1-流體力學(xué)的基本概念20120312

1、2024/3/20,1,1,第一章 流體力學(xué)的基本概念,2024/3/20,2,2,1.1 流體連續(xù)介質(zhì)模型,宏觀性質(zhì)的差異直接與“物質(zhì)的分子熱運(yùn)動狀態(tài)和分子之間的相互作用存在著不同的情形”有關(guān)。,任何物質(zhì)都不是連續(xù)體，而是由處于分離狀態(tài)的大量粒子所組成，即分子、原子，它們之間存在相互作用力。,2024/3/20,3,3,宏觀力學(xué)特性和微觀物質(zhì)結(jié)構(gòu)之間存在著依賴關(guān)系。是否表示，要弄清物體變形、流動等宏觀規(guī)律，一定得從研究單個物質(zhì)分子

2、的運(yùn)動出發(fā)，把各個分子的運(yùn)動情況掌握后才有可能？設(shè)想一下，即便使用較為簡單的經(jīng)典力學(xué)模型，給出一個質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動也需要解三個常微分方程；對于N個粒子的質(zhì)點(diǎn)系，就要解3N個常微分方程組成的方程組。通常，N是與阿佛伽得羅常數(shù)(Avogadro，6.03×1023)同量級的正整數(shù)。解這樣龐大數(shù)目的方程組，連同初始條件給定的困難，不難想象。這條路子是根本無法走通的。分子動力論是用質(zhì)點(diǎn)力學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)相結(jié)合的方法來研究物質(zhì)宏觀

3、力學(xué)和熱力學(xué)性質(zhì)的科學(xué)。這一理論確實(shí)取得了很大的成就，但是，它目前也只能應(yīng)用于某些簡單的氣體，遠(yuǎn)不能解決范圍十分寬廣的流體力學(xué)和固體力學(xué)中的大量問題。,1. 疑問,2024/3/20,4,4,2. 解決辦法,􀂾 流體力學(xué)是研究流體的宏觀運(yùn)動的，研究的對象不直接是這些物質(zhì)粒子本身，而是從這些物質(zhì)抽象出來的一種模型—連續(xù)介質(zhì)。􀂾 連續(xù)介質(zhì)模型認(rèn)為(假設(shè))物質(zhì)連續(xù)地?zé)o間隙地分布于物質(zhì)所占有的整個空間

4、，流體宏觀物理量是空間點(diǎn)及時間的連續(xù)函數(shù)。􀂾 通常所說的流體力學(xué)，就是指建立在連續(xù)介質(zhì)假設(shè)基礎(chǔ)上的流體力學(xué)。,連續(xù)介質(zhì)假設(shè),2024/3/20,5,5,新問題：,怎樣把一個由分子和原子組成的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)“等效地”代換為一個連續(xù)體？即應(yīng)如何正確規(guī)定連續(xù)體的質(zhì)量、動量、能量等物理量在空間的分布。,連續(xù)介質(zhì)假設(shè)的思想：,􀂾研究對象是物體的宏觀運(yùn)動，即大量分子的平均行為，而不是單個分子的個別行為，因而可以不去考

5、慮物質(zhì)的分子結(jié)構(gòu)和單個分子的運(yùn)動細(xì)節(jié)。事實(shí)表明，物質(zhì)的分子結(jié)構(gòu)和分子的熱運(yùn)動只對宏觀運(yùn)動存在間接的影響，即只能通過影響物質(zhì)的熱力學(xué)特性來影響物體的運(yùn)動。􀂾因此，類似于熱力學(xué)方法，當(dāng)研究物體的變形、流動等宏觀運(yùn)動特性時，就可以將物體作為一種連續(xù)體對待，而無須計(jì)及它的微觀分子結(jié)構(gòu)。,2024/3/20,6,6,3. 連續(xù)介質(zhì),密度的定義,􀂾 其中，δV是在空間一點(diǎn)P近旁所取的一個微元體積。И

6、766; δV→0，相當(dāng)于一個分子體積那樣的大小，那么就會出現(xiàn)這種情況：若δV中包含一個分子，ρ就是一個很大的值；若δV中不含任何粒子， ρ就為零。􀃎ρ就會是隨著P點(diǎn)位置改變而劇烈跳躍的函數(shù)。這樣的函數(shù)不能應(yīng)用連續(xù)統(tǒng)計(jì)學(xué)。,2024/3/20,7,7,1)當(dāng)a=10-8m，δV中約有27個氣體分子→分子的隨機(jī)運(yùn)動可能隨時影響密度，因而引起密度值的很大波動； 2)當(dāng)a≈10-5m， δV中約有2.7×101

7、0個氣體分子(約包含3×1013個水分子)，完全可以獲得一個確定的統(tǒng)計(jì)平均密度→宏觀密度,3. 連續(xù)介質(zhì),密度隨尺度的變化(常溫下),2024/3/20,8,8,3) 當(dāng)a>L，流體的密度隨空間變化，是一個空間分布的連續(xù)函數(shù)。,3. 連續(xù)介質(zhì),密度隨尺度的變化(常溫下),微元體積δV不是數(shù)學(xué)上的無限小，而應(yīng)理解為“物理上的”無限小(唯象的方法),2024/3/20,9,9,宏觀物理量的嚴(yán)格定義--- 系綜平均,3. 連續(xù)

8、介質(zhì),􀂾 理論上，δV應(yīng)當(dāng)取成是真正的數(shù)學(xué)無限小，而對于給定的點(diǎn)和時間， 密度ρ就是一個隨機(jī)變量。求出這個隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)平均值，將得到一個確定的數(shù)，不同點(diǎn)和時間ρ的全體就是定義在時空四維連續(xù)體上的密度分布函數(shù)。,? 兩種宏觀物理量的描述方法不同，效果一樣,2024/3/20,10,10,4 連續(xù)介質(zhì)假設(shè)的適用范圍,本節(jié)所建立的連續(xù)介質(zhì)模型，應(yīng)當(dāng)理解為一種近似的數(shù)學(xué)模型，其正確性要由實(shí)踐來加以檢驗(yàn)。大量事實(shí)證明，連續(xù)介質(zhì)

9、力學(xué)在相當(dāng)廣泛的領(lǐng)域內(nèi)給出了和實(shí)際吻合的結(jié)果。,飛機(jī)、車船在周圍流體介質(zhì)中運(yùn)動􀂾 血液在動脈中的流動(紅血球的直徑約8×10-6m，動脈直徑約為5×10-3m)􀂾 研究星系結(jié)構(gòu)時，恒星間的距離約為4×1020m，他們在半徑為4×1022m的銀河系中運(yùn)動，星系也是一種連續(xù)介質(zhì),2024/3/20,11,11,但是，也應(yīng)當(dāng)指出，對于研究對象的宏觀尺度和物質(zhì)結(jié)構(gòu)的

10、微觀尺度量級相當(dāng)?shù)那闆r，連續(xù)介質(zhì)模型將不再適用。,當(dāng)分析空間飛行器和高層稀薄大氣的相互作用時，由于空氣分子的平均自由程可以和飛行器尺度相當(dāng)，連續(xù)介質(zhì)流體力學(xué)將不再適用。􀂾 研究稠密大氣中強(qiáng)激波的內(nèi)部結(jié)構(gòu)時，也會由于激波厚度與氣體分子平均自由程量級相當(dāng)，而使連續(xù)介質(zhì)模型失去意義。􀂾 微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)中的流動問題、血液在微血管中(4×10-6m)的運(yùn)動。,在上述幾個例子中，分子運(yùn)動的微

11、觀行為對宏觀運(yùn)動都有著直接的影響。這時，分子動力論才是解決問題的正確方法。,2024/3/20,12,12,1.2 流體的物理性質(zhì),一. 易流動性,粘性是是指流體內(nèi)部具有的抗拒變形，阻礙運(yùn)動的性質(zhì)。 粘性是流體的固有屬性之一，任何一種流體都具有粘性。,二. 流體具有粘性,對剪切力沒有抵抗作用，在微小的剪切力的作用下就發(fā)生連續(xù)不斷的變形，流體不能承受拉力，但能承受壓力。,2024/3/20,13,13,牛頓內(nèi)摩擦定律,,,滿足此表達(dá)式的流

12、體稱為牛頓流體。不滿足以上關(guān)系的流體成為非牛頓流體。,剪切應(yīng)變率,2024/3/20,14,14,三. 可壓縮性,體積壓縮系數(shù),2024/3/20,15,15,體積模量E ：,壓縮系數(shù)的倒數(shù),,工程上常用體積模量衡量流體壓縮性,單位體積的相對變化所需要的壓力增量。,不可壓縮流體,氣體密度隨壓力的變化是和熱力過程有關(guān)的。 可壓縮性表現(xiàn)突出。 在某些情況下，氣體可坐不可壓縮流體處理。,對于氣體,? 水在100atm下，容積縮小0.5%

13、? 氣體，氣壓增加0.1倍，則密度增加0.1倍,2024/3/20,16,16,1.3 描述流體運(yùn)動的兩種方法,一. 拉格朗日（Lagrange）觀點(diǎn),物理量與流體質(zhì)點(diǎn)直接相關(guān)，隨時間變化,流體質(zhì)點(diǎn),位移、速度、加速度、密度、壓強(qiáng)、溫度等物理量,例,物理量的隨體變化,錄像,2024/3/20,17,17,,拉格朗日參考系,,理論力學(xué)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動，,2024/3/20,18,18,流體中有無數(shù)多流體質(zhì)點(diǎn)，需加以區(qū)別，以 t = t

14、 0 時刻流體質(zhì)點(diǎn)空間位置的坐標(biāo)， ，作為流體質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)號，,物理量，,改變, t 不變，表示同一時刻不同流體質(zhì)點(diǎn)的空間位置或相關(guān)變量； t 改變, 不變，表示同一流體質(zhì)點(diǎn)的空間位置或相關(guān)變量隨時間的變化。,拉格朗日參考系,2024/3/20,19,19,二. 歐拉（Euler）觀點(diǎn),物理量在空間有一個分布，可以隨時間變化,場的概念，著眼于空間中的固

15、定點(diǎn),位移、速度、加速度、密度、壓強(qiáng)、溫度等物理量,例,物理量的空間變化,2024/3/20,20,20,* 兩種運(yùn)動描述(觀點(diǎn))的對比,Lagrange描述 描述物理量的隨體變化 著眼于質(zhì)點(diǎn) 有限質(zhì)點(diǎn) 強(qiáng)調(diào)歷史相關(guān)(如軌跡) 不適合描述流體微元的運(yùn)動變形特征 通常表達(dá)式較為復(fù)雜，但此方法很重要,Euler描述 描述物理量的空間變化 著眼于空間點(diǎn) 場 強(qiáng)調(diào)瞬時的空間相關(guān) 適合描述流體微元的運(yùn)動變形特征 表達(dá)式簡單

16、，在流體力學(xué)中常用,2024/3/20,21,21,三、拉格朗日描述與歐拉描述之間的關(guān)系,在某一時刻t，流體質(zhì)點(diǎn)(a,b,c)到達(dá)某一空間點(diǎn)(x,y,z)上，則兩種描述下的物理量是相同的,把坐標(biāo)關(guān)系帶入表達(dá)式，得：,E→L,歐拉系轉(zhuǎn)化成拉格朗日系：,2024/3/20,22,22,或者，反解坐標(biāo)關(guān)系得：,要求行列式,􀂾 有限大的正數(shù)􀂾 代表了同一流體質(zhì)點(diǎn)在t時刻和t0時刻的微元體積之比,L→E,拉格

17、朗日系轉(zhuǎn)化成歐拉系：,2024/3/20,23,23,例題：,2024/3/20,24,24,2024/3/20,25,25,例題：,1.  拉格朗日變數(shù) (a, b, c) 給出的流體運(yùn)動規(guī)律為,,1)      求以歐拉變數(shù)描述的速度場；2)      問流動是否定常；3)    

18、  求加速度。,解:,1) 設(shè)速度場的三個分量是,,2024/3/20,26,26,由已知消去以上表達(dá)式中的拉格朗日變數(shù),,2) 歐拉表達(dá)式中包括變量t , 是不定常流動。,3)在拉格朗日參考系中求加速度,,2024/3/20,27,27,1.4 質(zhì)點(diǎn)加速度公式和質(zhì)點(diǎn)的隨體導(dǎo)數(shù),? 一切物理規(guī)律都是以確定的物質(zhì)為對象來表述的，因此，在那些表述物理定律的分析表達(dá)式里，常常要出現(xiàn)屬于某流體質(zhì)點(diǎn)的物理量隨時間的變化率，即物理量對

19、于確定質(zhì)點(diǎn)的時間導(dǎo)數(shù)。它們不同于這些物理量在固定空間點(diǎn)上的時間導(dǎo)數(shù)。,在歐拉描述中，引進(jìn)了一個運(yùn)算符號D/Dt，表示某確定流體質(zhì)點(diǎn)的物理量隨時間的變化率；稱為物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，或隨體導(dǎo)數(shù)。,設(shè)場變量α ，則 表示某一流體質(zhì)點(diǎn)的 α 隨時間的變化。,2024/3/20,28,28,在歐拉參考系下的表達(dá)式（在歐拉參考系下推導(dǎo)）,時刻，,時刻，,泰勒級數(shù)展開，,隨體導(dǎo)數(shù)按定義可計(jì)算為:,2024/3/20,29,29,矢量和張量下標(biāo)形式表示

20、的隨體導(dǎo)數(shù),2024/3/20,30,30,上式把拉格朗日導(dǎo)數(shù)和歐拉參考系中的局部導(dǎo)數(shù)和對流導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來。,稱對流導(dǎo)數(shù)或位變導(dǎo)數(shù)，由于流體質(zhì)點(diǎn)在不均勻的α 場內(nèi)移動而引起的物理量的變化，由場的不均勻性引起。流體物性隨空間坐標(biāo)變化而變化，當(dāng)流體質(zhì)點(diǎn)空間位置隨時間變化時，在流動過程中會取不同的 值，因此也會引起 的改變。,歐拉時間導(dǎo)數(shù)，稱局部導(dǎo)數(shù)或就地導(dǎo)數(shù)，表示空間某一點(diǎn)流體物理量隨時間的變化；,隨體導(dǎo)數(shù);物質(zhì)導(dǎo)數(shù)；質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù),隨體導(dǎo)數(shù)物

21、理意義,2024/3/20,31,31,例題：,為研究城市的空氣污染情況，需測量某項(xiàng)污染指標(biāo)s 隨時間的變化率，采用了三種方法：1)把測量探頭安裝在一高塔上；2)把探頭安裝在一直升飛機(jī)上，直升飛機(jī)速度為 ；3)把探頭安裝在一氣球上，設(shè)氣球隨氣流運(yùn)動，氣流速度為 。試用數(shù)學(xué)公式分別表示上述三種方法的測量結(jié)果。,解：1）高塔探頭測得的是在流場某一固定點(diǎn)上s 的隨時間的變化率，即s 的當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù):,2)直升飛機(jī)上探頭測得的s 變化率應(yīng)等于的

22、s 當(dāng)?shù)刈兓始由蟬 的空間變化率與直升飛機(jī)速度的乘積，,3)由于氣球與空氣速度相同，氣球上探頭測得的s 變化率就是s 的隨體導(dǎo)數(shù)或物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，,2024/3/20,32,32,1.5 跡線、流線和脈線,一. 跡線,軌跡線是指同一流體質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動過程中的軌跡,2024/3/20,33,33,一. 跡線,1.5 跡線、流線和脈線,2024/3/20,34,34,二. 流線,流線是流場中任一時刻的一條幾何曲線，其上各點(diǎn)的速度矢量均與此曲線相切,

23、r 是曲線上任一點(diǎn)的矢徑，V 是速度矢量,1.5 跡線、流線和脈線,2024/3/20,35,二. 流線,流線的等價形式,例：已知速度場u=x+t, v =?y? t 求：(1) 過(1,1)點(diǎn)的流線；(2) t=1時，過(1,1)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)軌跡。,1.5 跡線、流線和脈線,2024/3/20,36,二. 流線,?當(dāng)速度場不隨時間改變，即 ≡0 ，則流線簇也不隨時間改變，這樣的流動稱為定常流動；否則為非定常

24、流動。 ?定常流動用一幅流線圖就可以表示出流場的全貌。 ?流線描述的是某一時刻流場的信息，而跡線描述的是某一質(zhì)點(diǎn)位置隨時間的變化(軌跡)。,1.5 跡線、流線和脈線,2024/3/20,37,三. 脈線,?流動顯示測試時，在固定點(diǎn)上放置染色體，不同時刻流經(jīng)該處被染了色的流體質(zhì)點(diǎn)在其后的某個時刻會組成一條染色曲線，稱為脈線(又名煙線、染色線或條紋線),脈線定義的解釋,1.5 跡線、流線和脈線,2024/3/20,38,三. 脈線,?

25、火柴燃燒時的脈線(煙線),1.5 跡線、流線和脈線,2024/3/20,39,三. 脈線,1.5 跡線、流線和脈線,2024/3/20,40,補(bǔ)充：流管、流面,?流面：某一時刻，在流場中作一非流線的曲線，經(jīng)過該曲線上每點(diǎn)作流線，這些流線在空間就形成一個面，即為流面。,1.5 跡線、流線和脈線,流管：經(jīng)流場中一非流線的封閉曲線作流線，構(gòu)成流管。,2024/3/20,41,補(bǔ)充：時間線,?時間線是指，在t0時刻，在流場中任意取的一條線。該線

26、上的每個流體質(zhì)點(diǎn)在t時刻運(yùn)動到新的位置，構(gòu)成新的時間線，通常時間線也被稱作流體線。,1.5 跡線、流線和脈線,?時間面 ?時間體,2024/3/20,42,四.流線、跡線和脈線的關(guān)系,1.5 跡線、流線和脈線,2024/3/20,43,四.流線、跡線和脈線的關(guān)系,1.5 跡線、流線和脈線,2024/3/20,44,四.流線、跡線和脈線的關(guān)系,1.5 跡線、流線和脈線,2024/3/20,45,四.流線、跡線和脈線的關(guān)系,1.5 跡線、

27、流線和脈線,在非定常流場中，三者是彼此不同的曲線；只有在定常流動中，三者彼此重合。,?例：定常流動的速度分布,u=x,v=?y,,2024/3/20,46,四.流線、跡線和脈線的關(guān)系,1.5 跡線、流線和脈線,?在運(yùn)動參考系中(包括慣性參考系之間的轉(zhuǎn)換)，流線、跡線和脈線都要改變幾何形狀。,(1) 圓柱繞流,2024/3/20,47,四.流線、跡線和脈線的關(guān)系,1.5 跡線、流線和脈線,?在運(yùn)動參考系中…… 圓柱繞流(實(shí)驗(yàn)圖像)

28、 左邊：實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo) 右邊：圓柱隨體坐標(biāo),2024/3/20,48,四.流線、跡線和脈線的關(guān)系,1.5 跡線、流線和脈線,?在運(yùn)動參…… (2) 在邊界層內(nèi)速度受到一個正弦行波擾動，c為波速,2024/3/20,49,49,1.6 流體微團(tuán)運(yùn)動分析,一. 亥姆霍茲速度分解定律,2024/3/20,50,50,一. 亥姆霍茲速度分解定律,2024/3/20,51,51,一. 亥姆霍茲速度分解定律,2024/3/20,52

29、,一. 亥姆霍茲速度分解定律,,2024/3/20,53,53,一. 亥姆霍茲速度分解定律,2024/3/20,54,一. 亥姆霍茲速度分解定律,2024/3/20,55,55,一. 亥姆霍茲速度分解定律,只有6個獨(dú)立分量，除對角線元素外，非對角線元素兩兩對應(yīng)相等，可表示為 ，是一個對稱張量。該張量描述流體微團(tuán)的變形運(yùn)動，稱應(yīng)變率張量。,應(yīng)變率張量：,2024/3/20,56,56,一. 亥姆霍茲速度分解定律,只

30、有3個獨(dú)立分量，對角線元素為零，非對角線元素兩兩互為負(fù)數(shù)，可表示為 ，是一個反對稱張量。該張量描述流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，稱旋轉(zhuǎn)張量。,旋轉(zhuǎn)率張量：,2024/3/20,57,二.應(yīng)變速率張量及旋轉(zhuǎn)張量各分量的物理意義,(1)體積應(yīng)變速率,2024/3/20,58,二.應(yīng)變速率張量及旋轉(zhuǎn)張量各分量的物理意義,(1)體積應(yīng)變速率,2024/3/20,59,二.應(yīng)變速率張量及旋轉(zhuǎn)張量各分量的物理意義,(2)角變形速率(剪切變

31、形速率）,2024/3/20,60,二.應(yīng)變速率張量及旋轉(zhuǎn)張量各分量的物理意義,(3)轉(zhuǎn)動角速度,2024/3/20,61,二.應(yīng)變速率張量及旋轉(zhuǎn)張量各分量的物理意義,2024/3/20,62,二.應(yīng)變速率張量及旋轉(zhuǎn)張量各分量的物理意義,2024/3/20,63,二.應(yīng)變速率張量及旋轉(zhuǎn)張量各分量的物理意義,2024/3/20,64,1.7渦量及渦量場分析,一. 渦量的定義及物理意義,,渦量是旋轉(zhuǎn)角速度的兩倍,,2024/3/20,65,

32、65,二. 渦量場的描述,2024/3/20,66,等渦量線 ¾當(dāng)三維問題簡化為二維問題的時候，渦量就僅存在一個分量 ¾引入渦量的等值線，等渦量線,二. 渦量場的描述,2024/3/20,67,?渦量(云)圖 2D，根據(jù)等渦量線添色形成渦量云圖 用來描述渦量分布及其大小,二. 渦量場的描述,68,1.8 應(yīng)力張量,一、 流體的作用力,質(zhì)量力(體積力)：外場對流體的作用,如地球?qū)α黧w的作用力,如果是非慣性參考系

33、，則將存在慣性力，如離心力、科里奧利(Coriolis)力等,電磁場對帶電流體的作用力(Columb力和Lorentz力)等等,,電荷密度,,電場強(qiáng)度,磁導(dǎo)率,磁場密度,,,69,表面力(面積力)：外場對流體的作用,所考慮的流體單元與同它接觸的周圍物體之間的作用力，是一種分子力。,力的大小與分界面積的大小δS成正比，故稱為面積力。,一、 流體的作用力,2024/3/20,70,？引人的應(yīng)力矢量T(n)，是對某個確定方向的面元而言的。但是

34、，通過空間一個固定的點(diǎn)P(x1,x2,x3)，可以作出許多個方向不同的面元，從而對應(yīng)有許多不同的應(yīng)力矢量T。因此，在給定的時刻t，要描寫空間一個固定點(diǎn)上的流體內(nèi)力，似乎就需要無限多矢量。? 實(shí)際上，過同一點(diǎn)各面元的應(yīng)力矢量之間，存在著一定的關(guān)聯(lián)而并不相互獨(dú)立。這一事實(shí)使得描寫任一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的方法可以大大簡化。? 任一點(diǎn)上應(yīng)力矢量的總和也是一種帶有方向性的物理量，只不過其結(jié)構(gòu)要比矢量復(fù)雜，是一個二階張量。? 在取定的坐標(biāo)系中，二階張

35、量場中任一點(diǎn)上的變量特性，需要九個數(shù)才能完全確定下來。,二、 流體的應(yīng)力張量,2024/3/20,71,二、 流體的應(yīng)力張量,柯西應(yīng)力原理：􀂾 在流體內(nèi)部任何一個想象的封閉曲面上，都存在一個應(yīng)力矢量場T(n)，曲面外物質(zhì)對曲面內(nèi)流體的作用，等價于該矢量場對曲面內(nèi)流體的作用。,重要推論：,2024/3/20,72,二、 流體的應(yīng)力張量,2024/3/20,73,二、 流體的應(yīng)力張量,2024/3/20,74,二、 流體

36、的應(yīng)力張量,2024/3/20,75,三、主應(yīng)力、主平面、主軸,在流體中任意方向n的面元上，應(yīng)力矢量T(n)和n一般是不共線的，T在n方向上的投影稱為法應(yīng)力，T在面元切平面內(nèi)的投影稱為切應(yīng)力。,在流體內(nèi)的每一點(diǎn)上至少存在三個相互正交的方向，當(dāng)面元的法向與這些方向重合時，該面元上的切應(yīng)力為零，應(yīng)力矢量T(n)與n方向一致。這三個相互正交的方向稱為該點(diǎn)的應(yīng)力主軸，與應(yīng)力主軸正交的平面稱為主平面，主平面上的應(yīng)力值稱為主應(yīng)力。,2024/3/2

37、0,76,三、主應(yīng)力、主平面、主軸,對稱張量具有的性質(zhì)：? 張量的對稱性不因坐標(biāo)轉(zhuǎn)換而改變；? 二階對稱張量的三個主值都是實(shí)數(shù)，而且一定存在三個相互垂直的主軸。,2024/3/20,77,77,例題：,2024/3/20,78,2024/3/20,79,79,2024/3/20,80,80,2024/3/20,81,81,1.7 渦量與環(huán)量,一. 渦量,渦量是流體微團(tuán)繞其內(nèi)部一瞬時軸作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的角速度的二倍，,在流場中，渦量是位置和

38、時間的函數(shù),2024/3/20,82,82,2024/3/20,83,83,2024/3/20,84,84,1.8 牛頓流體的本構(gòu)方程,? 把應(yīng)力張量 和變形張量 聯(lián)系起來的方程稱為本構(gòu)方程,滿足切應(yīng)力與剪切變形線性關(guān)系的流體為牛頓流體。我們只討論不可壓縮牛頓流體中應(yīng)力張量與應(yīng)變張量的關(guān)系,由牛頓內(nèi)摩擦定律： 和,流體微團(tuán)運(yùn)動分析,1. 切應(yīng)力與流速變化的關(guān)系,2024/3/2

39、0,85,85,根據(jù)切應(yīng)力互等定律,可得:,同理,可得:,這是粘性流體中切應(yīng)力的普遍表達(dá)式,稱為廣義的牛頓內(nèi)摩擦定律.以張量形式表述為:,(1),2024/3/20,86,86,2. 法向應(yīng)力與線變形率的關(guān)系,(2),以張量形式表述為:,綜合(1)(2)式,得到:,或者寫成:,不可壓縮牛頓流體的本構(gòu)方程,2024/3/20,87,87,,不可壓縮牛頓流體的本構(gòu)方程寫成分量形式:,2024/3/20,88,88,1.5 系統(tǒng) 控制體

40、 輸運(yùn)公式,1. 系統(tǒng)是一團(tuán)流體質(zhì)點(diǎn)的集合。在運(yùn)動過程中，系統(tǒng)始終包含著確定的這些流體質(zhì)點(diǎn)，有確定的質(zhì)量，而這一團(tuán)流體的表面常常是不斷地變形。,2. 控制體是指流場中某一確定的空間區(qū)域，這個區(qū)域的周界稱為控制面。,2024/3/20,89,89,系統(tǒng)方法與控制體方法的關(guān)聯(lián),3. 輸運(yùn)公式,2024/3/20,90,90,t 時刻：系統(tǒng)的邊界與控制面重合，系統(tǒng)所占據(jù)的空間（區(qū)域 A 和區(qū)域 C ）與控制體空間相重合。,t + Dt 時刻

41、：系統(tǒng)的邊界移到一個新的位置，系統(tǒng)所占據(jù)的空間變?yōu)閰^(qū)域 A 和區(qū)域 B，但控制體的空間是固定不動的，仍是區(qū)域 A和區(qū)域 C。,3. 輸運(yùn)公式,2024/3/20,91,91,t 時刻：系統(tǒng)的物理量（N）等于該時刻區(qū)域 A 和區(qū)域 C內(nèi)的流體物理量（N）之和。,t + Dt 時刻：系統(tǒng)的物理量（N）等于該時刻區(qū)域 A 和區(qū)域 B 內(nèi)的流體物理量（N）之和。,對于系統(tǒng)的任一物理量（N）[單位質(zhì)量的N被定義為h，即有：

42、 ]：,3. 輸運(yùn)公式,2024/3/20,92,92,系統(tǒng)內(nèi)的流體所具有的某種物理量的變化量為：,重新組合，并在兩邊除以,得：,3. 輸運(yùn)公式,2024/3/20,93,93,當(dāng),時，對方程取極限,若控制體體積用CV表示，上式右邊第一項(xiàng)變?yōu)椋?控制體內(nèi)某種物理量的時間變化率,3. 輸運(yùn)公式,當(dāng) ，區(qū)域 A的體積近似為控制體的體積。,2024/3/20,94,94,第二項(xiàng)變?yōu)?括號中第

43、一項(xiàng)是單位時間內(nèi)流體所通過的控制表面上流出的這種物理量，用面積分來表示，,式中，CS2表示控制面中流出部分的面積，,為沿控制面上微元面積外法線方向的分速度。,3. 輸運(yùn)公式,2024/3/20,95,95,同理，單位時間內(nèi)流入控制體內(nèi)的流體所具有的物理量表示為,式中CS1表示控制面中流入部分的面積。,注意到,是整個控制體的面積，,或,3. 輸運(yùn)公式,則有,2024/3/20,96,96,流體系統(tǒng)內(nèi)物理量對時間的隨體導(dǎo)數(shù)公式，或稱輸運(yùn)公式

44、。,該式說明：系統(tǒng)內(nèi)流體所具有的某種物理量的時間全變化率（對時間的隨體導(dǎo)數(shù)）是由兩部分組成的：一部分相當(dāng)于當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)，它等于控制體內(nèi)的這種物理量的總量的時間變化率；另一部分相當(dāng)于遷移導(dǎo)數(shù)，它等于通過靜止的控制面單位時間流出和流進(jìn)的這種物理量的差值。,3. 輸運(yùn)公式,2024/3/20,97,97,或,當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)項(xiàng),遷移導(dǎo)數(shù)項(xiàng),流場的非穩(wěn)定性引起,流場的非均勻性引起,,,,,輸運(yùn)公式的具體含義： 任一瞬時系統(tǒng)內(nèi)物理量N （如質(zhì)量、動量和能量

45、等）隨時間的變化率等于該瞬時其控制體內(nèi)物理量的變化率與通過控制體表面的凈通量之和。,3. 輸運(yùn)公式,,2024/3/20,98,98,例題：,給定一流場的速度分布和密度分布為:,其中 , k為非零常數(shù)。,1). 在流場中某點(diǎn)的流體密度隨時間的變化率；,2). 流體質(zhì)點(diǎn)密度在運(yùn)動過程中隨時間的變化率；,3). 在體積 中流體質(zhì)量的隨體倒數(shù)。,解:,1),2),2