高等流體力學(xué)—理想不可壓縮流體無(wú)旋運(yùn)動(dòng)

1、1,第七章 理想不可壓縮流體無(wú)旋運(yùn)動(dòng),2,,第一節(jié)　引言,一、不可壓縮理想流體無(wú)旋運(yùn)動(dòng)模型1）理想：粘性力<< 慣性力的區(qū)域，忽略粘性力作用，簡(jiǎn)化方程 例如繞流問題中邊界層以外區(qū)域的流動(dòng)。不脫體繞流流動(dòng)在研究壓力場(chǎng)和速度場(chǎng)時(shí)可不計(jì)邊界層，近似看成理想流體繞流物體流動(dòng)。,3,,第一節(jié)　引言,一、不可壓縮理想流體無(wú)旋運(yùn)動(dòng)模型2）不可壓縮：　　 液體，通常情況下。 氣體，低速繞流運(yùn)動(dòng)（流速&

2、lt;< 聲速）， 例如飛機(jī)速度<100m/s時(shí)。 3）無(wú)旋運(yùn)動(dòng)：在以上近似下，有勢(shì)體力場(chǎng)中流體渦旋運(yùn)動(dòng)性質(zhì)具有保持性，即初始無(wú)旋則永遠(yuǎn)無(wú)旋。在流體從靜止開始的運(yùn)動(dòng)中和無(wú)窮遠(yuǎn)均勻來(lái)流繞流物體的運(yùn)動(dòng)等，流動(dòng)均無(wú)旋。此模型是對(duì)一類廣泛存在的流動(dòng)問題的理想近似。,4,N-S方程,,運(yùn)動(dòng)方程,本構(gòu)方程,,μ為常數(shù),5,,第一節(jié)　引言,二、基本方程組,方程組求解的困難: (1) 慣性項(xiàng)非線

3、性；(2) 速度v與壓力p相互關(guān)聯(lián)，需要聯(lián)立求解,初始條件：t=0時(shí),邊界條件：,6,,若運(yùn)動(dòng)無(wú)旋，則：,,存在勢(shì)函數(shù)，滿足：,代入連續(xù)性方程，得：,拉普拉斯方程：線性的二階偏微分方程,7,,若流體是理想不可壓縮的，外力有勢(shì)，且運(yùn)動(dòng)無(wú)旋，則運(yùn)動(dòng)方程可以積分求解，得到拉格朗日積分方程：,,,,8,,對(duì)理想不可壓縮流體無(wú)旋運(yùn)動(dòng)，方程組和初始、邊界條件為：,,適用范圍：粘性力<< 慣性力或其他力的區(qū)域，忽略粘性力作用,9,,第二節(jié)

4、　理想不可壓縮流體平面無(wú)旋運(yùn)動(dòng),一、平面定常運(yùn)動(dòng)條件：1) 穩(wěn)定流動(dòng)，隨時(shí)間變化可忽略不計(jì)；2) 所研究的流動(dòng)區(qū)域在一個(gè)方向的尺寸比其他兩個(gè)方向大得多；3) 流體參數(shù)在小尺寸的方向上變化很小，基本為定值；,數(shù)學(xué)表達(dá)1) 流體運(yùn)動(dòng)只在與Oxy平面平行的平面內(nèi)進(jìn)行，w=0；2) 在與Oz軸平行的直線上所有物理量不變，即：,10,繞無(wú)限翼展的流動(dòng)(平面流動(dòng)),,11,繞有限翼展的流動(dòng)(三維流動(dòng)),,12,,第二節(jié)　理想不可壓縮流體

5、平面無(wú)旋運(yùn)動(dòng),二、速度勢(shì)函數(shù)對(duì)平面運(yùn)動(dòng)：w=0,,13,,第二節(jié)　理想不可壓縮流體平面無(wú)旋運(yùn)動(dòng),二、速度勢(shì)函數(shù)對(duì)平面無(wú)旋運(yùn)動(dòng)：w=0,,速度分量滿足的關(guān)系,存在勢(shì)函數(shù)　　　　 滿足：,14,,第二節(jié)　理想不可壓縮流體平面無(wú)旋運(yùn)動(dòng),若平面無(wú)旋運(yùn)動(dòng)速度分布v已知，則勢(shì)函數(shù)為：,速度勢(shì)函數(shù) 滿足下列性質(zhì)：,M與M0分別為流場(chǎng)中任意兩點(diǎn),1) 速度勢(shì)函數(shù)可允許相關(guān)一任意常數(shù)，而不影響流體的運(yùn)動(dòng)；2) 　　　　常數(shù)是等勢(shì)線，它的法線方向和

6、速度矢量的方向重合：,15,,第二節(jié)　理想不可壓縮流體平面無(wú)旋運(yùn)動(dòng),3) 沿曲線MM0的速度環(huán)量等于這兩點(diǎn)處勢(shì)函數(shù)的差值：,M與M0分別為流場(chǎng)中任意兩點(diǎn),4) 若研究的流動(dòng)區(qū)域是單連通區(qū)域，則由于封閉回線的速度環(huán)量,因此速度勢(shì)函數(shù)是單值函數(shù)。,16,,第二節(jié)　理想不可壓縮流體平面無(wú)旋運(yùn)動(dòng),單連通區(qū)域：如果區(qū)域內(nèi)任兩點(diǎn)都可用區(qū)域內(nèi)的一條曲線連接，則這樣的區(qū)域是連通的。如果在連通的區(qū)域內(nèi)任一封閉曲線可以不出邊界的連續(xù)收縮到一點(diǎn)，則此連通區(qū)域

7、稱為單連通區(qū)域,球體內(nèi)部－單連通,,圓環(huán)內(nèi)部－雙連通,17,,第二節(jié)　理想不可壓縮流體平面無(wú)旋運(yùn)動(dòng),平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，不可壓縮流體的連續(xù)性方程為：,,,速度勢(shì)函數(shù)滿足二維坐標(biāo)系下的拉普拉斯方程,18,,三、流函數(shù)由連續(xù)性方程：,存在一個(gè)函數(shù)，　　　　滿足：,稱為流函數(shù),M與M0分別為流場(chǎng)中任意兩點(diǎn),19,,流函數(shù) 滿足下列性質(zhì)：,1) 流函數(shù)可允許相差一任意常數(shù)，而不影響流體的運(yùn)動(dòng)；2) 　　　　　常數(shù)是流線，它的切線方向和速度矢量的方向

8、重合：,根據(jù)定義，流線方程為：,,,,,,常數(shù)是流線,20,,第二節(jié)　理想不可壓縮流體平面無(wú)旋運(yùn)動(dòng),3) 通過曲線NN0的流量等于這兩點(diǎn)處流函數(shù)的差值：,N與N0分別為流場(chǎng)中任意兩點(diǎn),21,,第二節(jié)　理想不可壓縮流體平面無(wú)旋運(yùn)動(dòng),3) 通過曲線MM0的流量等于這兩點(diǎn)處流函數(shù)的差值：,22,,第二節(jié)　理想不可壓縮流體平面無(wú)旋運(yùn)動(dòng),3) 通過曲線MM0的流量等于這兩點(diǎn)處流函數(shù)的差值：,曲線積分,坐標(biāo)積分,全微分函數(shù)的積分,與積分路徑無(wú)關(guān),2

9、3,,第二節(jié)　理想不可壓縮流體平面無(wú)旋運(yùn)動(dòng),4) 在單連通區(qū)域內(nèi)若不存在源匯，則,因此流函數(shù)是單值函數(shù)。,平面無(wú)旋運(yùn)動(dòng)時(shí)，,,,流函數(shù)滿足二維坐標(biāo)系下的拉普拉斯方程,24,,四、復(fù)位勢(shì)與復(fù)速度對(duì)理想不可壓縮流體平面無(wú)旋運(yùn)動(dòng)，考慮速度勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)：,勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)間的關(guān)系：哥西－黎曼條件,流線和等勢(shì)線正交,,,25,,四、復(fù)位勢(shì)與復(fù)速度構(gòu)造一個(gè)復(fù)函數(shù)：,定義復(fù)速度：,實(shí)部－速度勢(shì)函數(shù),虛部－流函數(shù),,26,,四、復(fù)位勢(shì)與復(fù)速度當(dāng)已

10、知共軛復(fù)速度，可求得復(fù)函數(shù)：,1) 復(fù)函數(shù)可允許相差一任意常數(shù)，而不影響流體的運(yùn)動(dòng)；2) w(z)=常數(shù)等價(jià)于流函數(shù)和速度勢(shì)分別等于常數(shù)，它們分別代表等勢(shì)線和流線，且二者正交：,復(fù)位勢(shì)的性質(zhì),3) 共軛復(fù)速度沿封閉回線C的積分，其實(shí)數(shù)部分為沿該封閉回線的速度環(huán)量，而虛數(shù)部分則為通過封閉回線C的流量。,4) 在無(wú)源無(wú)渦的單連通區(qū)域內(nèi)，w(z)是單值函數(shù)。,27,,第三節(jié)　理想不可壓縮流體平面無(wú)旋運(yùn)動(dòng)－基本流動(dòng)形態(tài)及數(shù)學(xué)表達(dá),平面無(wú)旋運(yùn)

11、動(dòng),復(fù)位勢(shì)（解析函數(shù)）,,一一對(duì)應(yīng),基本解析函數(shù)的疊加,基本流動(dòng)的組合,,,,,,,,28,,一、線性函數(shù)－均勻流,a是復(fù)數(shù),共軛復(fù)速度,流線族,等勢(shì)線族,29,,二、點(diǎn)源與點(diǎn)匯,a是實(shí)數(shù),用極坐標(biāo)下的復(fù)數(shù)表達(dá)式,流線族,等勢(shì)線族,30,,a是實(shí)數(shù),31,,a是實(shí)數(shù),點(diǎn)源,點(diǎn)匯,若點(diǎn)源不在坐標(biāo)原點(diǎn)而在z0點(diǎn)，則復(fù)位勢(shì)為：,32,,三、點(diǎn)渦,b是實(shí)數(shù),33,,三、點(diǎn)渦,b是實(shí)數(shù),點(diǎn)渦,若點(diǎn)渦不在坐標(biāo)原點(diǎn)而在z0點(diǎn)，則復(fù)位勢(shì)為：,34,,四

12、、倒數(shù)函數(shù)－偶極子,m是實(shí)數(shù),35,,四、倒數(shù)函數(shù)－偶極子,m是實(shí)數(shù),36,,第四節(jié)　圓柱的無(wú)環(huán)量繞流,求解理想不可壓縮流體無(wú)旋運(yùn)動(dòng),(1) 正問題：給定物體，求繞流問題的復(fù)位勢(shì)(解析函數(shù)),(2) 反問題：,給出復(fù)位勢(shì)，反過來(lái)研究什么的平面無(wú)旋運(yùn)動(dòng)與之對(duì)應(yīng),選擇基本流動(dòng)的組合，并滿足給定的邊界條件,37,,第四節(jié)　圓柱的無(wú)環(huán)量繞流,圓柱定常繞流問題的解由下列兩個(gè)基本流動(dòng)疊加起來(lái)：,(1) 速度為V∞（實(shí)數(shù)）的平行流；,(2) 矩為m，

13、軸線方向與來(lái)流相對(duì)的偶極子；,復(fù)位勢(shì)為：,38,,39,,Ψ＝0時(shí)，為零流線，即繞流的邊界線,,為圓柱定常繞流的流線,40,,41,,42,,圓柱表面的切向速度,,,43,,圓柱繞流的壓力分布,在流線上根據(jù)伯努力方程，忽略重力影響，z=常數(shù)得：,,44,,圓柱繞流的壓力分布,圓柱表面的壓力分布,45,,圓柱繞流的壓力分布,圓柱表面的壓力分布,46,,圓柱繞流的壓力分布,47,,48,,基本流動(dòng)中渦旋，速度環(huán)量處處為零，稱為無(wú)環(huán)量繞流,壓

14、力沿圓周對(duì)稱分布，在x，y兩個(gè)方向的合力為零－在流動(dòng)方向上阻力為零－與實(shí)際流動(dòng)不符－達(dá)朗伯詳謬(1752),在粘性力的作用下，在圓柱面上壓力分布不對(duì)稱，沿流動(dòng)方向有合力，即產(chǎn)生流動(dòng)阻力。,49,,第五節(jié)　圓柱的有環(huán)量繞流,旋轉(zhuǎn)的圓柱，由于粘性的作用帶動(dòng)周圍的氣體產(chǎn)生圓周運(yùn)動(dòng)，放在橫向的均勻平行氣流中，所組成的復(fù)合運(yùn)動(dòng),50,,第五節(jié)　圓柱的有環(huán)量繞流,圓柱的無(wú)環(huán)量繞流,圓心處強(qiáng)度為－Γ(Γ>0)的點(diǎn)渦,復(fù)位勢(shì)：,51,,流函數(shù),勢(shì)