3剛體力學(xué)基礎(chǔ)_第1頁
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文檔簡介

1、第三章 剛體力學(xué)基礎(chǔ),,,2,剛體的轉(zhuǎn)動,在外力作用下形狀和大小不發(fā)生變化的物體,剛體內(nèi)任意一條直線總是平行運動,剛體,剛體的平動,剛體中所有點的運動軌跡完全相同,,,,,,,3,剛體中所有的點都繞同一直線作圓周運動,剛體的轉(zhuǎn)動,,,,,,,,剛體的定軸轉(zhuǎn)動:剛體繞固定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動,即轉(zhuǎn)軸固定不動,4,描述剛體轉(zhuǎn)動的物理量,對定軸轉(zhuǎn)動的剛體可選取垂直于轉(zhuǎn)軸的一個平面進行研究,? P,點P的轉(zhuǎn)動可代表整個剛體,描述點P轉(zhuǎn)動:,角坐標(biāo) ?

2、(t),角速度,一般規(guī)定逆時針轉(zhuǎn)動為正,?>0,角速度矢量 𝝎,方向用右手法則確定,5,角加速度,角加速度矢量 𝜷,角量與線量的關(guān)系,瞬時速率,切向加速度,法向加速度,,考慮方向關(guān)系后:,瞬時速度,6,一圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面通過中心的軸轉(zhuǎn)動.開始時它的角速度?0=0,經(jīng)過300秒后,角速度?=18000轉(zhuǎn)/分.已知其角加速度?與時間成正比.問在這段時間內(nèi),轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過多少轉(zhuǎn)?,解: 已知

3、 ? = Ct,即:,或 d? = Ctdt,積分:,得:,由條件 t=300s 時,角速度為,再由:,積分,在0~300s內(nèi),轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù),= 3?104 轉(zhuǎn),得,例3.1,7,力矩,設(shè)力 f 的作用線位于轉(zhuǎn)動平面內(nèi),其與轉(zhuǎn)軸的距離 d 即為力 f 對該轉(zhuǎn)軸的力臂,力的大小與力臂的乘積,叫做力 f 對該轉(zhuǎn)軸的力矩M,矢量表示,,,,O,P,f,,?,r,d,8,對定軸轉(zhuǎn)動 𝑴=𝑴𝟏

4、;+𝑴𝟐+…+𝑴𝒏,一對內(nèi)力對任意轉(zhuǎn)軸的力矩,成對內(nèi)力大小相等,方向相反,其力臂必相同,故力矩大小相等,一對內(nèi)力對任意轉(zhuǎn)軸的合力矩為零,多個外力作用于質(zhì)點系上時,合力矩 𝑴 = 𝑴𝟏 + 𝑴𝟐 +?+ 𝑴𝒏,9,,,,O,P,Fi,fi,,,?i,?i,轉(zhuǎn)動定

5、律,剛體轉(zhuǎn)軸為 O,對任意質(zhì)點 P,受外力 Fi 和內(nèi)力 fi,在切向方向,有:,同乘 ri,,,,外力力矩,內(nèi)力力矩,對所有質(zhì)點求和,(內(nèi)力合力矩為0),10,剛體在外力矩作用下,獲得的角加速度的大小與合外力矩的大小呈正比,和剛體對給定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量呈反比,角加速度的方向和合外力矩的方向相同。,,剛體的轉(zhuǎn)動定律,轉(zhuǎn)動慣量,定義轉(zhuǎn)動慣量,剛體的轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動時慣性的量度,對分立質(zhì)量系統(tǒng)(質(zhì)點系),11,對質(zhì)量連續(xù)分布的剛體,質(zhì)量為線

6、分布,質(zhì)量為面分布,質(zhì)量為體分布,其中 ?、?、? 分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度,,,,,,12,,,一質(zhì)量為m, 長為l 的均勻長棒. 求通過棒中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量.,解:建立如圖坐標(biāo)系,在x處取長為dx的質(zhì)元,如果轉(zhuǎn)軸在棒的一端呢?,例3.2,13,求質(zhì)量為m,半徑為R的細圓環(huán)或勻質(zhì)圓盤繞通過中心并與圓面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量,解:細圓環(huán)的質(zhì)量可認為全部集中在半徑為R的圓周上,故,或,對勻質(zhì)圓盤:,在r處取寬為dr的細圓

7、環(huán),設(shè)質(zhì)量面密度為,細圓的面積為: dS=2?rdr,則 dm = ?dS = 2?r?dr,與質(zhì)量分布有關(guān).,例3.3,14,,,,,,,l,l,R,R,R,R1,R2,15,與剛體質(zhì)量分布有關(guān)與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān),JC 是剛體通過質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量,d 是質(zhì)心轉(zhuǎn)軸到另一平行軸的距離,如長為l 的直棒通過質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動慣量為,則通過一端轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為,剛體的轉(zhuǎn)動慣量,平行軸定理,,16,如圖所示,質(zhì)量為m的滑塊A放在光滑斜面上,通過定滑

8、輪C由不可伸長的輕繩與質(zhì)量同為m的物體B相連。定滑輪C是一質(zhì)量為m、半徑為R的圓盤。物體運動過程中,繩與輪之間沒有相對滑動。求繩中的張力T1、T2及物體的加速度a。(滑輪轉(zhuǎn)軸光滑),例3.2,17,解:物體受力分析如下:,不計繩的質(zhì)量, T1=T´1 ,T2=T´2,對A: T'1-mg sin? = ma A (1),對B: mg -T'2 = m aB (2),由

9、轉(zhuǎn)動定律,對C: RT2 – RT1 = J? (3),又  aA = aB = R? (4),且,聯(lián)立求解得,18,飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為J,t = 0時角速度為?0.此后飛輪經(jīng)歷制動過程,阻力矩 M = ?K?2 (k為常量),當(dāng)?=?0/3時,飛輪的角加速度為多少,從開始制動到現(xiàn)在經(jīng)歷的時間為多少?,解 (1)由轉(zhuǎn)動定律,即,把?=?0/3代入上式,有,(2) 由轉(zhuǎn)動定律的微分形式,分離變量并積分,解

10、得:,例3.3,19,,細桿長為l, 質(zhì)量為m ,求轉(zhuǎn)到? 角時的角加速度和角速度.,解:,𝑵 對軸O的力矩為零,重力 𝑮 對O的力矩為,由轉(zhuǎn)動定律,轉(zhuǎn)動慣量,利用,有,積分:,例3.4,19,,20,力矩的功和功率,,,,O,P,F,,?,,ds,,d?,元功,r,總功,功率,當(dāng)力矩與角速度同方向時,功和功率為正值,此力矩為動力矩,當(dāng)力矩與角速度反方向時,功和功率為負值,此力矩為阻力矩,21,轉(zhuǎn)動

11、動能,剛體上任一質(zhì)點的動能,各質(zhì)點動能總和即為剛體的轉(zhuǎn)動動能,對作定軸轉(zhuǎn)動的剛體,合外力矩的功,,22,合外力矩對定軸轉(zhuǎn)動的剛體所做的功,等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量,剛體定軸轉(zhuǎn)動時的動能定理,剛體的合內(nèi)力矩為0,其功也為0對非剛體來說,轉(zhuǎn)動過程中轉(zhuǎn)動慣量會有變化,內(nèi)力或內(nèi)力矩的功可能不為0,此時需用系統(tǒng)的動能定理進行具體的分析。,系統(tǒng)的機械能包括系統(tǒng)勢能,系統(tǒng)內(nèi)各物體的平動動能和轉(zhuǎn)動動能。機械能守恒定律仍適用。,23,如圖,一根質(zhì)量為m,

12、長為l的均勻細棒OA,可繞固定點O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動,今使棒從水平位置開始自由下擺,求擺到與水平成30?角時,求中心點C和端點A的速度,解:,重力矩為,由轉(zhuǎn)動的動能定理,重力矩的功為,而轉(zhuǎn)動慣量J為,解得,則,例3.5,24,質(zhì)點的角動量,? m,定義質(zhì)點 m 對點 O 的角動量,大小 L = mvr sin?,方向為右手關(guān)系,角動量 𝑳 是矢量,質(zhì)點的角動量是對參考點 O 而言的,角動量大小可以表達為 mvd,對于做

13、圓周運動的質(zhì)點,其對圓心 O 的角動量大小為,L = rmv = m r2?,,,25,質(zhì)點的角動量定理,牛頓第二定律 𝑭 = 𝒅 𝒑 𝒅𝒕 = 𝒅 𝒎 𝒗 𝒅𝒕,𝒓 × 𝑭 = 𝒓 × 𝒅

14、; 𝒎 𝒗 𝒅𝒕,,,定義 𝑴 𝒅𝒕 為沖量矩,質(zhì)點所受的沖量矩等于質(zhì)點角動量的增量,質(zhì)點的角動量定理,𝒓 ×,26,質(zhì)點的角動量守恒,若 𝑴 =𝟎 ,則 𝑳 為恒矢量,當(dāng)質(zhì)點所受對參考點O的合力矩為零時,質(zhì)點對該參考點O的角動量為恒矢量。,

15、當(dāng)質(zhì)點只受有心力作用時,其角動量不隨時間變化,即角動量守恒。,當(dāng) 𝑭 ∥ 𝒓 時,力矩 𝑴 = 𝒓 × 𝑭 =𝟎,角動量守恒,27,如圖,子彈擊中木塊并嵌在木塊內(nèi)運動。,解: 擊中瞬間,v0方向動量守恒,A?B過程,子彈、木塊系統(tǒng)機械能守恒,A?B過程,水平面內(nèi)角動量守恒,聯(lián)立求解:,例3.6,28,討論圓錐擺的角動量守恒問題

16、,(1)質(zhì)點m對圓心O和懸點B的角動量,,(2)重力和張力對O和B的力矩,,(3)角動量是否守恒?,解: (1) 對O點,大小 L0=r0mvsin90?=r0mv=mr2?,對B,LB= l·mvsin90?= mlr?,(2) 力矩,重力矩大小:Mg=r0mg,拉力矩 MT = r0Tcos? = r0mg,對O點,對B點,MT = 0, Mg=r0mg,(3)對O點角動量守恒,對B點不守恒,?,例3.7,29,剛體定軸

17、轉(zhuǎn)動的角動量定理,剛體上任一質(zhì)點對轉(zhuǎn)軸的角動量,剛體對轉(zhuǎn)軸的力矩,質(zhì)點所受力矩,剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量,考慮到剛體定軸轉(zhuǎn)動時內(nèi)力合力矩為0,則作用于剛體的合外力矩等于剛體繞此定軸的角動量隨時間的變化率。,當(dāng) J 為恒量時,,30,定義 𝑴 𝒅𝒕 為沖量矩,作用在物體上的沖量矩等于物體角動量的增量,角動量定理,,剛體的角動量守恒定律,若 𝑴 =𝟎 ,則 &#

18、119923; =𝑱𝝎 為恒矢量,若物體所受外力合力矩為零,或者不受外力矩作用,物體的角動量保持不變——角動量守恒定律。,當(dāng)J不變時(剛體),𝑱𝝎=𝑱𝝎𝟎→𝝎=𝝎𝟎,當(dāng)J可變時 𝑱𝝎=𝑱𝟎𝝎x

19、782;→𝝎= 𝑱𝟎 𝑱 𝝎𝟎,31,一長為l、質(zhì)量為m? 的桿可繞支點O自由轉(zhuǎn)動.一質(zhì)量為m、速率為v的子彈射入桿內(nèi)距支點為a 處, 使桿的偏轉(zhuǎn)角為30º. 問子彈的初速率為多少?,解:把子彈和桿作為一個系統(tǒng), 碰撞過程中,系統(tǒng)所受外力矩為零, 角動量守恒,碰后子彈、桿和地系統(tǒng),機械能守恒,聯(lián)立兩式得,m,例3.8,32,質(zhì)量 m

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