工程力學(xué)-第9章圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力變形分析與強(qiáng)度剛度設(shè)計(jì)

1、第9章 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力變形分析與強(qiáng)度剛度設(shè)計(jì),,,目錄,§9.1 純剪切,§9.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力分析,§9.3 圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度與剛度設(shè)計(jì),§9.1 純剪切,一、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力,將一薄壁圓筒表面用縱向平行線和圓周線劃分；兩端施以大小相等方向相反一對力偶矩。,圓周線大小形狀不變，各圓周線間距離不變；縱向平行線仍然保持為直線且相互平行，只是傾斜了一個角度。,觀察到：,結(jié)果說明橫截面上

2、沒有正應(yīng)力,,,,§9.1 純剪切,采用截面法將圓筒截開，橫截面上分布有與截面平行的切應(yīng)力。由于壁很薄，可以假設(shè)切應(yīng)力沿壁厚均勻分布。,,,,由平衡方程 ，得,二、切應(yīng)力互等定理,§9.1 純剪切,在相互垂直的兩個平面上，切應(yīng)力必然成對存在，且數(shù)值相等；兩者都垂直于兩個平面的交線，方向則共同指向或共同背離這一交線。,,,,純剪切,各個截面上只有切應(yīng)力沒有正應(yīng)力的情況稱為純剪切,切應(yīng)力互等定理：,

3、67;9.1 純剪切,三、切應(yīng)變 剪切胡克定律,在切應(yīng)力的作用下，單元體的直角將發(fā)生微小的改變，這個改變量? 稱為切應(yīng)變。,當(dāng)切應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時，切應(yīng)變?與切應(yīng)力τ成正比，這個關(guān)系稱為剪切胡克定律。,G — 剪切彈性模量(GN/m2),各向同性材料，三個彈性常數(shù)之間的關(guān)系：,,,,§9.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力分析,1.變形幾何關(guān)系,觀察變形：,圓周線長度形狀不變，各圓周線間距離不變，只是繞軸線轉(zhuǎn)了一個微小角度；縱

4、向平行線仍然保持為直線且相互平行，只是傾斜了一個微小角度。,圓軸扭轉(zhuǎn)的平面假設(shè)：,圓軸扭轉(zhuǎn)變形前原為平面的橫截面，變形后仍保持為平面，形狀和大小不變，半徑仍保持為直線；且相鄰兩截面間的距離不變。,,,,§9.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力分析,扭轉(zhuǎn)角（rad）,dx微段兩截面的相對扭轉(zhuǎn)角,邊緣上a點(diǎn)的錯動距離：,邊緣上a點(diǎn)的切應(yīng)變：,? 發(fā)生在垂直于半徑的平面內(nèi)。,,,,§9.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力分析,距圓心為?的圓周上

5、e點(diǎn)的錯動距離：,距圓心為?處的切應(yīng)變：,也發(fā)生在垂直于半徑的平面內(nèi)。,—扭轉(zhuǎn)角 沿x軸的變化率。,,,,§9.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力分析,2.物理關(guān)系,根據(jù)剪切胡克定律,距圓心為? 處的切應(yīng)力：,垂直于半徑,橫截面上任意點(diǎn)的切應(yīng)力 與該點(diǎn)到圓心的距離 成正比。,,,,§9.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力分析,3.靜力關(guān)系,,,,,,,§9.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力分析,公式適用于：1）圓桿2）,在圓

6、截面邊緣上，有最大切應(yīng)力,橫截面上某點(diǎn)的切應(yīng)力的方向與扭矩方向相同，并垂直于半徑。切應(yīng)力的大小與其和圓心的距離成正比。,實(shí)心軸,,,,§9.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力分析,與 的計(jì)算,空心軸,令,則,,,,§9.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力分析,,,,§9.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力分析,實(shí)心軸與空心軸 與 對比,§9.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力分析,扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件：,1. 等截面圓軸：,2. 階梯形圓軸

7、：,,,,§9.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力分析,強(qiáng)度條件的應(yīng)用,（1）校核強(qiáng)度,（2）設(shè)計(jì)截面,（3）確定載荷,,,,§9.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力分析,例3.2 由無縫鋼管制成的汽車傳動軸，外徑D=89mm、壁厚?=2.5mm，材料為20號鋼，使用時的最大扭矩T=1930N·m,[?]=70MPa.校核此軸的強(qiáng)度。,解：（1）計(jì)算抗扭截面模量,cm3,（2） 強(qiáng)度校核,滿足強(qiáng)度要求,,,,§9.2 圓

8、軸扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力分析,例3.3 如把上例中的傳動軸改為實(shí)心軸，要求它與原來的空心軸強(qiáng)度相同，試確定其直徑。并比較實(shí)心軸和空心軸的重量。,解：當(dāng)實(shí)心軸和空心軸的最大應(yīng)力同 為[?]時，兩軸的許可扭矩分別為,若兩軸強(qiáng)度相等，則T1=T2 ，于是有,,,,§9.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力分析,在兩軸長度相等，材料相同的情況下，兩軸重量之比等于橫截面面積之比。,可見在載荷相同的條件下，空心軸的重量僅為實(shí)心軸的31% 。,實(shí)心軸和空

9、心軸橫截面面積為,,,,已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最大切應(yīng)力不得超過40MPa,空心圓軸的內(nèi)外直徑之比 ? = 0.5。二軸長度相同。,求: 實(shí)心軸的直徑d1和空心軸的外直徑D2；確定二軸的重量之比。,解： 首先由軸所傳遞的功率計(jì)算作用在軸上的扭矩,實(shí)心軸,P181,例題9-1,,,,§9.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力分析,,空心軸,d2＝0.5D2=23 mm,,,,§9.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力分析,

10、確定實(shí)心軸與空心軸的重量之比,長度相同的情形下，二軸的重量之比即為橫截面面積之比：,實(shí)心軸,d1=45 mm,空心軸,D2＝46 mm,d2＝23 mm,P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW,n1=n2= 120r/min,解：1、計(jì)算各軸的功率與轉(zhuǎn)速,2、計(jì)算各軸的扭矩,p181例題9-2,,,,§9.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力分析,求:各軸橫截面上的最大切應(yīng)力； 并校核各軸強(qiáng)度。,已知：輸入功率P1＝14

11、kW,P2= P3=P1/2，n1=n2=120r/min, z1=36,z3=12;d1=70mm, d 2=50mm, d3=35mm.[?]=30MPa。.,T1=M1=1114 N m,T2=M2=557 N m,T3=M3=185.7 N m,3、計(jì)算各軸的橫截面上的 最大切應(yīng)力；校核各軸 強(qiáng)度,,,,§9.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力分析,滿足強(qiáng)度要求。,相對扭轉(zhuǎn)角,抗扭剛度,§9.3 圓軸扭轉(zhuǎn)時

12、的強(qiáng)度與剛度設(shè)計(jì),,,,單位長度扭轉(zhuǎn)角,扭轉(zhuǎn)剛度條件,,,,許用單位扭轉(zhuǎn)角,rad/m,?/m,§9.3 圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度與剛度設(shè)計(jì),扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件,扭轉(zhuǎn)剛度條件,已知T 、D 和[τ]，校核強(qiáng)度,已知T 和[τ]，設(shè)計(jì)截面,已知D 和[τ]，確定許可載荷,已知T 、D 和[φ/]，校核剛度,已知T 和[φ/]，設(shè)計(jì)截面,已知D 和[φ/]，確定許可載荷,,,,§9.3 圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度與剛度設(shè)計(jì),,,,例題3.6

13、,某傳動軸所承受的扭矩T=200Nm，軸的直徑d=40mm，材料的[τ]=40MPa，剪切彈性模量G=80GPa，許可單位長度轉(zhuǎn)角[φ/]=1 ?/m。試校核軸的強(qiáng)度和剛度。,§9.3 圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度與剛度設(shè)計(jì),,,,,,傳動軸的轉(zhuǎn)速為n=500r/min，主動輪A 輸入功率P1=400kW，從動輪C，B 分別輸出功率P2=160kW，P3=240kW。已知[τ]=70MPa，[φˊ]=1°/m，G=80GPa。

14、 (1)試確定AC 段的直徑d1 和BC 段的直徑d2； (2)若AC 和BC 兩段選同一直徑，試確定直徑d； (3)主動輪和從動輪應(yīng)如何安排才比較合理?,解：,1.外力偶矩,例題3.7,§9.3 圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度與剛度設(shè)計(jì),,,,,,2.扭矩圖,按剛度條件,3.直徑d1的選取,按強(qiáng)度條件,§9.3 圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度與剛度設(shè)計(jì),,,,,,按剛度條件,4.直徑d2的選取,按強(qiáng)度條件,5.選同一直徑時,&#

15、167;9.3 圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度與剛度設(shè)計(jì),,,,,,6.將主動輪安裝在兩從動輪之間,受力合理,§9.3 圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度與剛度設(shè)計(jì),,,,平面假設(shè)不成立。變形后橫截面成為一個凹凸不平的曲面，這種現(xiàn)象稱為翹曲。,§9.3 圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度與剛度設(shè)計(jì),,,,桿件扭轉(zhuǎn)時，橫截面上邊緣各點(diǎn)的切應(yīng)力都與截面邊界相切。,§9.3 圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度與剛度設(shè)計(jì),小結(jié),,,,1、受扭物體的受力和變形特點(diǎn),2、扭矩計(jì)