工程力學(xué)位移分析與剛度設(shè)計(jì)

1、1,,,第九章 位移分析與剛度設(shè)計(jì),工程力學(xué),2,§9–1 桿件的拉壓變形,第九章 位移分析與剛度設(shè)計(jì),,,§9-4 簡單超靜定問題,§9–2 圓軸的扭轉(zhuǎn)變形,§9–3 梁的彎曲變形,3,,,,一、變形特點(diǎn),§9–1 桿件的拉壓變形,位移分析與剛度設(shè)計(jì),桿件在軸向拉壓時(shí)： 沿軸線方向產(chǎn)生伸長或縮短——縱向變形 橫向尺寸也相應(yīng)地縮小或增大——橫向變

2、形,4,,,,§9–1 桿件的拉壓變形,位移分析與剛度設(shè)計(jì),縱向變形 Δl=l1- l ，拉伸時(shí)>0，壓縮時(shí)0。,縱向線應(yīng)變 e = Dl / l ，橫向線應(yīng)變 e? = Db / b,二、線應(yīng)變,5,,,,三、泊松比,在比例極限內(nèi) | e? / e | = m ，或 e? = - m e ；m 是隨材料而定的彈性常數(shù)，無量綱，一般 0 < m< 0.5 。,四、拉壓桿的變形計(jì)算,1、簡單

3、載荷,2、復(fù)雜載荷,☆當(dāng)拉（壓）桿有兩個(gè)以上的外力作用時(shí)，需要先畫出軸力圖，然后分段計(jì)算各段的變形，各段變形的代數(shù)和即為桿的總變形量。,位移分析與剛度設(shè)計(jì),在計(jì)算ΔL的L長度內(nèi)，N,E,A均為常數(shù)。,6,,,,位移分析與剛度設(shè)計(jì),☆當(dāng)軸力或桿的橫截面積沿軸線方向連續(xù)變化時(shí)， 應(yīng)按照積分計(jì)算,7,圖示為一端固定的橡膠板條，若在加力前在板表面劃條斜直線AB，那么加軸向拉力后AB線所在位置是?（其中ab∥AB∥ce）,ae. 因各條縱

4、向纖維的應(yīng)變相等，所以上邊纖維長，伸長量也大。,位移分析與剛度設(shè)計(jì),,,,例題9－1,8,,,,位移分析與剛度設(shè)計(jì),五、桿件節(jié)點(diǎn)位移的簡化計(jì)算,1.一般方法：作圓弧交點(diǎn)；2.簡化方法：“切線代弧” —— 小變形時(shí)，作垂線的交點(diǎn),9,,,,例題9－2,AB長2m, 橫截面面積為200mm2。AC橫截面面積為250mm2。E=200GPa。F=10kN。試求節(jié)點(diǎn)A的位移。,解：1、計(jì)算軸力。（設(shè)斜桿為1桿，水平桿為2桿）取節(jié)點(diǎn)A為研究對象

5、,2、計(jì)算桿的變形。,斜桿伸長,水平桿縮短,位移分析與剛度設(shè)計(jì),,,,10,,,,3、節(jié)點(diǎn)A的位移（以切代?。?,,,,,,,,位移分析與剛度設(shè)計(jì),,,,11,,,,一、圓軸扭轉(zhuǎn)變形,§9–2 圓軸的扭轉(zhuǎn)變形,位移分析與剛度設(shè)計(jì),1、單位長度扭轉(zhuǎn)角,GIP稱為反映了截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為截面的抗扭剛度,2.軸段兩端截面的相對扭轉(zhuǎn)角,當(dāng)諸被積分變量皆為常數(shù)時(shí)，有：,f的單位是弧度,12,,,,位移分析與剛度設(shè)計(jì),3、

6、復(fù)雜載荷時(shí)軸的扭轉(zhuǎn)角,用求和或積分方法計(jì)算，注意各個(gè) T 的正負(fù)號。,二、圓軸扭轉(zhuǎn)的剛度條件,13,,,,剛度計(jì)算的三方面：,校核剛度,設(shè)計(jì)截面尺寸,計(jì)算許可載荷,位移分析與剛度設(shè)計(jì),14,,,,位移分析與剛度設(shè)計(jì),，,例題9－3,15,,位移分析與剛度設(shè)計(jì),,,,例題9－4,16,,,2.扭矩圖,按剛度條件,3.直徑d1的選取,按強(qiáng)度條件,位移分析與剛度設(shè)計(jì),,,,17,,,按剛度條件,4.直徑d2的選取,按強(qiáng)度條件,5.選同一直徑時(shí)

7、,,,位移分析與剛度設(shè)計(jì),,18,,,6.將主動輪按裝在兩從動輪之間,受力合理,,,位移分析與剛度設(shè)計(jì),,19,,,,§9–3 梁的彎曲變形,位移分析與剛度設(shè)計(jì),一、工程實(shí)踐中的彎曲變形問題,在工程實(shí)踐中，對某些受彎構(gòu)件，除要求具有足夠的強(qiáng)度外，還要求變形不能過大，即要求構(gòu)件有足夠的剛度，以保證結(jié)構(gòu)或機(jī)器正常工作。,20,搖臂鉆床的搖臂或車床的主軸變形過大，就會影響零件的加工精度，甚至?xí)霈F(xiàn)廢品。,位移分析與剛度設(shè)計(jì),,,

8、,21,7-1,位移分析與剛度設(shè)計(jì),,,,22,橋式起重機(jī)的橫梁變形過大,則會使小車行走困難，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象。,位移分析與剛度設(shè)計(jì),,,,23,但在另外一些情況下，有時(shí)卻要求構(gòu)件具有較大的彈性變形，以滿足特定的工作需要。,例如，車輛上的板彈簧，要求有足夠大的變形，以緩解車輛受到的沖擊和振動作用。,位移分析與剛度設(shè)計(jì),,,,24,,,,一、基本概念,位移分析與剛度設(shè)計(jì),1.撓曲線,直梁彎曲后軸線變?yōu)榍€，此即撓曲線；它是一條在彎曲平面內(nèi)的連

9、續(xù)光滑的曲線。,撓曲線用撓曲線方程 表示。,25,2、撓度和轉(zhuǎn)角,由于小變形，截面形心在x方向的位移忽略不計(jì),撓度轉(zhuǎn)角關(guān)系為：,撓度 y：截面形心在y方向的線位移,撓度為代數(shù)值，向上為正，向下為負(fù),轉(zhuǎn)角θ：橫截面相對原來位置的角位移，即橫截面相對變形前的位置轉(zhuǎn)動的角度。,逆時(shí)針方向?yàn)檎?6-2,位移分析與剛度設(shè)計(jì),,,,26,二、撓曲線的近似微分方程,推導(dǎo)彎曲正應(yīng)力時(shí)，得到：彎曲變形的基本方程,位移分析與剛度設(shè)計(jì),,,

10、,27,由數(shù)學(xué)知識可知：,略去高階小量，得,所以,位移分析與剛度設(shè)計(jì),,,,28,由彎矩的正負(fù)號規(guī)定可得，彎矩的符號與撓曲線的二階導(dǎo)數(shù)符號一致，所以撓曲線的近似微分方程為：,由上式進(jìn)行積分，就可以求出梁橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度。,位移分析與剛度設(shè)計(jì),,,,對于等截面直梁，可寫成如下形式：,29,1、計(jì)算方法 (設(shè) EI 為常數(shù)),C、D是由梁的邊界條件、光滑連續(xù)性條件決定的積分常數(shù),位移分析與剛度設(shè)計(jì),,,,三、積分法求彎曲變形,2、梁的邊

11、界條件,梁的某些截面的撓度或轉(zhuǎn)角有時(shí)是已知的。,30,邊界條件,－彈簧變形,位移分析與剛度設(shè)計(jì),,,,31,位移分析與剛度設(shè)計(jì),,,,3、梁的變形連續(xù)性條件,撓曲線是連續(xù)光滑的曲線即：在撓曲線的任一點(diǎn)撓度 v 有唯一確定的值(連續(xù)) 轉(zhuǎn)角v’(q ) 亦有唯一確定的值(光滑)。,32,光滑連續(xù)條件：,,P,C,,,,,,,,,,,位移分析與剛度設(shè)計(jì),,,,33,位移分析與剛度設(shè)計(jì),,,,34,,,,位移分析與剛度設(shè)計(jì),在中間鉸處，撓

12、曲線是連續(xù)而不光滑的,35,,,,位移分析與剛度設(shè)計(jì),積分法求梁變形 ①適用于小變形、線彈性材料、細(xì)長構(gòu)件的平面彎曲 ②可應(yīng)用于各種載荷的等截面或變截面梁的位移 ③積分常數(shù)由撓曲線變形的幾何相容條件（邊界條件、 連續(xù)條件）確定 ④優(yōu)點(diǎn)——使用范圍廣，精確； 缺點(diǎn)——計(jì)算較繁,36,,,,位移分析與剛度設(shè)計(jì),積分法求梁變形的基本步驟： ①寫出彎矩方程；若彎矩不能用一個(gè)函數(shù)給出

13、要分 段寫出 ②由撓曲線近似微分方程，積分出轉(zhuǎn)角、撓度函數(shù) ③利用邊界條件、連續(xù)條件確定積分常數(shù) 如果分 n 段寫出彎矩方程，則有 2 n 個(gè)積分常數(shù),37,求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，梁的EI已知，l=a+b。,解,1）由梁整體平衡分析得：,2）彎矩方程,AC 段：,CB 段：,位移分析與剛度設(shè)計(jì),,,,例題9－6,38,3）列撓曲線近似微分方程并積分,AC 段：,CB 段：,位移分析與剛度設(shè)計(jì),,,,

14、39,4）由邊界條件確定積分常數(shù),,代入求解，得,位移邊界條件,光滑連續(xù)條件,,,位移分析與剛度設(shè)計(jì),,,,40,5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程,AC 段：,CB 段：,位移分析與剛度設(shè)計(jì),,,,41,,,,位移分析與剛度設(shè)計(jì),在簡支梁中, 不論它受什么荷載作用, 只要撓曲線上無 拐點(diǎn), 其最大撓度值都可用梁跨中點(diǎn)處的撓度值來代替, 其精確度是能滿足工程要求的.,對各段梁，如果是由坐標(biāo)原點(diǎn)到所研究截面之間的梁段上的外力來寫彎矩方程的。所以后

15、一段梁的彎矩方程包含前一段梁的彎矩方程。只增加了（x-a）的項(xiàng)。,對（x-a）的項(xiàng)作積分時(shí)，應(yīng)該將（x-a）項(xiàng)作為積分變量。從而簡化了確定積分常數(shù)的工作。,簡化計(jì)算小技巧,42,,,,位移分析與剛度設(shè)計(jì),三、疊加法求彎曲變形,梁在若干個(gè)載荷共同作用時(shí)的撓度或轉(zhuǎn)角，等于在各個(gè)載荷單獨(dú)作用時(shí)的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是計(jì)算彎曲變形的疊加原理。,疊加原理是線性原理，在材料力學(xué)中應(yīng)用的條件是(1)小變形，(2)線彈性,1、載荷疊加,常見簡單

16、梁的變形已計(jì)算列表，這是載荷疊加法的基礎(chǔ)。 ( 見 P123 表 9－2 梁在簡單載荷作用下的變形 ),43,,,,位移分析與剛度設(shè)計(jì),44,,,,位移分析與剛度設(shè)計(jì),45,,,,位移分析與剛度設(shè)計(jì),46,,,,位移分析與剛度設(shè)計(jì),已知簡支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C 截面的撓度yC ；B截面的轉(zhuǎn)角?B,例題9－7,47,,,,位移分析與剛度設(shè)計(jì),1）將梁上的載荷分解,48,,,,位移分析與剛度設(shè)計(jì),2）查表得

17、3種情形下C截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角。,49,3） 應(yīng)用疊加法，將簡單載荷作用時(shí)的結(jié)果求和,,,,,,位移分析與剛度設(shè)計(jì),50,已知：懸臂梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截面的撓度yC和轉(zhuǎn)角?C,1）首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形,為了利用梁全長承受均布載荷的已知結(jié)果，先將均布載荷延長至梁的全長，為了不改變原來載荷作用的效果，在AB 段還需再加上集度相同、方向相反的均布載荷。,解,,例題9－8,位移分析與剛度設(shè)計(jì),,,,5

18、1,,3）將結(jié)果疊加,2）再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計(jì)算各自C截面的撓度和轉(zhuǎn)角。,,,,位移分析與剛度設(shè)計(jì),52,,,,位移分析與剛度設(shè)計(jì),2、結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）：,此法適用于非基本結(jié)構(gòu)的梁,53,結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法) 原理說明。,=,+,彎曲變形,,,,54,,,,位移分析與剛度設(shè)計(jì),例題9－9,練習(xí)冊 9-12 求圖示變截面梁自由端的撓度和轉(zhuǎn)角。,55,,,,位移分析與剛度設(shè)計(jì),四、梁的剛度條件：,[y]

19、、[θ]是構(gòu)件的許可撓度和轉(zhuǎn)角，它們決定于構(gòu)件正常工作時(shí)的要求。,56,§9－4 簡單的超靜定問題,一、超靜定（靜不定）問題概述,,,,位移分析與剛度設(shè)計(jì),1、超靜定問題：單憑靜平衡方程不能確定出全部未知力 的問題。,57,兩桿桁架變成三桿桁架，3個(gè)未知力2個(gè)獨(dú)立的平衡方程，僅靠靜力學(xué)知識無法求解,位移分析與剛度設(shè)計(jì),,,,58,,,,位移分析與剛度設(shè)計(jì),2.超靜定次數(shù)　未知力總數(shù)－獨(dú)立平衡方程數(shù)

20、,獨(dú)立平衡方程數(shù)：,平面任意力系：3個(gè)獨(dú)立的平衡方程,平面匯交力系：2個(gè)獨(dú)立的平衡方程,平面平行力系：2個(gè)獨(dú)立平衡方程,共線力系：1個(gè)獨(dú)立平衡方程,3.為什么要用超靜定結(jié)構(gòu)　　抗失效能力強(qiáng)，提高安全工作性能,59,,,,位移分析與剛度設(shè)計(jì),4、超靜定問題的解決方法：,補(bǔ)充變形協(xié)調(diào)（幾何）方程,建立本構(gòu)（或物理）方程予以溝通,結(jié)合平衡方程聯(lián)立求解,二、拉壓超靜定,60,,,,位移分析與剛度設(shè)計(jì),例題9－10,兩端固定的等直桿AB,橫截面

21、面積為A，彈性模量為E,在C點(diǎn)處承受軸向力P的作用，如圖所示，求兩端的約束力,61,,,,位移分析與剛度設(shè)計(jì),例題9－10,兩端固定的等直桿AB,橫截面面積為A，彈性模量為E,在C點(diǎn)處承受軸向力P的作用，如圖所示，求兩端的約束力,解,1、列平衡方程,2、變形幾何關(guān)系,3、物理關(guān)系,4、補(bǔ)充方程,5、方程(1)(4)聯(lián)立得,62,,,,位移分析與剛度設(shè)計(jì),例題9－11,1、列獨(dú)立的平衡方程,2、變形幾何關(guān)系,3、物理關(guān)系,4、補(bǔ)充方程,5

22、、求解方程組得,解,63,1.基本概念：,超靜定梁：未知力數(shù)目大于獨(dú)立平衡方程數(shù)目的梁 兩者數(shù)目的差稱為超靜定次數(shù)。,多余約束：從維持平衡角度而言,多余的約束。,相當(dāng)系統(tǒng)：在靜定基上加上外載荷以及多余約束力，便得到 受力和變形與靜不定梁完全相同的相當(dāng)系統(tǒng)。,6-5,位移分析與剛度設(shè)計(jì),,,,三、彎曲超靜定,靜定基：指將靜不定梁上的多余約束除去后所得到的 “靜定基本系

23、統(tǒng)”。,64,6-5,位移分析與剛度設(shè)計(jì),,,,2.求解方法（變形比較法）,解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)比較變形，列變形協(xié)調(diào)條件。 由物理關(guān)系建立補(bǔ)充方程求解多余約束力。利用靜力平衡條件求其他約束力,解題方法關(guān)鍵是比較相當(dāng)系統(tǒng)與原超靜定系統(tǒng)在多余約束處的變形，由此寫出變形協(xié)調(diào)條件，進(jìn)而得到求解靜不定問題所需的補(bǔ)充方程。因此，稱為變形比較法,65,,,,位移分析與剛度設(shè)計(jì),例題9－11,,已知圖中所示梁的抗彎剛度為 EI ，求約束力,

24、66,解：將支座B看成多余約束，變形協(xié)調(diào)條件為：,,,,位移分析與剛度設(shè)計(jì),67,,,,,,按懸臂梁的靜力平衡方程求出該梁固定端的兩個(gè)約束力為,,,,,,68,變形協(xié)調(diào)條件為：,,,,69,?幾何方程 ——變形協(xié)調(diào)方程：,解：?建立相當(dāng)系統(tǒng),=,,,,,,結(jié)構(gòu)如圖，求B點(diǎn)約束力。,LBC,彎曲變形,,,,C,=,+,例題9－12,70,=,,,,,,LBC,彎曲變形,,,,C,+,?物理方程——變形與力的關(guān)系,?補(bǔ)充方程,?