高等流體力學(xué)講義課件-流體力學(xué)的基本概念

1、第 一 章 流體力學(xué)的基本概念,1.1 連續(xù)介質(zhì)假說,推導(dǎo)流體力學(xué)基本方程的兩條途徑,統(tǒng)計(jì)方法,把流體看作由運(yùn)動(dòng)的分子組成，認(rèn)為宏觀現(xiàn)象起源于分子運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用力學(xué)定律和概率論預(yù)測(cè)流體的宏觀性質(zhì)。對(duì)于偏離平衡態(tài)不遠(yuǎn)的流體可推導(dǎo)出質(zhì)量、動(dòng)量和能量方程，給出輸運(yùn)系數(shù)（μ，κ）的表達(dá)式。對(duì)于單原子氣體已有成熟理論，對(duì)多原子氣體和液體理論尚不完善。,連續(xù)介質(zhì)方法,把流體看作連續(xù)介質(zhì)，而忽略分子的存在，假設(shè)場(chǎng)變量（速度、密度、壓強(qiáng)等）在

2、連續(xù)介質(zhì)的每一點(diǎn)都有唯一確定的值，連續(xù)介質(zhì)遵守質(zhì)量、動(dòng)量和能量守恒定律，從而推導(dǎo)出場(chǎng)變量的微分方程組。流體力學(xué)采用連續(xù)介質(zhì)的方法。流體微團(tuán)描述流體中的點(diǎn)。,1.1 連續(xù)介質(zhì)假說,推導(dǎo)流體力學(xué)基本方程的兩條途徑,連續(xù)介質(zhì)方法,當(dāng)流體分子的平均自由程遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于流場(chǎng)的最小宏觀尺度時(shí)，可用統(tǒng)計(jì)平場(chǎng)的方法定義場(chǎng)變量如下：,在微觀上充分大統(tǒng)計(jì)平均才有確定的值；宏觀上充分小，統(tǒng)計(jì)平均才能代表一點(diǎn)的物理量變化。,1.1 連續(xù)介質(zhì)假說,,,,連續(xù)介

3、質(zhì)方法的適用條件,n為單位體積的分子數(shù)（特征微觀尺度是分子自由程），L為最小宏觀尺度。,在通常溫度和壓強(qiáng)下，邊長2微米的立方體中大約包含 2×108 個(gè)氣體分子或 2×1011 液體分子；在日常生活和工程中，絕大多數(shù)場(chǎng)合均滿足上述條件。連續(xù)介質(zhì)方法無論對(duì)氣體和液體都適用。,1.1 連續(xù)介質(zhì)假說,火箭穿越大氣層邊緣，微觀特征尺度接近宏觀特征尺度；研究激波結(jié)構(gòu)，宏觀特征尺度接近微觀特征尺度。,連續(xù)介質(zhì)方法失效場(chǎng)合

4、,1.1 連續(xù)介質(zhì)假說,,流體質(zhì)點(diǎn),流體質(zhì)點(diǎn)是流體力學(xué)學(xué)科研究的最小單元。當(dāng)討論流體速度、密度等變量時(shí)，實(shí)際上是指流體質(zhì)點(diǎn)的速度和密度。,由確定流體分子組成的流體團(tuán)，流體由流體質(zhì)點(diǎn)連續(xù)無間隙地組成，流體質(zhì)點(diǎn)的體積在微觀上充分大，在宏觀上充分小。,1.1 連續(xù)介質(zhì)假說,,,歐拉參考系,當(dāng)采用歐拉參考系時(shí)，定義了空間的場(chǎng)。,著眼于空間點(diǎn)，在空間的每一點(diǎn)上描述流體運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間的變化。獨(dú)立變量 x, y, z, t,,1.2 歐拉和

5、拉格朗日參考系,拉格朗日參考系,著眼于流體質(zhì)點(diǎn)，描述每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)自始至終的運(yùn)動(dòng)，即它的位置隨時(shí)間的變化，,式中 x0 , y0 , z0 是 t =t 0 時(shí)刻流體質(zhì)點(diǎn)空間位置的坐標(biāo)。獨(dú)立變量 x0 , y0 , z0 , t。,1.2 歐拉和拉格朗日參考系,T =T (x0 , y0 , z0 , t), ρ=ρ(x0 , y0 , z0 , t),在拉格朗日參考系中 x, y, z 不再是獨(dú)立變量，

6、 x - x0 = u ( t - t0) y - y0 = v (t - t0） z - z0 = w (t - t0),用 x0 , y0 , z0 來區(qū)分不同的流體質(zhì)點(diǎn)，而用 t 來確定流體質(zhì)點(diǎn)的不同空間位置。,1.2 歐拉和拉格朗日參考系,拉格朗日參考系,系統(tǒng),某一確定流體質(zhì)點(diǎn)集合的總體。隨時(shí)間改變其空間位置、大小和形狀；系統(tǒng)邊界上沒有質(zhì)量交換；始終由同一些流體質(zhì)點(diǎn)

7、組成。在拉格朗日參考系中，通常把注意力集中在流動(dòng)的系統(tǒng)上，應(yīng)用質(zhì)量、動(dòng)量和能量守恒定律于系統(tǒng)，即可得到拉格朗日參考系中的基本方程組。,系統(tǒng)和控制體,1.2 歐拉和拉格朗日參考系,控制體,流場(chǎng)中某一確定的空間區(qū)域，其邊界稱控制面。流體可以通過控制面流進(jìn)流出控制體，占據(jù)控制體的流體質(zhì)點(diǎn)隨時(shí)間變化。為了在歐拉參考系中推導(dǎo)控制方程，通常把注意力集中在通過控制體的流體上，應(yīng)用質(zhì)量、動(dòng)量和能量守恒定律于這些流體，即可得到歐拉參考系中的基本方

8、程組。,1.2 歐拉和拉格朗日參考系,系統(tǒng)和控制體,通常力學(xué)和熱力學(xué)定律都是針對(duì)系統(tǒng)的，于是需要在拉格朗日參考系下推導(dǎo)基本守恒方程，而絕大多數(shù)流體力學(xué)問題又是在歐拉參考系下求解的，因此需要尋求聯(lián)系兩種參考系下場(chǎng)變量及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式,1.2 歐拉和拉格朗日參考系,系統(tǒng)和控制體,歐拉和拉格朗日參考系中的時(shí)間導(dǎo)數(shù),歐拉參考系：,某一空間點(diǎn)上的流體速度隨時(shí)間的變化，稱當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)或局部導(dǎo)數(shù)。,拉格朗日參考系：,在歐拉參考系下用 表

9、示流體質(zhì)點(diǎn)的速度變化。,流體質(zhì)點(diǎn)的速度隨時(shí)間變化，即加速度。,1.2 歐拉和拉格朗日參考系,流體質(zhì)點(diǎn)的物理量隨時(shí)間的變化率。物質(zhì)導(dǎo)數(shù)又稱質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)，隨體導(dǎo)數(shù)。設(shè)場(chǎng)變量 ，則 表示某一流體質(zhì)點(diǎn)的 隨時(shí)間的變化，即一個(gè)觀察者隨同流體一起運(yùn)動(dòng)，并且一直盯著某一特定流體質(zhì)點(diǎn)時(shí)所看到的 隨時(shí)間的變化。 是拉格朗日參考系下的時(shí)間導(dǎo)數(shù)。,物質(zhì)導(dǎo)數(shù),1.2 歐拉和拉格朗日參考系,

10、在歐拉參考系下的表達(dá)式（在歐拉參考系下推導(dǎo)）,時(shí)刻，,時(shí)刻，,泰勒級(jí)數(shù)展開，,1.2 歐拉和拉格朗日參考系,在歐拉參考系下的表達(dá)式（在拉格朗日參考系下推導(dǎo)）,1.2 歐拉和拉格朗日參考系,是流體質(zhì)點(diǎn)的某物理量，式中 x, y, z 是流體質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)， x, y, z 不再是獨(dú)立變量，而是 x0 , y0 , z0 , t 的函數(shù)。,,矢量和張量形式的物質(zhì)導(dǎo)數(shù),1.2 歐拉和拉格朗日參考系,稱對(duì)流導(dǎo)數(shù)或位變導(dǎo)數(shù)，流體物性隨空間坐標(biāo)

11、變化而變化，當(dāng)流體質(zhì)點(diǎn)空間位置隨時(shí)間變化時(shí)，在流動(dòng)過程中會(huì)取不同的 值，因此也會(huì)引起 的改變。,上式把拉格朗日參考系中的時(shí)間導(dǎo)數(shù)和歐拉參考系中的就地導(dǎo)數(shù)和對(duì)流導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來。,歐拉時(shí)間導(dǎo)數(shù)，稱局部導(dǎo)數(shù)或就地導(dǎo)數(shù)，表示空間某一點(diǎn)流體物理量隨時(shí)間的變化；,物質(zhì)導(dǎo)數(shù)；,1.2 歐拉和拉格朗日參考系,矢量和張量形式的物質(zhì)導(dǎo)數(shù),例1.  拉格朗日變數(shù) (x0,y0,z0) 給出的流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律為,,1)  &

12、#160;   求以歐拉變數(shù)描述的速度場(chǎng)；2)      問流動(dòng)是否定常；3)      求加速度。,解:,1) 設(shè)速度場(chǎng)的三個(gè)分量是,1.2 歐拉和拉格朗日參考系,2) 歐拉表達(dá)式中包括變量 t , 是不定常流動(dòng)。,3）在歐拉參考系中求加速度,消去以上表達(dá)式中的拉格朗日變數(shù),,1.2 歐拉和拉格朗日參考系,,

13、在拉格朗日參考系中求加速度,,1.2 歐拉和拉格朗日參考系,1 . 3　雷諾輸運(yùn)定理,對(duì)系統(tǒng)體積分的隨體導(dǎo)數(shù),通常的力學(xué)和熱力學(xué)定理都是應(yīng)用于系統(tǒng)的。,動(dòng)量定理,1 . 3　雷諾輸運(yùn)定理,設(shè) 是單位體積流體的物理分布函數(shù)，而 是系統(tǒng)體積內(nèi)包含的總物理量，則,對(duì)系統(tǒng)體積分的隨體導(dǎo)數(shù),1 . 3　雷諾輸運(yùn)定理,系統(tǒng)和CV 在初始時(shí)刻重合，CV固定不動(dòng),公式推導(dǎo),,,,,,,,I

14、,II,III,CSI,CSIII,,,,,,,,,,,,1 . 3　雷諾輸運(yùn)定理,,,,,,,,,I,II,III,CSI,CSIII,,,,,,,,,,,,公式推導(dǎo),1 . 3　雷諾輸運(yùn)定理,,系統(tǒng)中的變量N對(duì)時(shí)間的變化率;,固定控制體內(nèi)的變量N對(duì)時(shí)間的變化率，由 的不定常性引起 ;,N 流出控制體的凈流率，由于系統(tǒng)的空間位置和體積隨時(shí)間改變引起 .,物理意義,1 . 3　雷諾輸運(yùn)定理,,,,高斯公式，,1 . 3　雷

15、諾輸運(yùn)定理,求在體積 中質(zhì)量隨體導(dǎo)數(shù)。,,,例2. 一流場(chǎng)中流體的密度為 1,速度分布為,其中 a 為常數(shù),,解:,1 . 3　雷諾輸運(yùn)定理,例3. 給定一流場(chǎng)的速度分布和密度分布為:,其中 , k為非零常數(shù)，求,1). 在流場(chǎng)中某點(diǎn)的流體密度隨時(shí)間的變化率；,2). 流體質(zhì)點(diǎn)密度在運(yùn)動(dòng)過程中隨時(shí)間的變化率；,3). 在體積

16、中流體質(zhì)量的隨體倒數(shù)。,解:,1),2),1 . 3　雷諾輸運(yùn)定理,3),在體積 中流體質(zhì)量為，,1 . 3　雷諾輸運(yùn)定理,所以,1 . 3　雷諾輸運(yùn)定理,考慮到,1.4　流線、跡線和脈線,1．流線,流場(chǎng)中的一條曲線，曲線上各點(diǎn)的速度矢量方向和曲線在該點(diǎn)的切線方向相同。,定常流動(dòng)用一幅流線圖就可表示出流場(chǎng)全貌；非定常流動(dòng)中，通過空間點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的速度大小和方向隨時(shí)間而變化，此時(shí)談到流線是指某一給定瞬時(shí)

17、的流線。,,,把時(shí)間當(dāng)作常數(shù)積分以上方程組，即可得流線方程。電力線，磁力線，用于理論分析。,,,微分方程,1.4　流線、跡線和脈線,1．流線,積分上式，,初始條件，,（流線經(jīng)過點(diǎn) ）,消去 s 即可得到流線方程。,1．流線,參數(shù)方程,1.4　流線、跡線和脈線,解：,積分以上方程得，,由條件 時(shí)， 解出,消去 得，,例4.　設(shè)兩維流動(dòng),，

18、求通過（1，1）點(diǎn)的流線。,1.4　流線、跡線和脈線,由以方程可以看出，通過（1，1）點(diǎn)的流線隨時(shí)間變化而變化。若求 時(shí)通過（1，1）點(diǎn)的流線，讓以上方程中,1.4　流線、跡線和脈線,流體質(zhì)點(diǎn)在空間運(yùn)動(dòng)時(shí)描繪出來的曲線。,在定常流動(dòng)情況下，任何一個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的跡線，同時(shí)也是一條流線，即質(zhì)點(diǎn)沿不隨時(shí)間變化的流線運(yùn)動(dòng)。,2．跡線,1.4　流線、跡線和脈線,請(qǐng)注意在以上方程組中 是自變量。

19、 是流體質(zhì)點(diǎn)的空間坐標(biāo)，因此都是 的函數(shù)。,初始條件：,2．跡線,微分方程,1.4　流線、跡線和脈線,消去 得，,由條件 時(shí) ，可解出,解：,積分得，,例5.　設(shè)兩維流動(dòng),，求 通過（1，1）點(diǎn)的跡線。,1.4　流線、跡線和脈線,從流場(chǎng)中的一個(gè)固定點(diǎn)向流場(chǎng)中連續(xù)地注入與流體密度相同的染色液，該染色液形成一條纖細(xì)色線，稱為脈線?；蛄矶x如下，把相繼經(jīng)過流

20、場(chǎng)同一空間點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí)連接起來得到的一條線。,脈線又稱煙線，染色線。,3．脈線,1.4　流線、跡線和脈線,初始條件，,求 ? 時(shí)刻從點(diǎn) 進(jìn)入流場(chǎng)的流體質(zhì)點(diǎn)的跡線方程。,3．脈線,1.4　流線、跡線和脈線,求脈線方程,τ 固定，t 變化（ ）時(shí)，τ 時(shí)刻由點(diǎn) ( x0 , y0 , z0 )注入流場(chǎng)的一個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的跡線； t 固定, τ 變化（

21、 ）時(shí)，t 瞬時(shí)前的不同時(shí)刻經(jīng)由 ( x0 , y0 , z0 ) 點(diǎn)注入流場(chǎng)的不同流體質(zhì)點(diǎn)在 t 時(shí)刻的不同空間位置，即脈線。因此當(dāng) τ 取 的值時(shí)，上述方程即給出 t 時(shí)刻的脈線。,3．脈線,1.4　流線、跡線和脈線,求脈線方程,積分上述方程得，,由條件 時(shí) x = y = 1 可解出，,解：,積分得，,例6.　設(shè)兩維流動(dòng),，求通過（1，1）點(diǎn)的脈線。,以上即通過（1，

22、1）點(diǎn)的脈線參數(shù)方程。顯然在不同時(shí)刻（t 取不同值時(shí)）脈線形狀也不同。,1.4　流線、跡線和脈線,,在 時(shí)刻，,消去 得，,1.4　流線、跡線和脈線,在非定常流動(dòng)條件下，三種曲線一般是不重合的。在定常流動(dòng)條件下，三種曲線合而為一。,1.4　流線、跡線和脈線,在流場(chǎng)內(nèi)作一非流線且不自相交的封閉曲線，在某一瞬時(shí)通過該曲線上各點(diǎn)的流線構(gòu)成一個(gè)管狀表面，稱流管。若流管的橫截面無限小，則稱流管元。

23、流管表面由流線組成，所以流體不能穿過流管側(cè)面流進(jìn)流出，而只能從流管一端流入，而從另一端流出。,4．流管,1.4　流線、跡線和脈線,為流場(chǎng)中一流體質(zhì)點(diǎn)， 為 點(diǎn)鄰域內(nèi)另一任意流體質(zhì)點(diǎn)，如果速度場(chǎng)已知，則同一瞬時(shí)上述 點(diǎn)對(duì)于 點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度 可計(jì)算如下：,1.5  速度分解定理,速度梯度張量,1.5  速度分解定理,速度梯度張量分解為

24、兩個(gè)張量,1.5  速度分解定理,只有6個(gè)獨(dú)立分量，除對(duì)角線元素外，非對(duì)角線元素兩兩對(duì)應(yīng)相等，可表示為 ，是一個(gè)對(duì)稱張量。該張量描述流體微團(tuán)的變形運(yùn)動(dòng)。,速度梯度張量分解為兩個(gè)張量,應(yīng)變率張量,1.5  速度分解定理,只有3個(gè)獨(dú)立分量，對(duì)角線元素為零，非對(duì)角線元素兩兩互為負(fù)數(shù)，可表示為 ，是一個(gè)反對(duì)稱張量。該張量描述流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。,速度梯

25、度張量分解為兩個(gè)張量,旋轉(zhuǎn)率張量,1.5  速度分解定理,旋轉(zhuǎn)率張量,反對(duì)稱張量 只有三個(gè)獨(dú)立分量，可看作一個(gè)矢量的三個(gè)分量，,1.5  速度分解定理,以 間的位移 和旋轉(zhuǎn)張量 相乘，,旋轉(zhuǎn)率張量,1.5  速度分解定理,表示由于流體微團(tuán)繞瞬時(shí)軸旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的 點(diǎn)相對(duì)于M 點(diǎn)的速度變化。,表示由于流體微團(tuán)變形而產(chǎn)生的 點(diǎn)相對(duì)于M點(diǎn)的速度變化。,,,,1

26、.5  速度分解定理,速度分解定理,應(yīng)變率張量和旋轉(zhuǎn)率張量各分量的意義,,相對(duì)伸長率,只有,是 x 向直線相對(duì)伸長率。,y 和 z 向直線相對(duì)伸長率，,1.5  速度分解定理,應(yīng)變率張量的對(duì)角線分量分別表示流體微團(tuán)沿各坐標(biāo)軸方向的直線相對(duì)伸長率,速度梯度項(xiàng)同時(shí)有,只有,應(yīng)變率張量和旋轉(zhuǎn)率張量各分量的意義,1.5  速度分解定理,相對(duì)體積膨脹率,應(yīng)變率張量的對(duì)角線分量之和表示流體微團(tuán)的相對(duì)體積膨脹率。,

27、同樣可推得，,應(yīng)變率張量和旋轉(zhuǎn)率張量各分量的意義,1.5  速度分解定理,旋轉(zhuǎn)角速度,,流體微團(tuán)繞 X 軸和 Y 軸旋轉(zhuǎn)的角速度，,,定義流體線OA和OB的角速度 和 的平均值為流體微團(tuán)繞 Z 軸旋轉(zhuǎn)的角速度（逆時(shí)針為正）,1.5  速度分解定理,應(yīng)變率張量和旋轉(zhuǎn)率張量各分量的意義,旋轉(zhuǎn)角速度,角速度矢量,與旋轉(zhuǎn)率張量對(duì)應(yīng)的矢量 表示流體微團(tuán)繞其內(nèi)部某一瞬時(shí)軸旋

28、轉(zhuǎn)的角速度， 等于速度旋度的二分之一。,1.5  速度分解定理,應(yīng)變率張量和旋轉(zhuǎn)率張量各分量的意義,旋轉(zhuǎn)角速度,,OA 和 OB 間夾角減小了,令減小為正，X 軸和 Y 軸間夾角變形率，,同樣可推得Z 軸和 X 軸間，Y 軸和 Z 軸間夾角的變形率分別為，,應(yīng)變率張量和旋轉(zhuǎn)率張量各分量的意義,1.5  速度分解定理,角變形率,應(yīng)變率張量的非對(duì)角線分量表示流體微團(tuán)的角變形率。,velocity gradie

29、nt tensor， 速度梯度張量rate-of-deformation tensor 應(yīng)變率張量rate-of-rotation tensor 旋轉(zhuǎn)率張量,I.G.CurrieDeformation-rate tensorRate-of-shearing tensorRate-of-rotation tensor,1)     渦量2)  

30、    應(yīng)變率張量 3)      旋轉(zhuǎn)率張量4)      變形速度 和旋轉(zhuǎn)速度,例7.設(shè)平面剪切運(yùn)動(dòng)的速度分布為,試求:,解:,1),2),,,,,,,,3),4),5),以上結(jié)果表明一個(gè)平面剪切運(yùn)動(dòng)可以分解為一個(gè)剪切變形運(yùn)動(dòng)和一個(gè)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),可以用下圖直觀的表示。,,,,,,,,,,,1.

31、6　速度環(huán)量和渦量,速度環(huán)量,速度環(huán)量是流體繞封閉曲線旋轉(zhuǎn)強(qiáng)度的度量，線積分沿逆時(shí)針方向進(jìn)行。,渦量,1.6　速度環(huán)量和渦量,渦量,1.6　速度環(huán)量和渦量,流場(chǎng)內(nèi)處處 的流動(dòng)稱無旋流，或稱勢(shì)流。 的流動(dòng)則稱有旋流動(dòng)。,渦量是流體微團(tuán)繞其內(nèi)部一瞬時(shí)軸作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的角速度的二倍，,渦量與流體微團(tuán)自身的旋轉(zhuǎn)角速度成正比，而與流體微團(tuán)重心圍繞某一參考中心作圓周運(yùn)動(dòng)的角速度無關(guān)。

32、流動(dòng)是否有旋與流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡無關(guān)。一個(gè)作圓周運(yùn)動(dòng)的流體微團(tuán)可能渦量為零。,Stokes定理,渦通量：,Stokes定理：,1.6　速度環(huán)量和渦量,S,1.7　渦旋的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性,渦管和微元渦管,渦線，流場(chǎng)中的一條曲線，曲線上各點(diǎn)的渦量矢量方向和曲線在該點(diǎn)的切線方向相同。,渦管，在流場(chǎng)內(nèi)作一非渦線且不自相交的封閉曲線，在某瞬時(shí)通過該曲線上各點(diǎn)的渦線組成一管狀表面，稱渦管。渦管橫截面無限小時(shí)稱微元渦管。,,矢量恒等式，,渦旋場(chǎng)內(nèi)無源無匯。

33、,渦旋場(chǎng)是無源場(chǎng),1.7　渦旋的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性,速度散度是流出單位體積控制體的體積流量。有源或有匯。,由 ，對(duì)圖示渦管，,對(duì)一個(gè)確定的渦管，它的任一橫截面上的渦通量是一個(gè)常數(shù)。該常數(shù)稱為渦管強(qiáng)度。,渦管的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性,1.7　渦旋的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性,沿渦管每一橫截面的包圍曲線的速度環(huán)量相等。,由Stokes定理,渦管的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性,1.7　渦旋的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性,渦線和渦管都不能在流體內(nèi)部中斷,由于渦旋場(chǎng)是無源場(chǎng)，可以推斷，渦線和渦管都

34、不能在流體內(nèi)部中斷。( 如果發(fā)生中斷，則在中斷處取封閉曲面，通過封閉曲面的渦通量將不為零，與無源場(chǎng)事實(shí)相矛盾 )。,渦線和渦管只能在流體中自行封閉，形成渦環(huán)，或?qū)⑵漕^尾搭在固壁或自由面，或延伸至無窮遠(yuǎn)。,1.7　渦旋的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性,下標(biāo) 表示面元 的法線方向。,1.8　應(yīng)力張量,應(yīng)力矢量,應(yīng)力矢量方向與法線方向不一定重合。,，正側(cè)流體對(duì)負(fù)側(cè)流體的作用應(yīng)力；,，負(fù)側(cè)流體對(duì)正側(cè)流體的作用應(yīng)力。,應(yīng)力矢量,1.8　應(yīng)力張量,

35、,應(yīng)力矢量,1.8　應(yīng)力張量,應(yīng)力矢量的投影,應(yīng)力的雙下標(biāo)表示法：第 1 個(gè)下標(biāo)表示應(yīng)力所在平面的法線方向，第 2 個(gè)下標(biāo)表示應(yīng)力投影方向。,1.8　應(yīng)力張量,應(yīng)力矢量,應(yīng)力矢量的投影,過空間一點(diǎn)的三個(gè)相互垂直平面（可取三個(gè)坐標(biāo)平面）上的應(yīng)力矢量或它們的九個(gè)分量完全描寫了一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。,一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),1.8　應(yīng)力張量,應(yīng)力矢量,取四面體流體元，,應(yīng)力矢量與應(yīng)力張量,1.8　應(yīng)力張量,慣性力，　重力，　　表面力，,達(dá)朗貝爾原理

36、：作用于四面體上的質(zhì)量力（重力），表面力和慣性力及其力矩應(yīng)該平衡。,當(dāng) ，重力、慣性力為三階無窮小量，表面力為二階無窮小量，因此僅需考慮表面力作用，忽略慣性力和重力影響。,應(yīng)力矢量與應(yīng)力張量,1.8　應(yīng)力張量,應(yīng)力矢量與應(yīng)力張量,1.8　應(yīng)力張量,應(yīng)力矢量與應(yīng)力張量,1.8　應(yīng)力張量,應(yīng)力張量 與 無關(guān)，而只是空間點(diǎn)位置和時(shí)間的函數(shù)，由九個(gè)分量（6個(gè)獨(dú)立分量）組成的應(yīng)力張量完全表達(dá)了給定時(shí)刻一點(diǎn)的

37、應(yīng)力狀態(tài)。,或,稱應(yīng)力張量,應(yīng)力張量的對(duì)角線元素為法向應(yīng)力分量，非對(duì)角線元素為切向應(yīng)力分量。,應(yīng)力張量,1.8　應(yīng)力張量,直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)的應(yīng)力張量分量,應(yīng)力張量是對(duì)稱張量,作用在四面體上的表面力的合力矩等于零。,應(yīng)力張量是對(duì)稱張量,同理可證，,應(yīng)力張量的九個(gè)分量中只有六個(gè)是相互獨(dú)立的。,例8.流體內(nèi)某處的應(yīng)力張量可表示為,試求作用于平面 外側(cè)（離開原點(diǎn)一側(cè)）的應(yīng)力矢量

38、及應(yīng)力矢量的法向和切向分量。,解:,求該平面外側(cè)的法向單位矢量，,1.8　應(yīng)力張量,1.8　應(yīng)力張量,同一點(diǎn)各個(gè)不同方向上的法向應(yīng)力是相等的;取 是強(qiáng)調(diào)壓強(qiáng)與作用面的法線方向是相反的;在理想流體或靜止流體中，只要用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)即壓力函數(shù) 便完全地描述了一點(diǎn)上的應(yīng)力狀態(tài)。,1.9　理想流體與靜止流體的應(yīng)力張量,一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),在理想流體或靜止流體中切應(yīng)力為零,理想流體與靜止流體的應(yīng)力張量,1.9　理想

39、流體與靜止流體的應(yīng)力張量,例9.圓球表面應(yīng)力如下,,求圓球所受的力，以上表達(dá)中， 為無窮遠(yuǎn)處壓強(qiáng)和流體速度， 為動(dòng)力粘性系數(shù) ， a 為圓球半徑。,球坐標(biāo)和直角坐標(biāo)關(guān)系,,解:,又解 :,圓柱坐標(biāo)中的應(yīng)力分量,例10. 試求圖示圓柱坐標(biāo)系微元體所受表面力的合力。計(jì)算中可取每個(gè)表面中心的應(yīng)力作為該表面的平均應(yīng)力。已知單位矢量 和 均是θ的函數(shù)，且 ,微元體中心的應(yīng)力張量已知。

40、,解:,同理,整理得,,,,,,,,,,,,第一章,(1) 求其加速度的歐拉描述；(2) 先求矢徑表示式 ,再由此求加速度的拉 格朗日描述；(3) 求流線及跡線。,1.1　設(shè)速度場(chǎng),1.2　設(shè),求應(yīng)變率張量及旋轉(zhuǎn)率張量。,1.3 在 P 點(diǎn)的應(yīng)力張量如下,練習(xí)題,求 (1) 某點(diǎn)單位法向矢量為,的平面上的應(yīng)力矢量 。,(2) 應(yīng)力矢量在法向的分

41、量；,(3) 與 之間的夾角。,求各切應(yīng)力。,1.4　設(shè)流動(dòng)速度分布為,粘度系數(shù)為,1.5 (教科書 2.4 ，(2.3))已知流場(chǎng),(1) 沿下邊給出的封閉曲線積分求速度環(huán)量,,(2) 求渦量 ，然后求　　　　　式中 A 是 (1) 中給出的矩形面積， 是此面積的外單位法線矢量。,1.6 計(jì)算下列二維流場(chǎng)在任意點(diǎn) 的渦量，(1). (2)上式中