第十章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論工程力學(xué)

1、第10章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論,10.1 應(yīng)力狀態(tài)的概念,CL10TU3,主平面,：切應(yīng)力為零的平面,主應(yīng)力,：主平面上的正應(yīng)力,主方向,：主平面的法線方向,可以證明：通過受力構(gòu)件內(nèi)的任一點(diǎn)，一定存在三個(gè)互相垂直的主平面。,三個(gè)主應(yīng)力用σ1、 σ2 、 σ3 表示，按代數(shù)值大小順序排列，即 σ1 ≥ σ2 ≥ σ3,應(yīng)力狀態(tài)的分類：,單向應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力中只有一個(gè)不等 于零二向應(yīng)力狀態(tài)（平面應(yīng)力狀態(tài)）：兩個(gè)主應(yīng) 力不

2、等于零三向應(yīng)力狀態(tài)（空間應(yīng)力狀態(tài)）：三個(gè)主應(yīng)力皆不等于零單向應(yīng)力狀態(tài)也稱為簡單應(yīng)力狀態(tài)二向和三向應(yīng)力狀態(tài)統(tǒng)稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài),10.2 平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力分析,一、解析法,σ：拉應(yīng)力為正τ：順時(shí)針轉(zhuǎn)動為正α：逆時(shí)針轉(zhuǎn)動為正,用完全相似的方法可確定切應(yīng)力的極值,二、圖解法,應(yīng)力圓莫爾(Mohr)圓,下面根據(jù)已知單元體上的應(yīng)力 σx、 σy 、τx畫應(yīng)力圓,下面利用應(yīng)力圓求任意斜截面上的應(yīng)力,例：分別用解析法和圖解法求

3、圖示單元體的(1)指定斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力;(2)主應(yīng)力值及主方向，并畫在單元體上；(3)最大切應(yīng)力值。,單位：MPa,解：(一)使用解析法求解,(二)使用圖解法求解 作應(yīng)力圓，從應(yīng)力圓上可量出：,10.3 三向應(yīng)力狀態(tài)簡介,主單元體：六個(gè)平面都是主平面,若三個(gè)主應(yīng)力已知，求任意斜截面上的應(yīng)力:,首先分析平行于主應(yīng)力之一（例如σ3）的各斜截面上的應(yīng)力。,σ3 對斜截面上的應(yīng)力沒有影響。這些斜截面上的應(yīng)力對應(yīng)于

4、由主應(yīng)力 σ1 和 σ2 所畫的應(yīng)力圓圓周上各點(diǎn)的坐標(biāo)。,同理，在平行于 σ2 的各個(gè)斜截面上，其應(yīng)力對應(yīng)于由主應(yīng)力 σ1 和 σ3 所畫的應(yīng)力圓圓周上各點(diǎn)的坐標(biāo)。,在平行于 σ1 的各個(gè)斜截面上，其應(yīng)力對應(yīng)于由主應(yīng)力 σ2 和 σ3 所畫的應(yīng)力圓圓周上各點(diǎn)的坐標(biāo)。,這樣，單元體上與主應(yīng)力之一平行的各個(gè)斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力，可由三個(gè)應(yīng)力圓圓周上各點(diǎn)的坐標(biāo)來表示。,至于與三個(gè)主方向都不平行的任意斜截面，彈性力學(xué)中已證明，其應(yīng)力σn和τ

5、n可由圖中陰影面內(nèi)某點(diǎn)的坐標(biāo)來表示。,在三向應(yīng)力狀態(tài)情況下：,τmax 作用在與σ2平行且與σ1和σ3的方向成45°角的平面上，以τ1，3表示,例：求圖示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力（應(yīng)力單位為MPa）。,解：,例：求圖示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力（應(yīng)力單位為MPa）。,解：,例：求圖示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力（應(yīng)力單位為MPa）。,解：,10.4 廣義胡克定律,廣義胡克定律：,對于二向應(yīng)力狀態(tài)：,10.5 強(qiáng)

6、度理論,材料破壞的形式主要有兩類：,流動(屈服)破壞,斷裂破壞,材料破壞的基本形式有兩種：流動、斷裂相應(yīng)地，強(qiáng)度理論也可分為兩類：一類是關(guān)于脆性斷裂的強(qiáng)度理論；另一類是關(guān)于塑性屈服的強(qiáng)度理論。一、關(guān)于脆斷的強(qiáng)度理論,1.最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）,它假定：無論材料內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如何，只要有一點(diǎn)的主應(yīng)力σ1 達(dá)到單向拉伸斷裂時(shí)的極限應(yīng)力σu，材料即破壞。在單向拉伸時(shí)，極限應(yīng)力 σu =σb失效條件可寫為 σ1 ≥

7、σb,第一強(qiáng)度強(qiáng)度條件：,試驗(yàn)證明，這一理論與鑄鐵、巖石、砼、陶瓷、玻璃等脆性材料的拉斷試驗(yàn)結(jié)果相符，這些材料在軸向拉伸時(shí)的斷裂破壞發(fā)生于拉應(yīng)力最大的橫截面上。脆性材料的扭轉(zhuǎn)破壞，也是沿拉應(yīng)力最大的斜面發(fā)生斷裂，這些都與最大拉應(yīng)力理論相符，但這個(gè)理論沒有考慮其它兩個(gè)主應(yīng)力的影響。,2.最大伸長線應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論）,它假定，無論材料內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)如何，只要有一點(diǎn)的最大伸長線應(yīng)變ε1達(dá)到單向拉伸斷裂時(shí)應(yīng)變的極限值 εu，材料即破壞。

8、所以發(fā)生脆性斷裂的條件是 ε1 ≥ εu若材料直到脆性斷裂都是在線彈性范圍內(nèi)工作，則,由此導(dǎo)出失效條件的應(yīng)力表達(dá)式為：,第二強(qiáng)度條件：,煤、石料或砼等材料在軸向壓縮試驗(yàn)時(shí)，如端部無摩擦，試件將沿垂直于壓力的方向發(fā)生斷裂，這一方向就是最大伸長線應(yīng)變的方向，這與第二強(qiáng)度理論的結(jié)果相近。,二、關(guān)于屈服的強(qiáng)度理論,1.最大切應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）它假定，無論材料內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如何，只要有一點(diǎn)的最大切應(yīng)力τmax達(dá)到單向拉伸屈服切應(yīng)力τ

9、S時(shí)，材料就在該處出現(xiàn)明顯塑性變形或屈服。屈服破壞條件是：,用應(yīng)力表示的屈服破壞條件：,第三強(qiáng)度條件：,第三強(qiáng)度理論曾被許多塑性材料的試驗(yàn)結(jié)果所證實(shí)，且稍偏于安全。這個(gè)理論所提供的計(jì)算式比較簡單，故它在工程設(shè)計(jì)中得到了廣泛的應(yīng)用。該理論沒有考慮中間主應(yīng)力σ2的影響，其帶來的最大誤差不超過15％，而在大多數(shù)情況下遠(yuǎn)比此為小。,2.形狀改變比能理論(第四強(qiáng)度理論),它假定，復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料的形狀改變比能達(dá)到單向拉伸時(shí)使材料屈服的形狀改變

10、比能時(shí)，材料即會發(fā)生屈服。屈服破壞條件是：,簡單拉伸時(shí)：,屈服破壞條件是：,第四強(qiáng)度條件：,這個(gè)理論和許多塑性材料的試驗(yàn)結(jié)果相符，用這個(gè)理論判斷碳素鋼的屈服失效是相當(dāng)準(zhǔn)確的。,四個(gè)強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件可寫成統(tǒng)一形式：,稱為相當(dāng)應(yīng)力,一般說來，在常溫和靜載的條件下，脆性材料多發(fā)生脆性斷裂，故通常采用第一、第二強(qiáng)度理論；塑性材料多發(fā)生塑性屈服，故應(yīng)采用第三、第四強(qiáng)度理論。,影響材料的脆性和塑性的因素很多，例如：低溫能提高脆性，高溫一般能提高

11、塑性；在高速動載荷作用下脆性提高，在低速靜載荷作用下保持塑性。,無論是塑性材料或脆性材料：,在三向拉應(yīng)力接近相等的情況下，都以斷裂的形式破壞，所以應(yīng)采用最大拉應(yīng)力理論；,在三向壓應(yīng)力接近相等的情況下，都可以引起塑性變形，所以應(yīng)該采用第三或第四強(qiáng)度理論。,例：填空題。,冬天自來水管凍裂而管內(nèi)冰并未破裂，其原因是冰處于 應(yīng)力狀態(tài)，而水管處于 應(yīng)力狀態(tài)。,三向壓,二向拉,在純剪切應(yīng)力狀

12、態(tài)下：用第三強(qiáng)度理論可得出：塑性材料的許用切應(yīng)力與許用拉應(yīng)力之比用第四強(qiáng)度理論可得出：塑性材料的許用切應(yīng)力與許用拉應(yīng)力之比,例：填空題。,解：在純剪切應(yīng)力狀態(tài)下，三個(gè)主應(yīng)力分別為,第三強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為：,由此得：,剪切強(qiáng)度條件為：,按第三強(qiáng)度理論可求得：,第四強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為：,由此得：,剪切強(qiáng)度條件為：,按第四強(qiáng)度理論可求得：,在純剪切應(yīng)力狀態(tài)下：用第三強(qiáng)度理論可得出：塑性材料的許用切應(yīng)力與許用拉應(yīng)力之比用第四強(qiáng)度理論

13、可得出：塑性材料的許用切應(yīng)力與許用拉應(yīng)力之比,例：填空題。,0.5,0.577,石料在單向壓縮時(shí)會沿壓力作用方向的縱截面裂開，這與第 強(qiáng)度理論的論述基本一致。,例：填空題。,二,一球體在外表面受均布壓力p = 1 MPa作用，則在球心處的主應(yīng)力 ? 1 = MPa，? 2 = MPa，? 3 = MPa。,例：填空題。,－1,－1,－1,三向應(yīng)力狀態(tài)中，若三個(gè)主應(yīng)力

14、都等于σ，材料的彈性模量和泊松比分別為E和 μ ，則三個(gè) 主應(yīng)變?yōu)?。,例：填空題。,第三強(qiáng)度理論和第四強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力分別為σr3及σr4，對于純切應(yīng)力狀態(tài)，恒有σr3／σr4＝＿＿＿。,例：填空題。,危險(xiǎn)點(diǎn)接近于三向均勻受拉的塑性材料，應(yīng)選用 強(qiáng)度理論進(jìn)行計(jì)算，因?yàn)榇藭r(shí)材料的破壞形式為 。,例：填空題。,第一,脆性斷裂,例：

15、選擇題。 純剪切應(yīng)力狀態(tài)下，各向同性材料單元體的體積改變有四種答案：（A）變大（B）變?。–）不變（D）不確定,例： 圓軸直徑為d，材料的彈性模量為E，泊松比為 μ ，為了測得軸端的力偶ｍ之值，但只有一枚電阻片。 (1) 試設(shè)計(jì)電阻片粘貼的位置和方向； (2) 若按照你所定的位置和方向，已測得線應(yīng) 變?yōu)? 0，則外力偶ｍ＝？,解：(1)將應(yīng)變片貼于與母線成45°角的外表面上,(2),例：鋼制封閉圓筒