3剛體力學(xué)基礎(chǔ)

1、第三章 剛體力學(xué)基礎(chǔ),,,2,剛體的轉(zhuǎn)動(dòng),在外力作用下形狀和大小不發(fā)生變化的物體,剛體內(nèi)任意一條直線總是平行運(yùn)動(dòng),剛體,剛體的平動(dòng),剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡完全相同,,,,,,,3,剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng),剛體的轉(zhuǎn)動(dòng),,,,,,,,剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體繞固定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng),即轉(zhuǎn)軸固定不動(dòng),4,描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量,對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體可選取垂直于轉(zhuǎn)軸的一個(gè)平面進(jìn)行研究,? P,點(diǎn)P的轉(zhuǎn)動(dòng)可代表整個(gè)剛體,描述點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng):,角坐標(biāo) ?

2、(t),角速度,一般規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正,?>0,角速度矢量 𝝎,方向用右手法則確定,5,角加速度,角加速度矢量 𝜷,角量與線量的關(guān)系,瞬時(shí)速率,切向加速度,法向加速度,,考慮方向關(guān)系后：,瞬時(shí)速度,6,一圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面通過(guò)中心的軸轉(zhuǎn)動(dòng).開(kāi)始時(shí)它的角速度?0=0,經(jīng)過(guò)300秒后,角速度?=18000轉(zhuǎn)/分.已知其角加速度?與時(shí)間成正比.問(wèn)在這段時(shí)間內(nèi),轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過(guò)多少轉(zhuǎn)?,解: 已知

3、 ? = Ct,即:,或 d? = Ctdt,積分:,得:,由條件 t=300s 時(shí),角速度為,再由:,積分,在0~300s內(nèi),轉(zhuǎn)過(guò)的轉(zhuǎn)數(shù),= 3?104 轉(zhuǎn),得,例3.1,7,力矩,設(shè)力 f 的作用線位于轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，其與轉(zhuǎn)軸的距離 d 即為力 f 對(duì)該轉(zhuǎn)軸的力臂,力的大小與力臂的乘積，叫做力 f 對(duì)該轉(zhuǎn)軸的力矩M,矢量表示,,,,O,P,f,,?,r,d,8,對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 𝑴=𝑴𝟏

4、;+𝑴𝟐+…+𝑴𝒏,一對(duì)內(nèi)力對(duì)任意轉(zhuǎn)軸的力矩,成對(duì)內(nèi)力大小相等，方向相反,其力臂必相同，故力矩大小相等,一對(duì)內(nèi)力對(duì)任意轉(zhuǎn)軸的合力矩為零,多個(gè)外力作用于質(zhì)點(diǎn)系上時(shí),合力矩 𝑴 = 𝑴𝟏 + 𝑴𝟐 +?+ 𝑴𝒏,9,,,,O,P,Fi,fi,,,?i,?i,轉(zhuǎn)動(dòng)定

5、律,剛體轉(zhuǎn)軸為 O,對(duì)任意質(zhì)點(diǎn) P，受外力 Fi 和內(nèi)力 fi,在切向方向，有：,同乘 ri,,,,外力力矩,內(nèi)力力矩,對(duì)所有質(zhì)點(diǎn)求和,（內(nèi)力合力矩為0）,10,剛體在外力矩作用下，獲得的角加速度的大小與合外力矩的大小呈正比，和剛體對(duì)給定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量呈反比，角加速度的方向和合外力矩的方向相同。,,剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,定義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的量度,對(duì)分立質(zhì)量系統(tǒng)（質(zhì)點(diǎn)系）,11,對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體,質(zhì)量為線

6、分布,質(zhì)量為面分布,質(zhì)量為體分布,其中 ?、?、? 分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度,,,,,,12,,,一質(zhì)量為m, 長(zhǎng)為l 的均勻長(zhǎng)棒. 求通過(guò)棒中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.,解:建立如圖坐標(biāo)系,在x處取長(zhǎng)為dx的質(zhì)元,如果轉(zhuǎn)軸在棒的一端呢?,例3.2,13,求質(zhì)量為m,半徑為R的細(xì)圓環(huán)或勻質(zhì)圓盤繞通過(guò)中心并與圓面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,解:細(xì)圓環(huán)的質(zhì)量可認(rèn)為全部集中在半徑為R的圓周上,故,或,對(duì)勻質(zhì)圓盤:,在r處取寬為dr的細(xì)圓

7、環(huán),設(shè)質(zhì)量面密度為,細(xì)圓的面積為: dS=2?rdr,則 dm = ?dS = 2?r?dr,與質(zhì)量分布有關(guān).,例3.3,14,,,,,,,l,l,R,R,R,R1,R2,15,與剛體質(zhì)量分布有關(guān)與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān),JC 是剛體通過(guò)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,d 是質(zhì)心轉(zhuǎn)軸到另一平行軸的距離,如長(zhǎng)為l 的直棒通過(guò)質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,則通過(guò)一端轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,平行軸定理,,16,如圖所示，質(zhì)量為m的滑塊A放在光滑斜面上，通過(guò)定滑

8、輪C由不可伸長(zhǎng)的輕繩與質(zhì)量同為m的物體B相連。定滑輪C是一質(zhì)量為m、半徑為R的圓盤。物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，繩與輪之間沒(méi)有相對(duì)滑動(dòng)。求繩中的張力T1、T2及物體的加速度a。（滑輪轉(zhuǎn)軸光滑）,例3.2,17,解:物體受力分析如下:,不計(jì)繩的質(zhì)量, T1=T´1 ,T2=T´2,對(duì)A: T'1－mg sin? = ma A (1),對(duì)B: mg -T'2 = m aB (2),由

9、轉(zhuǎn)動(dòng)定律,對(duì)C: RT2 – RT1 = J? (3),又　　aA = aB = R? (4),且,聯(lián)立求解得,18,飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，t = 0時(shí)角速度為?0.此后飛輪經(jīng)歷制動(dòng)過(guò)程，阻力矩 M = ?K?2 (k為常量）,當(dāng)?=?0/3時(shí)，飛輪的角加速度為多少，從開(kāi)始制動(dòng)到現(xiàn)在經(jīng)歷的時(shí)間為多少？,解 (1)由轉(zhuǎn)動(dòng)定律,即,把?=?0/3代入上式，有,(2) 由轉(zhuǎn)動(dòng)定律的微分形式,分離變量并積分,解

10、得:,例3.3,19,,細(xì)桿長(zhǎng)為l, 質(zhì)量為m ,求轉(zhuǎn)到? 角時(shí)的角加速度和角速度.,解:,𝑵 對(duì)軸O的力矩為零,重力 𝑮 對(duì)O的力矩為,由轉(zhuǎn)動(dòng)定律,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,利用,有,積分:,例3.4,19,,20,力矩的功和功率,,,,O,P,F,,?,,ds,,d?,元功,r,總功,功率,當(dāng)力矩與角速度同方向時(shí)，功和功率為正值，此力矩為動(dòng)力矩,當(dāng)力矩與角速度反方向時(shí)，功和功率為負(fù)值，此力矩為阻力矩,21,轉(zhuǎn)動(dòng)

11、動(dòng)能,剛體上任一質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能,各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能總和即為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能,對(duì)作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體,合外力矩的功,,22,合外力矩對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所做的功，等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量,剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能定理,剛體的合內(nèi)力矩為0，其功也為0對(duì)非剛體來(lái)說(shuō)，轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量會(huì)有變化，內(nèi)力或內(nèi)力矩的功可能不為0，此時(shí)需用系統(tǒng)的動(dòng)能定理進(jìn)行具體的分析。,系統(tǒng)的機(jī)械能包括系統(tǒng)勢(shì)能，系統(tǒng)內(nèi)各物體的平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。機(jī)械能守恒定律仍適用。,23,如圖,一根質(zhì)量為m,

12、長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒OA，可繞固定點(diǎn)O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，今使棒從水平位置開(kāi)始自由下擺，求擺到與水平成30?角時(shí)，求中心點(diǎn)C和端點(diǎn)A的速度,解：,重力矩為,由轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理,重力矩的功為,而轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J為,解得,則,例3.5,24,質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量,? m,定義質(zhì)點(diǎn) m 對(duì)點(diǎn) O 的角動(dòng)量,大小 L = mvr sin?,方向?yàn)橛沂株P(guān)系,角動(dòng)量 𝑳 是矢量,質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量是對(duì)參考點(diǎn) O 而言的,角動(dòng)量大小可以表達(dá)為 mvd,對(duì)于做

13、圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，其對(duì)圓心 O 的角動(dòng)量大小為,L = rmv = m r2?,,,25,質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理,牛頓第二定律 𝑭 = 𝒅 𝒑 𝒅𝒕 = 𝒅 𝒎 𝒗 𝒅𝒕,𝒓 × 𝑭 = 𝒓 × 𝒅

14、; 𝒎 𝒗 𝒅𝒕,,,定義 𝑴 𝒅𝒕 為沖量矩,質(zhì)點(diǎn)所受的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量,質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理,𝒓 ×,26,質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒,若 𝑴 =𝟎 ，則 𝑳 為恒矢量,當(dāng)質(zhì)點(diǎn)所受對(duì)參考點(diǎn)O的合力矩為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)該參考點(diǎn)O的角動(dòng)量為恒矢量。,

15、當(dāng)質(zhì)點(diǎn)只受有心力作用時(shí)，其角動(dòng)量不隨時(shí)間變化，即角動(dòng)量守恒。,當(dāng) 𝑭 ∥ 𝒓 時(shí)，力矩 𝑴 = 𝒓 × 𝑭 =𝟎，角動(dòng)量守恒,27,如圖,子彈擊中木塊并嵌在木塊內(nèi)運(yùn)動(dòng)。,解: 擊中瞬間,v0方向動(dòng)量守恒,A?B過(guò)程，子彈、木塊系統(tǒng)機(jī)械能守恒,A?B過(guò)程，水平面內(nèi)角動(dòng)量守恒,聯(lián)立求解:,例3.6,28,討論圓錐擺的角動(dòng)量守恒問(wèn)題

16、,(1)質(zhì)點(diǎn)m對(duì)圓心O和懸點(diǎn)B的角動(dòng)量,,(2)重力和張力對(duì)O和B的力矩,,(3)角動(dòng)量是否守恒？,解: (1) 對(duì)O點(diǎn),大小 L0=r0mvsin90?=r0mv=mr2?,對(duì)B,LB= l·mvsin90?= mlr?,(2) 力矩,重力矩大小:Mg=r0mg,拉力矩 MT = r0Tcos? = r0mg,對(duì)O點(diǎn),對(duì)B點(diǎn),MT = 0, Mg=r0mg,(3)對(duì)O點(diǎn)角動(dòng)量守恒，對(duì)B點(diǎn)不守恒,?,例3.7,29,剛體定軸

17、轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理,剛體上任一質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量,剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩,質(zhì)點(diǎn)所受力矩,剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量,考慮到剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)內(nèi)力合力矩為0，則作用于剛體的合外力矩等于剛體繞此定軸的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率。,當(dāng) J 為恒量時(shí),,30,定義 𝑴 𝒅𝒕 為沖量矩,作用在物體上的沖量矩等于物體角動(dòng)量的增量,角動(dòng)量定理,,剛體的角動(dòng)量守恒定律,若 𝑴 =𝟎 ，則 &#

18、119923; =𝑱𝝎 為恒矢量,若物體所受外力合力矩為零，或者不受外力矩作用,物體的角動(dòng)量保持不變——角動(dòng)量守恒定律。,當(dāng)J不變時(shí)（剛體），𝑱𝝎=𝑱𝝎𝟎→𝝎=𝝎𝟎,當(dāng)J可變時(shí) 𝑱𝝎=𝑱𝟎𝝎x

19、782;→𝝎= 𝑱𝟎 𝑱 𝝎𝟎,31,一長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m? 的桿可繞支點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng).一質(zhì)量為m、速率為v的子彈射入桿內(nèi)距支點(diǎn)為a 處, 使桿的偏轉(zhuǎn)角為30º. 問(wèn)子彈的初速率為多少?,解：把子彈和桿作為一個(gè)系統(tǒng), 碰撞過(guò)程中,系統(tǒng)所受外力矩為零, 角動(dòng)量守恒,碰后子彈、桿和地系統(tǒng)，機(jī)械能守恒,聯(lián)立兩式得,m,例3.8,32,質(zhì)量 m