流體力學(xué)中的三大基本方程

1、流體力學(xué)中的三大基本方程,劉穎杰,1 連續(xù)性微分方程,理論依據(jù)：質(zhì)量守恒定律在微元體中的應(yīng)用數(shù)學(xué)描述： [單位時(shí)間流出的質(zhì)量]-[單位時(shí)間流入的質(zhì)量]+[單位時(shí)間質(zhì)量的累積or增量]=0,假定流體連續(xù)地 充滿整個(gè)流場，從中 任取出以 點(diǎn)為中心的微小六面 體空間作為控制體如 右圖?？刂企w的邊長 為dx，dy，dz，分別 平行于直角坐標(biāo)軸x，,公式推導(dǎo)：,（1）單位時(shí)間內(nèi)流入、流出微元體流體總質(zhì)量變化

2、,y，z。設(shè)控制體中心點(diǎn)處流速的三個(gè)分量為 ,液體密度為 。將各流速分量按泰勒級數(shù)展開，并略去高階微量，可得到該時(shí)刻通過控制體六個(gè)表面中心點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動速度。例如：通過控制體前表面中心點(diǎn)M的質(zhì)點(diǎn)在x方向的分速度為通過控制體后表面中心點(diǎn)N的質(zhì)點(diǎn)在x方向的分速度為,因所取控制體無限小，故認(rèn)為在其各表面上的流速均勻分布。所以單位時(shí)間內(nèi)沿x軸方向,流出控制體的質(zhì)量為,于是，單位時(shí)間內(nèi)在x方向流出與流入控制體的質(zhì)

3、量差為,流入控制體的質(zhì)量為,同理可得在單位時(shí)間內(nèi)沿y，z方向流出與流入控制體的質(zhì)量差為,故單位時(shí)間內(nèi)流出與流入微元體流體質(zhì)量總變化為：,和,⑵控制體內(nèi)質(zhì)量變化：,因控制體是固定的，質(zhì)量變化是因密度變化引起的，dt時(shí)間內(nèi)：,單位時(shí)間內(nèi)，微元體質(zhì)量增量：,,（微團(tuán)密度在單位時(shí)間內(nèi)的變率與微團(tuán)體積的乘積）,⑶根據(jù)連續(xù)性條件：,,矢量形式：,——三維連續(xù)性微分方程,,⑴適用條件： 不可壓縮和可壓縮流體 理想和實(shí)際

4、流體 穩(wěn)態(tài)及非穩(wěn)態(tài)流動⑵不可壓縮性流體的連續(xù)性微分方程：,,or,,說明流體體變形率為零，即流體不可壓縮?；蛄魅塍w積流量與流出體積流量相等。,,,,,⑶穩(wěn)定流動時(shí)：所有流體物性參數(shù)均不隨時(shí)間而變，,,,⑷二維平面流動：,2.理想流體的運(yùn)動方程3.4.1---歐拉運(yùn)動微分方程,理論依據(jù)：是牛頓第二定律在流體力學(xué)上的具體應(yīng)用，它建立了理想流體的密度、速度、壓力與外力之間的關(guān)系。1775年由歐拉推出流體力學(xué)中心問題是流速

5、問題，流體流速與其所受到外力間的關(guān)系式即是運(yùn)動方程。,推導(dǎo)過程：,⑴取微小六面控制體,,牛頓第二定律or動量定理：,⑵推導(dǎo)依據(jù)：,,即作用力之合力=動量隨時(shí)間的變化速率,⑶分析受力：,質(zhì)量力：,單位質(zhì)量力：,,X方向上所受質(zhì)量力為：,表面力：,理想流體，沒有粘性，所以表面力只有壓力,,X方向上作用于垂直x軸方向兩個(gè)面的壓力分別為：,,X方向上質(zhì)點(diǎn)所受表面力合力：,流體質(zhì)點(diǎn)加速度,的計(jì)算方法：,,,流速的全導(dǎo)數(shù)應(yīng)是：,當(dāng)?shù)丶铀俣龋毫鲌鲋心?/p>

6、處流體運(yùn)動速度對時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)，反映了流體速度在固定位置處的時(shí)間變化特性遷移加速度：流場由于流出、流進(jìn)某一微小區(qū)域而表現(xiàn)出的速度變化率。,流體質(zhì)點(diǎn)加速度,在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量表示成：,,⑷代入牛頓第二定律求得運(yùn)動方程：,得x方向上的運(yùn)動微分方程：,,單位體積流體的運(yùn)動微分方程：,,單位質(zhì)量流體的運(yùn)動微分方程：,,同理可得y,z方向上的：,,向量形式：,式中：,,——理想流體歐拉運(yùn)動微分方程,適用條件：理想流體，不可壓縮流體和可壓縮流體,

7、（5）連續(xù)性微分方程和運(yùn)動方程在求解速度場中的應(yīng)用,這里以不可壓縮粘性流體穩(wěn)定等溫流動為例：連續(xù)性方程：,,運(yùn)動方程：,,,1. 含有四個(gè)未知量 完整的方程組。2. 描述了各種量間的依賴關(guān)系。3. 通解、單值條件（幾何條件、物理?xiàng)l件、邊界條件、初始條件）→特解。即描述流體流動的完整方程組+單值性條件→描述某一特定流動。,,3. 伯努利方程 (Bernoulli),理想流體穩(wěn)定流動的伯努利微分方程,

8、由理想流體歐拉運(yùn)動微分方程,是穩(wěn)定流動，vx,vy,vz，p都只是坐標(biāo)函數(shù)，與時(shí)間無關(guān)，方程轉(zhuǎn)換去除t項(xiàng),伯努利（D.Bernouli 1700－1782）方程的提出和意義,,,推導(dǎo)得：,,Or,——伯努利方程微分形式。,說明： 流體質(zhì)點(diǎn)在微小控制體dxdydz范圍內(nèi)，沿任意方向流線流動時(shí)的能量平衡關(guān)系式。,①適用范圍：理想流體、穩(wěn)定流體、質(zhì)量力只有重力且在微小控制體dxdydz范圍內(nèi)沿某一根流線；②物理意義：揭示了沿某一根流線

9、運(yùn)動著的流體質(zhì)點(diǎn)速度，位移和壓強(qiáng)、密度四者之間的微分關(guān)系。,3.1 伯努利方程積分形式,1.沿流線的積分方程：,設(shè)：,,,Or,——理想流體微元流束的伯努利方程。,①適用條件：理想流體、不可壓縮性流體、穩(wěn)定流動、質(zhì)量力只有重力，且沿某一根流線；②任選一根流線上的兩點(diǎn)：,,（流線變化了則C值變化）,③靜止流體：,靜止容器內(nèi)任一點(diǎn)的z 與 P/r 之和為常數(shù)。,靜力學(xué)方程,物理意義及幾何意義：,z : 單位重量流體所具有的位能N·

10、;M/N ；（可以看成mgz/mg）P/r : 單位重量流體所具有的壓力能；,⑴物理意義：,,：單位重量流體所具有的動能；,三者之和為單位重量流體具有的機(jī)械能。,理解：質(zhì)量為m微團(tuán)以v,運(yùn)動，具有mv2/2動能，若用,重量mg除之得v2/2g,理想、不可壓縮流體在重力場中作穩(wěn)定流動時(shí)，沿流線or無旋流場中流束運(yùn)動時(shí)，單位重量流體的位能，壓力能和動能之和是常數(shù)，即機(jī)械能是守恒的，且它們之間可以相互轉(zhuǎn)換 。,物理意義：,⑵幾何意義：,z

11、：單位重量流體的位置水頭； （距離某一基準(zhǔn)面的高度）P/r : 單位重量流體的壓力水頭，或靜壓頭； （具有的壓力勢能與一段液柱高度相當(dāng)）,,: 單位重量流體具有的動壓頭or速度水頭,速度壓頭。,物理中：質(zhì)量為m以,速度v垂直向上拋能達(dá)到的,最高高度為v2/2g,三者之和為單位重量流體的總水頭。,理想、不可壓縮流體在重力場中作穩(wěn)態(tài)流動時(shí)，沿一根流線（微小流束）的總水頭是守恒的，同時(shí)可互相轉(zhuǎn)換。,幾何意義：,3.2 伯努利方程的應(yīng)用,可求

12、解流動中的流體v、P及過某一截面的流量；以伯努利方程為原理測量流量的裝置。皮托管（畢托管）：測量流場中某一點(diǎn)流速的儀器。皮托曾用一兩端開口彎成直角的玻璃管測塞那河道中任一點(diǎn)流速。,A點(diǎn)為駐點(diǎn),總壓,⑴皮托管：,B點(diǎn)：A點(diǎn)前選一點(diǎn)不受玻璃管干擾的點(diǎn)；A--B認(rèn)為是一條流線。,列沿流線AB上兩點(diǎn)的伯努利方程：,zA=zB,=0,,PB總=PA=r(H0+h) PB=rH0,總壓,靜壓,動壓,,在皮托管上再接一個(gè)靜壓管，即為