第十章-工程力學(xué)之彎曲應(yīng)力

1、§10–1 純彎曲時梁的正應(yīng)力 §10–2 常用截面的慣性矩、平行移軸公式 §10–3 彎曲正應(yīng)力的強度條件 §10–4 提高梁彎曲強度的措施,,,,,第十章 工程力學(xué)之彎曲應(yīng)力,§10-1 純彎曲時梁的正應(yīng)力,彎曲應(yīng)力,,,純彎曲： 梁內(nèi)各橫截面上的剪力為零、彎矩為常數(shù)的受力狀態(tài)。,橫力彎曲： 彎曲梁橫截面上既有剪力、又有彎矩的受力狀態(tài)。,,,如圖10-1

2、（a）所示的簡支梁，其剪力圖如圖10-1（b）所示，彎矩圖如圖10-1（c）所示。可以看出梁中間一段的剪力為零，而彎矩為常數(shù)，即為純彎曲； AC 和DB 段上既有剪力，又有彎矩，為橫力彎曲。,彎曲應(yīng)力,,,一、變形的幾何關(guān)系,,1. 梁的變形特點,如圖10-2（a）所示，取梁的縱向?qū)ΨQ面為xy平面。梁上的外載荷就作用在這個平面內(nèi)，梁的軸線在彎曲變形后也位于這個平面內(nèi)。,加載之前，先在梁的側(cè)面，分別畫上與梁軸線垂直的橫線mn、m1n1，與

3、梁軸線平行的縱線ab、a1b1，前二者代表梁的橫截面； 后二者代表梁的縱向纖維。如圖10-2（a）所示。,彎曲應(yīng)力,,,,在梁的兩端加一對力偶，梁處于純彎曲狀態(tài)，將產(chǎn)生如圖10-2（b）、圖10-2（c）所示的彎曲變形，可以觀察到以下現(xiàn)象：,兩條橫線仍為直線，仍與縱線垂直，只是橫線間作相對轉(zhuǎn)動，由平行線變?yōu)橄嘟痪€。,梁上縱線（包括軸線）都變成了圓弧線，近凹邊的縱線縮短，近凸邊的縱線伸長。,橫截面的高度不變，而橫截面的寬度在縱向纖維的縮短

4、區(qū)有所增加，在縱向纖維的伸長區(qū)有所減少，如圖10-2（c）所示。,彎曲應(yīng)力,,,,根據(jù)上述觀察到的現(xiàn)象可作如下兩個假設(shè)：,梁在純彎曲時，各橫截面始終保持為平面，并始終垂直于梁的軸線，這就是梁的平面假設(shè)。,縱向纖維之間沒有相互擠壓，每根縱向纖維只受到簡單拉伸或壓縮。,根據(jù)變形和平面假設(shè)，經(jīng)分析得如下兩個結(jié)論：,純彎曲梁橫截面上沒有剪應(yīng)力，只有正應(yīng)力。,純彎曲梁有一個中性層，每個橫截面有一個中性軸。,中性層： 由于變形的連續(xù)性，縱向纖維從伸

5、長區(qū)到縮短區(qū)，必有一層縱向纖維既不伸長，也不縮短，這一長度不變的過渡層，稱為中性層,中性軸： 中性層與橫截面的交線。根據(jù)梁受力和變形的對稱性，中性軸一定與對稱軸垂直。,彎曲應(yīng)力,,,,2. 梁的變形規(guī)律,可以證明，純彎曲梁變形后的軸線為一段圓弧。將圖10-2(b)中代表橫截面的線段mn和m1n1延長，相交于C點，C點就是梁軸彎曲后的曲率中心。若用 表示這兩個橫截面的夾角， 表示中性層 的曲率半徑，因為中性層的纖維長度

6、不變，故有,在如圖10-2所示的坐標(biāo)系中，y軸為橫截面的對稱軸，z軸為中性軸，則距中性層為y的任一縱向纖維ab，變形后的長度為,其線應(yīng)變?yōu)?彎曲應(yīng)力,,,,這就是橫截面上各點的縱向線應(yīng)變沿截面高度的變化規(guī)律。它說明梁內(nèi)任一縱向纖維的線應(yīng)變ε與該纖維到中性層的距離y成正比，與中性層的曲率半徑 成反比。,彎曲應(yīng)力,,,,二、變形的物理關(guān)系,梁純彎曲時，我們設(shè)想縱向纖維只產(chǎn)生簡單拉伸或壓縮，在正應(yīng)力沒有超過材料的比例極限時，由虎克定律和式（

7、10-1）得,上式即為橫截面上彎曲正應(yīng)力的分布規(guī)律。它表明： 梁純彎曲時，橫截面上任一點的正應(yīng)力與該點到中性軸的距離成正比，距中性軸同一高度上各點的正應(yīng)力相等。矩形截面梁橫截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律如圖10-3所示，顯然在中性軸上各點的正應(yīng)力為零，而在中性軸的一邊是拉應(yīng)力，另一邊是壓應(yīng)力； 橫截面上、下邊緣各點的正應(yīng)力最大。,彎曲應(yīng)力,,,,三、變形的靜力學(xué)研究,在梁的橫截面上任取一微面積 ，如圖10-4所示，作用在這微面積上的力為

8、 ，因為橫截面上沒有軸向內(nèi)力，所以作用在各微面積 上的力 的合力應(yīng)等于零，即有,將式（10－2）代入上式，得,因為 ，所以一定有,彎曲應(yīng)力,,,,積分 稱為整個橫截面對中性軸z的靜矩，單位為立方米（m3）或立方毫米（mm3）。yC為該截面的形心坐標(biāo)。因A≠0，則yC=0，即中性軸z必通過橫截面的形心。這樣中性軸的位置就確定了。因為y軸是橫截面的對稱軸，顯然也通過橫截面的形心，可見在橫截面上所選的坐標(biāo)原點

9、O就是橫截面的形心。,純彎曲梁橫截面上的內(nèi)力為一力偶，即彎矩。該彎矩就是橫截面上所有微面積的內(nèi)力的合力，即有,將式（10-2）代入上式，得,彎曲應(yīng)力,,,,式中定積分 稱為橫截面對中性軸z的慣性矩，用IZ表示。其單位為米4（m4）或毫米4（mm4）。于是上式即為,該公式稱為梁彎曲變形的基本公式。它說明梁軸曲線的曲率 與彎矩M成正比，與EIZ成反比。EIZ稱為梁的抗彎剛度。,彎曲應(yīng)力,,,,四、梁的彎曲正應(yīng)力,1. 梁的彎曲

10、正應(yīng)力,這就是純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力公式。公式中的負(fù)號與坐標(biāo)系中y軸的正方向有關(guān)。應(yīng)用式（10-4）時，要將M和y按規(guī)定的正負(fù)號代入，求得的彎曲正應(yīng)力σ如果是正號，即為拉應(yīng)力，如果是負(fù)號，即為壓應(yīng)力。但在實際計算中通常用M和y的絕對值來計算σ的大小，再根據(jù)梁的變形情況，直接判斷是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力。梁彎曲變形后，凸邊的應(yīng)力為拉應(yīng)力，凹邊的應(yīng)力為壓應(yīng)力。這樣就可把式（10-4）中的負(fù)號去掉，改寫為,公式將式（10-3）代入式（10-2），

11、得,彎曲應(yīng)力,,,,2. 最大彎曲正應(yīng)力公式,從式（10-5）可知，梁橫截面最外邊緣處的彎曲正應(yīng)力最大。最大彎曲正應(yīng)力的求解可以分為以下幾種情況：,則,如果橫截面對稱于中性軸。例如矩形，以ymax表示最外緣處到中性軸的距離，則橫截面上的最大彎曲正應(yīng)力為,令,式中WZ稱為橫截面對中性軸z的抗彎截面模量，簡稱抗彎截面模量。單位是立方米（m3）或立方毫米（mm3）。,彎曲應(yīng)力,,,,如果橫截面不對稱于中性軸，例如圖10-5所示的槽形截面。,令

12、y1和y2分別表示該橫截面上、下邊緣到中性軸的距離，則相應(yīng)的最大彎曲正應(yīng)力（不考慮符號一個為拉應(yīng)力，一個為壓力）分別為,式中抗彎截面模量W1和W2分別為 ;,彎曲應(yīng)力,,,,3. 彎曲正應(yīng)力公式的應(yīng)用范圍,上述的彎曲正應(yīng)力公式，是由純彎曲推導(dǎo)而來，并得到了實踐的驗證。對于橫截面上既有彎矩，又有剪力，即橫力彎曲的情況。由于剪力的存在，梁的橫截面將發(fā)生翹曲； 同時剪力將使梁的縱向纖維間產(chǎn)生局部的擠壓應(yīng)力。這時梁的變形為復(fù)合變形，

13、但根據(jù)精確分析和實驗證實，當(dāng)梁的跨度l與橫截面高度h之比 時，梁橫截面上的正應(yīng)力分布與純彎曲情況很接近，即剪力的影響很小，所以純彎曲正應(yīng)力公式對橫力彎曲仍可適用。,純彎曲梁的正應(yīng)力公式，只有當(dāng)梁的材料服從虎克定律，而且在拉伸、壓縮時的彈性模量相等的條件下才能適用。,彎曲應(yīng)力,,,根據(jù)橫截面對中性軸的慣性矩的定義可知，慣性矩IZ只與橫截面的幾何形狀以及尺寸有關(guān)，它反映的是截面的幾何性質(zhì)。,一、常用截面的慣性矩,,,§1

14、0-2常用截面的慣性矩、平行移軸公式,1. 矩形截面,如圖10-6所示矩形截面，z為截面的對稱軸（即形心軸），在截面中取寬為b、高為dy的細(xì)長條作為微面積，即 ，得：,彎曲應(yīng)力,,,,同理可得截面對y軸的慣性矩Iy和抗彎截面模量Wy分別為,2. 圓形及圓環(huán)形截面,① 同理可得直徑為d的圓形截面對其形心軸y和z的慣性矩為,② 外徑為D、內(nèi)徑為d的圓環(huán)形截面對其形心軸y和z的慣性矩為,彎曲應(yīng)力,,,,3. 組合截面,工程上常見

15、的組合截面是由矩形、圓形等幾個簡單圖形組成的，或由幾個型鋼截面組成的。設(shè)A為組合截面的面積，A1，A2，…為各組成部分的面積，則,即： 組合截面對任一軸的慣性矩，等于各個組成部分對同一軸的慣性矩之和。,例如圓環(huán)截面對其對稱軸的慣性矩，可看作是大圓的截面對其對稱軸的慣性矩，減去小圓的截面對于同一軸的慣性矩。即,彎曲應(yīng)力,,,設(shè)a、b分別為兩平行軸之間的距離，y為微面積dA與z軸的距離，則由圖可知微面積dA至z1軸的距離為,二、平行移軸定理

16、,,設(shè)有一任意截面，如圖10-7所示，y、z軸過截面形心，且y//y1，z//z1。已知截面對y、z軸的慣性矩分別為Iy和Iz，求截面對y1、z1軸的慣性矩。,整個截面對z1軸的慣性矩可寫成,彎曲應(yīng)力,,,,因為z軸通過截面的形心c，故yc=0，于是有,上式稱為平行移軸定理，即截面對任一軸的慣性矩，等于它對平行于該軸的形心軸的慣性矩，再加上截面面積與兩軸間距離平方的乘積。,由于a2A 和b2A 恒為正值，可見在截面對一組平行軸的慣性矩中

17、，截面對形心軸的慣性矩是最小的。,同理可得,§10-3彎曲正應(yīng)力的強度條件,彎曲應(yīng)力,,,一、梁的強度條件,,1、如材料的拉伸和壓縮許用應(yīng)力相等，則絕對值最大的彎矩所在的橫截面為危險截面，最大彎曲正應(yīng)力 就在危險截面的上、下邊緣處。為了保證梁的安全工作，最大工作應(yīng)力 就不得超過材料的許用應(yīng)力 ，于是梁彎曲正應(yīng)力的強度條件為,梁的彎曲強度條件分為兩種情況：,如果橫截面不對稱于中性軸則W1和W2不相等，在此應(yīng)取較小的抗

18、彎截面模量。,彎曲應(yīng)力,,,,2、如果材料是鑄鐵、陶瓷等脆性材料，其拉伸和壓縮許用應(yīng)力不相等，則應(yīng)分別求出最大正彎矩和最大負(fù)彎矩所在橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力，并分別列出抗拉強度條件和抗壓強度條件為,式中W1和W2分別是相應(yīng)于最大拉應(yīng)力 和最大壓應(yīng)力 的抗彎截面模量， 為材料的許用拉應(yīng)力， 為材料的許用壓應(yīng)力。,；,彎曲應(yīng)力,,,,例10-1 某冷卻塔內(nèi)支承填料用的梁，可簡化為受均布載荷的簡支梁，如圖1

19、0-8所示。已知梁的跨長為3m，所受均布載荷的集度為q=20kN，材料為A3鋼，許用應(yīng)力 ，問該梁應(yīng)該選用幾號工字鋼?,解： 這是一個求梁的抗彎截面模量的問題，應(yīng)先計算在梁跨中點橫截面上的最大彎矩,所需抗彎截面模量為,查型鋼規(guī)格表，選用18號工字鋼， 。,彎曲應(yīng)力,,,,例10-2 一螺旋壓板夾緊裝置，如圖10-9（a）所示。已知壓緊力FCy=3kN，a=50mm，材料的許用

20、應(yīng)力為 。試校核壓板的強度。,解： 壓板可簡化為一簡支梁，如圖10-9（b）所示，最大彎矩在截面B上，即,欲校核壓板的強度，需計算B處截面對其中性軸的慣性矩,彎曲應(yīng)力,,,,抗彎截面模量,最大正應(yīng)力,故壓板的強度足夠。,彎曲應(yīng)力,,,,例10-3 試按正應(yīng)力校核圖10-10（a）所示鑄鐵梁的強度。已知梁的橫截面為 字型，如圖10-10（b）所示。橫截面的慣性矩 ，材料的許用拉應(yīng)力

21、 ，許用壓應(yīng)力 。,解：（1）求約束力。先由靜力平衡方程求出梁的約束力為,（2）畫彎矩圖，判斷危險截面。,彎曲應(yīng)力,,,,繪出梁的彎矩圖，如圖10-10（c）所示。由圖可知，最大正彎矩在截面C，即 ； 最大負(fù)彎矩在截面B，即 。因為T字型不對稱于中性軸z，且材料的許用應(yīng)力 。所以對兩個危險截面C和B上的最大正應(yīng)力要分別進行

22、校核。,（3）強度校核。,C截面：,彎曲應(yīng)力,,,,B截面：,故知鑄鐵梁的強度是足夠的。,§10-4 提高梁彎曲強度的措施,彎曲應(yīng)力,,,細(xì)長直梁的橫截面尺寸，是按正應(yīng)力強度條件確定的。由式（10-7）可知，橫截面的最大正應(yīng)力與彎矩成正比，而與抗彎截面模量成反比。,,如彎矩一定，則梁的最大彎曲正應(yīng)力數(shù)值取決于Wz的值。為了既能提高梁的抗彎強度，又不增加梁的自重，梁的橫截面應(yīng)有較小的橫截面面積、較大的抗彎截面模量，即有較大的

23、 。,一根矩形截面梁，寬為b、高為h（h>b），在垂向載荷作用下，如果將矩形截面豎放，如圖10-11（a）所示，其抗彎截面模量為,彎曲應(yīng)力,,,將矩形截面平放,如圖10-11（b）所示，則,,可見,若： h/b=2時，則W豎=2W橫。顯然，矩形截面豎放時的抗彎截面模量要比平放時大。由此看來，橫截面越高越合理。但高度與寬度之比也有一定的限制，比值過大容易發(fā)生側(cè)向失穩(wěn)或剪切強度不夠等問題。,彎曲應(yīng)力,,,梁彎曲時，從橫截面上的正應(yīng)

24、力沿截面高度分布規(guī)律來看，離中性軸越遠(yuǎn)，正應(yīng)力越大，靠近中性軸的地方，正應(yīng)力很小。因此，矩形截面上靠近中性軸附近的材料，沒有被充分利用。為此，可把矩形截面靠近中性軸的材料移到離中性軸較遠(yuǎn)的地方，以提高截面的抗彎截面模量。這樣就逐漸形成了工字形和槽形等截面，如圖10-12所示。工字形截面梁受到橫力彎曲時，橫截面的翼緣部分主要承受正應(yīng)力，而腹板部分主要承受剪應(yīng)力。這樣，這兩部分材料就充分發(fā)揮了各自的作用。所以對梁來說，工字形截面是比較合理的

25、截面。,,彎曲應(yīng)力,,,根據(jù)材料的特性，合理的截面應(yīng)該使截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力同時達到材料的許用應(yīng)力。所以對于抗拉強度和抗壓強度相等的材料，常采用對稱于中性軸的截面，例如工字形截面。而對于拉、壓強度不相等的材料，常采用不對稱于中性軸的截面。例如對用鑄鐵制成的梁，由于 ，常做成T字形截面，并使中性軸的位置符合 的條件。在選用這種截面的鑄鐵梁時，要使中性軸偏于受拉的一邊，如圖10-1