第十章工程力學

1、第十章壓桿穩(wěn)定10?1壓桿穩(wěn)定的概念壓桿穩(wěn)定的概念一、壓桿穩(wěn)定性的概念1、下面先以小球為例介紹平衡的的三種狀態(tài)：如果小球受到微小干擾而稍微偏離它原有的平衡位置，當干擾消除以后，它能夠回到原有的平衡位置，這種平衡狀態(tài)稱為穩(wěn)定平衡狀態(tài)穩(wěn)定平衡狀態(tài)，如圖10–1a所示；如果小球受到微小干擾而稍微偏離它原有的平衡位置，當干擾消除以后，它不能夠回到原有的平衡位置，但能夠在附近新的位置維持平衡，原有的平衡狀態(tài)稱為隨遇平衡狀態(tài)隨遇平衡狀態(tài)，如圖10–

2、1b所示；如果小球受到微小干擾而稍微偏離它原有的平衡位置，當干擾消除以后，它不但不能回到原有的平衡位置，而且繼續(xù)離去，那么原有的平衡狀態(tài)稱為不穩(wěn)定平衡狀態(tài)不穩(wěn)定平衡狀態(tài)，如圖10–1c所示。2、壓桿穩(wěn)定性的概念細長直桿兩端受軸向壓力作用，其平衡也有穩(wěn)定性的問題。設有一等截面直桿，受有軸向壓力作用，桿件處于直線形狀下的平衡。為判斷平衡的穩(wěn)定性，可以加一橫向干擾力，使桿件發(fā)生微小的彎曲變形（圖10–2a），然后撤消此橫向干擾力。當軸向壓力較

3、小時，撤消橫向干擾力后桿件能夠恢復到原來的直線平衡狀態(tài)（圖10–2b），則原有的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定平衡狀態(tài)；當軸向壓力增大到一定值時，撤消橫向干擾力后桿件不能再恢復到原來的直線平衡狀態(tài)（圖10–2c），則原有的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。壓桿由穩(wěn)定平衡過度到不穩(wěn)定平衡時所受軸向壓力的臨界值稱為臨界壓力臨界壓力，或簡稱臨界力臨界力，用Fcr表示。當F=Fcr時，壓桿處于穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡的臨界狀態(tài)，稱為臨界平衡狀態(tài)，這種狀態(tài)的特點是：不受橫向

4、干擾時，壓桿可在直線位置保持平衡；若受微小橫向干擾并將干擾撤消后，壓桿又可在微彎位置維持平衡，因此臨界平衡狀態(tài)具有兩重性。壓桿處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)時，稱為喪失穩(wěn)定性喪失穩(wěn)定性，簡稱為失穩(wěn)失穩(wěn)。顯然結構中的受壓桿件絕不允許失穩(wěn)。F1FF(a)FFcrFFcr(c)圖10?2圖10?1(a)(b)(c)令2rckEIF?(c)則式(b)可寫成0222??ykdxyd(d)這是一個二階常系數(shù)線性微分方程，其通解為y=AsinkxBcoskx(e

5、)式中A和B是積分常數(shù)，可由壓桿兩端的邊界條件確定。此桿的邊界條件為在x=0處，y=0在x=l處，y=0由邊界條件的第一式得B=0于是式(e)成為y=Asinkx(f)由邊界條件的第二式得Asinkl=0由于壓桿處于微彎狀態(tài)的平衡，因此A≠0，所以sinkl=0由此得kl=nπ(n=0123，)所以2222lnk??將上式代入式(c)，得)3210(222cr???nlEInF?由于臨界力是使壓桿失穩(wěn)的最小壓力，因此n應取不為零的最小值

6、，即取n=1，所以22crlEIF??(10–1)上式即為兩端球形鉸支（簡稱兩端鉸支）細長壓桿臨界力Fcr的計算公式，由歐拉（L.Euler）于1744年首先導出，所以通常稱為歐拉公式歐拉公式。應該注意，壓桿的彎曲在其最小的剛度平面內發(fā)生，因此歐拉公式中的I應該是截面的最小形心主慣性矩。在臨界荷載Fcr作用下，lk??，因此式(f)可寫成lxAy?sin?由此可以看出，在臨界荷載Fcr作用下，桿的撓曲線是一條半個波長的正弦曲線。在x=l