工程力學(xué)第6章

1、,,,,工 程 力 學(xué),普通高等教育“十一五”國家級(jí)規(guī)劃教材高職高專計(jì)算機(jī)教指委優(yōu)秀教材（高職高專教育）,（ 第六版）,扭轉(zhuǎn),第6章,扭轉(zhuǎn),第6章,,,,,,,,第6章,6.1 扭轉(zhuǎn)的概念及外力偶矩計(jì)算,,6.1.1 扭轉(zhuǎn)的概念,1、扭轉(zhuǎn)變形的受力特點(diǎn)是：受到一對(duì)大小相等、方向相反、作用面垂直于軸線的力偶作用。2、變形特點(diǎn)是：反向力偶間各橫截面繞軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。,3、軸上任意兩橫截面間相對(duì)轉(zhuǎn)過的角度，叫做扭轉(zhuǎn)角，用符號(hào)φ表示。,,

2、,,,,,,第6章,6.1 扭轉(zhuǎn)的概念及外力偶矩計(jì)算,,6.1.2 外力偶矩的計(jì)算,由物理學(xué)可知，力偶在單位時(shí)間內(nèi)所做的功，即功率P，等于力偶矩M與角速度ω之積，即,P=Mω,工程中，功率常用千瓦（kW）作單位，轉(zhuǎn)速常用轉(zhuǎn)/分（r/min）作單位，所以，上式可化為,,,,,,,,第6章,6.2 扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力——扭矩,,6.2.1扭矩,確定了作用在軸上的外力偶矩之后，據(jù)此可分析和計(jì)算軸的內(nèi)力。內(nèi)力的計(jì)算仍采用截面法。取一段簡(jiǎn)化的傳

3、動(dòng)軸模型，如圖6-6所示。,圖6-6,此內(nèi)力偶矩習(xí)慣上稱為扭矩，為了與外力偶矩區(qū)別，用符號(hào)T表示。其大小可由力偶平衡方程求得,T=M,,,,,,,,第6章,6.2 扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力——扭矩,,6.2.2 扭矩符號(hào)規(guī)定扭矩計(jì)算法則,1.扭矩符號(hào)規(guī)定 應(yīng)用右手螺旋法則，使四指的彎向沿扭矩轉(zhuǎn)向，則拇指的指向與截面外法線方向相同者為正；反之，為負(fù)。 外力偶矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定與扭矩剛好相反。 2.扭矩計(jì)算法則 扭矩=截面一側(cè)

4、所有外力偶矩的代數(shù)和。 扭矩計(jì)算法則中，右手定則用來判定外力偶矩的正負(fù)，扭矩的正負(fù)可由扭矩計(jì)算法則計(jì)算得出。使用扭矩計(jì)算法則時(shí)，確定外法線方向是關(guān)鍵，當(dāng)取左右不同側(cè)的時(shí)候，外法線方向是不同的，這樣才可保證左右兩側(cè)的計(jì)算結(jié)果及符號(hào)完全相同。,,,,,,,,第6章,6.2 扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力——扭矩,,6.2.3 扭矩圖,當(dāng)軸受多個(gè)外力偶矩作用時(shí)，各段上的扭矩是各不相同的。為了表示各橫截面上的扭矩沿軸線的變化情況，可采用作圖的

5、辦法，用橫坐標(biāo)代表橫截面的位置，縱坐標(biāo)代表各橫截面上的扭矩大小，這樣作出的圖稱作扭矩圖。扭矩圖形象而直觀地顯現(xiàn)了扭矩沿軸線的變化情況，可幫助我們確定最大扭矩的大小和位置，從而在今后的強(qiáng)度問題中確定出真正的危險(xiǎn)截面。扭矩圖的作圖方法與軸力圖基本相同。,,,,,,,,第6章,6.2 扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力——扭矩,,6.2.3 扭矩圖,例6-1 傳動(dòng)軸受力如圖6-7(a)所示。轉(zhuǎn)速n=300 r/min，主動(dòng)輪A輸入功率PA=50 kW，

6、從動(dòng)輪B、C、D的輸出功率分別為PB=PC=15 kW，PD=20 kW。試作出軸的扭矩圖，并確定軸的最大扭矩值。,圖6-7,,,,,,,,第6章,6.2 扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力——扭矩,,6.2.3 扭矩圖,解：（1）外力偶矩計(jì)算 根據(jù)轉(zhuǎn)速和功率計(jì)算出各輪上的外力偶矩，并作出軸的受力簡(jiǎn)圖。,N·m,N·m,,,,,,,,第6章,6.2 扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力——扭矩,,6.2.3 扭矩圖,（2）扭矩計(jì)算

7、首先分段，四個(gè)外力偶矩將軸分為DA、AB、BC三段。用扭矩計(jì)算法則分別計(jì)算出各段扭矩值。 DA段：取左側(cè)，截面的外法線向右,T1=MD=637 N·m AB段：仍取左側(cè)，截面外法線向右,T2=MD-MA=637－1592=－955 N·m BC段：為計(jì)算方便可取右側(cè)，截面外法線改為向左,T3=－MC=－477 N·m 扭矩負(fù)值表示方向，不表示大小。,,,,,,,,第6章,6.

8、2 扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力——扭矩,,6.2.3 扭矩圖,（3）作出扭矩圖 整個(gè)軸的扭矩圖為三段平直線。將三段平直線用豎線連成封閉區(qū)域，區(qū)域內(nèi)標(biāo)明正負(fù)，用等距豎線填充，然后在平直線上方（下方）標(biāo)明扭矩值。 畫出的扭矩圖，直觀地顯示出扭矩沿軸線的變化情況，如圖6-7(c)所示?？梢钥闯?，最大扭矩（絕對(duì)值）存在于AB段，以后可以證明，如果此軸為相同材料的等截面軸，那么危險(xiǎn)截面就在AB段，最大扭矩為 Tmax=955

9、N·m,,,,,,,,第6章,6.2 扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力——扭矩,,6.2.3 扭矩圖,（4）討論 如果設(shè)計(jì)中重新排定各輪的順序，會(huì)使最大扭矩值發(fā)生變化。如單純?yōu)榱伺帕蟹奖愣鴮⒅鲃?dòng)輪排在一側(cè)，則最大扭矩|Tmax|=1592 N·m，扭矩圖請(qǐng)讀者自己嘗試來畫。從提高強(qiáng)度的觀點(diǎn)來看，這樣排列顯然沒有題中的合理。在設(shè)計(jì)條件允許的情況下，將主動(dòng)輪放在從動(dòng)輪之間的合適位置上，是提高扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度的簡(jiǎn)單而有效的

10、辦法。,,,,,,,,第6章,6.3 扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力,,6.3.1 橫截面上的剪應(yīng)力計(jì)算公式,如圖6-8(a)所示。然后，兩端施加反向力偶矩，使其發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形，如圖6-8(b)所示?？梢杂^察到： (1)各圓周線繞軸線發(fā)生了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，但形狀、大小及相互間距離均未發(fā)生變化。 (2)所有縱向線均傾斜同一角度，原來的矩形格均變成平行四邊形，但縱向線仍可近似看做直線。,1.平面假設(shè),圖6-8,,,,,,,,第6章,6.3 扭轉(zhuǎn)

11、時(shí)橫截面上的應(yīng)力,,6.3.1 橫截面上的剪應(yīng)力計(jì)算公式,由平面假設(shè)可推出如下推論： （1）橫截面上無正應(yīng)力。因?yàn)榕まD(zhuǎn)變形時(shí)，橫截面大小、形狀、縱向間距均未發(fā)生變化，說明沒有發(fā)生線應(yīng)變。由胡克定律可知，沒有線應(yīng)變，也就沒有正應(yīng)力。 （2）橫截面上有剪應(yīng)力。因?yàn)榕まD(zhuǎn)變形時(shí)，相鄰橫截面間發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。但對(duì)截面上的點(diǎn)而言，只要不是軸心點(diǎn)，那兩截面上的相鄰兩點(diǎn)，實(shí)際發(fā)生的是相對(duì)錯(cuò)動(dòng)。相對(duì)錯(cuò)動(dòng)必會(huì)產(chǎn)生剪應(yīng)變。由剪切胡克定律τ=Gγ可知

12、，有剪應(yīng)變?chǔ)茫赜屑魬?yīng)力τ。因錯(cuò)動(dòng)沿周向，因此，剪應(yīng)力τ也沿周向，并與半徑垂直。,,,,,,,,第6章,6.3 扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力,,6.3.1 橫截面上的剪應(yīng)力計(jì)算公式,2.變形幾何關(guān)系 取變形后相距dx的兩截面，如圖6-9所示，將其放大后如圖6-10所示。設(shè)1-1截面相對(duì)2-2截面轉(zhuǎn)過角度dφ，1-1截面上任意點(diǎn)b的扭轉(zhuǎn)半徑為ρ，a點(diǎn)的導(dǎo)轉(zhuǎn)半徑為R。,圖6-9

13、 圖6-10,b點(diǎn)的剪應(yīng)變?yōu)?,,,,,,,第6章,6.3 扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力,,6.3.1 橫截面上的剪應(yīng)力計(jì)算公式,3.物理關(guān)系 由剪切胡克定律τ=Gγ 可得,上式表明，同一橫截面內(nèi)部，剪應(yīng)力τ也與扭轉(zhuǎn)半徑ρ成正比。實(shí)心圓軸與空心圓軸的剪應(yīng)力分布規(guī)律如圖所示。,,,,,,,,第6章,6.3 扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力,,6.3.1 橫截面上的剪應(yīng)力計(jì)算公式,4.靜力學(xué)關(guān)系 設(shè)作用

14、在微面積dA上的剪力為τdA，其對(duì)軸心的力矩為ρ·τdA，由于扭矩是橫截面上內(nèi)力系的合力偶矩，所以，截面上所有上述微力矩的總和就等于同一截面上的扭矩，即,,,,,,,,第6章,6.3 扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力,,6.3.1 橫截面上的剪應(yīng)力計(jì)算公式,式中 τ——橫截面上任一點(diǎn)的剪應(yīng)力； T——橫截面上的扭矩； ρ——點(diǎn)的扭轉(zhuǎn)半徑； Ip——橫截面的極慣性矩。,,,,,,,,第6章,6.3 扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力,,6.3.

15、2 最大剪應(yīng)力,最大剪應(yīng)力可用剪應(yīng)力計(jì)算公式求出,式中 T——危險(xiǎn)截面上的扭矩；Wt——危險(xiǎn)截面的抗扭截面模量。,,,,,,,,第6章,6.3 扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力,,6.3.3 極慣性矩Ip與抗扭截面模量Wt,1.圓形截面 對(duì)圓形截面，可取一半徑為ρ、寬為dρ的圓環(huán)形微面積，如圖所示，有dA=2πρdρ,,,,,,,,第6章,6.3 扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力,,6.3.3 極慣性矩Ip與抗扭截面模量Wt,2.圓環(huán)形截面與圓形

16、截面方法相同，如圖所示，有,,,,,,,,第6章,6.3 扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力,,6.3.3 極慣性矩Ip與抗扭截面模量Wt,如果令α=d/D，上式可簡(jiǎn)寫成,,,,,,,,第6章,6.3 扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力,,6.3.3 極慣性矩Ip與抗扭截面模量Wt,例6-2 實(shí)心階梯軸受力如圖所示。已知：T=4 kN·m，d1=60 mm，d2=40 mm，1-1截面上K點(diǎn)ρK=20 mm。 (1)計(jì)算1-1截面上K點(diǎn)剪應(yīng)力及截

17、面最大剪應(yīng)力； (2)計(jì)算2-2截面上最大剪應(yīng)力。,,,,,,,,第6章,6.3 扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力,,6.3.3 極慣性矩Ip與抗扭截面模量Wt,解：（1）用剪應(yīng)力公式計(jì)算1-1截面上K點(diǎn)剪應(yīng)力τK,MPa,MPa,MPa,,,,,,,,第6章,6.4 圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件及應(yīng)用,,6.4.1 圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件,為了使圓軸在工作時(shí)不被破壞，軸內(nèi)的最大扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力不得超過材料的許用剪應(yīng)力，即,式中，［τ］為材料的許用剪應(yīng)力。,塑性材料

18、［τ］=(0.5～0.6)［σ］脆性材料［τ］=(0.8～1.0)［σ］,,,,,,,,第6章,6.4 圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件及應(yīng)用,,6.4.2 扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)與扭轉(zhuǎn)破壞現(xiàn)象,對(duì)于低碳鋼，采用薄壁圓管或圓筒進(jìn)行試驗(yàn)，這樣才能得到反映剪應(yīng)力與剪應(yīng)變關(guān)系的曲線。對(duì)于鑄鐵采用實(shí)圓截面試樣也能得到反映剪應(yīng)變關(guān)系的曲線。扭轉(zhuǎn)時(shí)，韌性材料（低碳鋼）和脆弱性材料（鑄鐵）的試驗(yàn)應(yīng)力-應(yīng)變曲線分別如圖6-16（a）和（b）所示。,圖6-16,,,,,,,,

19、第6章,6.4 圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件及應(yīng)用,,6.4.3 應(yīng)用實(shí)例,例6-4 如圖6-18(a)所示，直徑d=30 mm的等截面?zhèn)鲃?dòng)軸，轉(zhuǎn)速為n=250 r/min，A輪輸入功率PA=7 kW，B、C、D輪輸出功率分別為PB=3 kW，PC=2.5 kW，PD=1.5 kW。軸材料的許用剪應(yīng)力［τ］=40 MPa，剪切彈性模量G=80 GPa。（1）畫出此等截面軸的扭矩圖；（2）校核軸的強(qiáng)度；（3）若強(qiáng)度不足，在不增加直徑的前提

20、下，能否有措施使軸的強(qiáng)度得到滿足？,,,,,,,,第6章,6.4 圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件及應(yīng)用,,6.4.3 應(yīng)用實(shí)例,圖6-18,,,,,,,,第6章,6.4 圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件及應(yīng)用,,6.4.3 應(yīng)用實(shí)例,N·m,N·m,N·m,N·m,T1=267 N·m T2=152 N·m T3=57 N·m,解：（1）首先根據(jù)軸的轉(zhuǎn)速及輪上的功率計(jì)算出各輪上

21、的外力偶矩,,,,,,,,第6章,6.4 圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件及應(yīng)用,,6.4.3 應(yīng)用實(shí)例,（2）校核軸的強(qiáng)度。由扭矩圖可知，最大扭矩在AB段，由于是等截面軸，故AB段最危險(xiǎn)。,MPa>40 MPa故此等截面軸強(qiáng)度不足。,MPa<40 MPa,（3）當(dāng)軸上有多個(gè)輪時(shí)，主動(dòng)輪在一側(cè)是不合理的。為此，將A、B輪位置互換，如圖6-18(c)所示。扭矩圖變?yōu)槿鐖D6-18(d)所示，最大扭矩在AC段，這樣，軸的強(qiáng)度滿足要求。,,

22、,,,,,,第6章,6.5 圓軸扭轉(zhuǎn)變形及剛度條件,,6.5.1 扭轉(zhuǎn)變形,1.扭轉(zhuǎn)角 扭轉(zhuǎn)角是軸橫截面間相對(duì)轉(zhuǎn)過的角度，用φ表示，單位為弧度（rad），工程中也用度（°）作扭轉(zhuǎn)角的單位。,,,,,,,,第6章,6.5 圓軸扭轉(zhuǎn)變形及剛度條件,,6.5.1 扭轉(zhuǎn)變形,2.單位扭轉(zhuǎn)角單位扭轉(zhuǎn)角是單位長度上的扭轉(zhuǎn)角，用符號(hào)θ表示，單位是rad/m。單位扭轉(zhuǎn)角通常用來表示扭轉(zhuǎn)變形的程度。扭轉(zhuǎn)胡克定律也可用另一種形式表示,式中，θ

23、單位為rad/m。,,,,,,,,第6章,6.5 圓軸扭轉(zhuǎn)變形及剛度條件,,6.5.2 剛度條件,工程設(shè)計(jì)中，通常限定軸的最大單位扭轉(zhuǎn)角θmax不得超過規(guī)定的許用單位扭轉(zhuǎn)角［θ］（°/m），即,精密機(jī)械的軸［θ］=0.15～0.5°/m一般傳動(dòng)軸［θ］=0.5～1.0°/m精度要求較低的軸［θ］=1.0～4.0°/m,,,,,,,,第6章,6.5 圓軸扭轉(zhuǎn)變形及剛度條件,,6.5.2 剛度

24、條件,例6-8 已知傳動(dòng)軸受力如圖6-23(a)所示。若材料采用45號(hào)鋼，G=80 GPa，取［τ］=60 MPa，［θ］=1.0°/m。試根據(jù)強(qiáng)度、剛度條件設(shè)計(jì)軸的直徑。,6-23,,,,,,,,第6章,6.5 圓軸扭轉(zhuǎn)變形及剛度條件,,6.5.2 剛度條件,解：（1）內(nèi)力計(jì)算,TAB=1000 N·m,TBC=3000N·m,TCD=－500 N·m,扭矩圖如圖6-23(b)所示。,（ 2

25、）危險(xiǎn)截面分析由于是等截面軸，扭矩（絕對(duì)值）最大的BC段同時(shí)是強(qiáng)度和剛度的危險(xiǎn)段。 （3）由強(qiáng)度條件,,,,,,,,第6章,6.5 圓軸扭轉(zhuǎn)變形及剛度條件,,6.5.2 剛度條件,4）由剛度條件再設(shè)計(jì)直徑 需要注意的是［θ］的單位是（°/m），所以長度單位最好統(tǒng)一用m，扭矩用N·m，G用Pa，這樣計(jì)算單位是統(tǒng)一的。,mm,,,,,,,,第6章,6.5 圓軸扭轉(zhuǎn)變形及剛度條件,,6.5.2 剛度條件,

26、mm,要同時(shí)滿足強(qiáng)度和剛度條件，d≥dmax，取d=69 mm或70 mm。,,,,,,,,第6章,6.5 圓軸扭轉(zhuǎn)變形及剛度條件,,6.5.2 剛度條件,例6-9 某傳動(dòng)軸受力如圖6-24所示。已知：MA=0.5 kN·m，MC=1.5 kN·m，軸截面的極慣性矩Ip=2×105 mm4，兩段長度為l1=l2=2 m，軸的剪切彈性模量G=80 GPa。試計(jì)算C截面相對(duì)A截面的扭轉(zhuǎn)角φAC。,圖6-24

27、,,,,,,,,第6章,6.5 圓軸扭轉(zhuǎn)變形及剛度條件,,6.5.2 剛度條件,解：（1）計(jì)算各段扭矩 TAB=0.5 kN·m TBC=－1.5 kN·m（2）計(jì)算扭轉(zhuǎn)角 扭轉(zhuǎn)角是代數(shù)值，B截面相對(duì)A截面逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，扭轉(zhuǎn)角為正；C截面相對(duì)B截面順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，扭轉(zhuǎn)角為負(fù)，兩部分求代數(shù)和時(shí)，實(shí)際上是數(shù)值相減。,,,,,,,,第6章,6.5 圓軸扭轉(zhuǎn)變形及剛度條件,,6.5.2 剛度條件,,,,,,,,,