guān)系抽象出來(lái)后，就成為了具有普遍聯(lián)系性的知識(shí)和有用的一種思想方法。而美的東西與有用的東西之間常常是有聯(lián)系的。因此，黃金分割正是集真、善、美與一體的數(shù)學(xué)藝術(shù)品。,,數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)是在激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣后，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)中以“求聯(lián)”為目的，在此基礎(chǔ)上盡量“求