統(tǒng)計(jì)學(xué)【第5章概率】

1、●,甲、乙二人賭博，各出賭注30元，共60元，每局甲、乙勝的機(jī)會(huì)均等，都是1/2。約定：誰(shuí)先勝滿3局則他贏得全部賭注60元，現(xiàn)已賭完3局，甲2勝1負(fù)，而因故中斷賭局，問(wèn)這60元賭注該如何分給2人，才算公平？,分 賭 注 問(wèn) 題,帕斯卡和費(fèi)爾馬一邊親自賭博，一邊仔細(xì)分析計(jì)算賭博中出現(xiàn)的各種問(wèn)題，終于完整地解決了“分賭注問(wèn)題”，并將此題的解法向更一般的情況推廣，從而建立了概率論的一個(gè)基本概念—數(shù)學(xué)期望。,分 賭 注 問(wèn) 題,而惠更斯經(jīng)過(guò)多年

2、的潛心研究，解決了擲骰子中的一些數(shù)學(xué)問(wèn)題。1657年，他將自己的研究成果寫成了專著《論擲骰子游戲中的計(jì)算》。這本書迄今為止被認(rèn)為是概率論中最早的論著。,分 賭 注 問(wèn) 題,在他們之后，對(duì)概率論這一學(xué)科做出貢獻(xiàn)的是瑞士數(shù)學(xué)雅可布·貝努利。他在前人研究的基礎(chǔ)上，繼續(xù)分析賭博中的其他問(wèn)題，給出了“賭徒輸光問(wèn)題”的詳盡解法，并證明了被稱為“大數(shù)定律”的一個(gè)定理，這是研究等可能性事件的古典概率論中的極其重要的結(jié)果。,分 賭 注 問(wèn) 題,

3、概 率 的 意 義,了解發(fā)生意外事故的可能性大小，確定保險(xiǎn)金額；了解來(lái)商場(chǎng)購(gòu)物的顧客人數(shù)的各種可能性大小，合理配置服務(wù)人員；了解每年最大洪水超警戒線可能性大小，合理確定堤壩高度；了解學(xué)生報(bào)道率，以確定床位數(shù),基 本 概 念,在自然界和人類社會(huì)生活中，普遍存在著兩類現(xiàn)象，一類是在一定條件下必然出現(xiàn)的現(xiàn)象，稱為確定性現(xiàn)象；另一類則是我們事先無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)知其結(jié)果的現(xiàn)象，稱為隨機(jī)現(xiàn)象（帶有隨機(jī)性、偶然性的現(xiàn)象）。,隨機(jī)現(xiàn)象,基 本 概 念,

4、隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)：當(dāng)人們?cè)谝欢ǖ臈l件下對(duì)它加以觀察或進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，觀察或試驗(yàn)的結(jié)果是多個(gè)可能結(jié)果中的某一個(gè)。而且在每次試驗(yàn)或觀察前都無(wú)法確知其結(jié)果，即呈現(xiàn)出偶然性?；蛘哒f(shuō)，出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果“憑機(jī)會(huì)而定”。,隨機(jī)現(xiàn)象,基 本 概 念,下面那些現(xiàn)象是隨機(jī)現(xiàn)象？A 明天的最高溫度B 在地面上拋物體會(huì)下落C 新生嬰兒的體重D 太陽(yáng)從東方升起,隨機(jī)現(xiàn)象,基 本 概 念,由于隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果事先不能預(yù)知，初看似乎毫無(wú)規(guī)律。然而人們發(fā)現(xiàn)

5、同一隨機(jī)現(xiàn)象大量重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，其每種可能的結(jié)果出現(xiàn)的頻率具有穩(wěn)定性，從而表明隨機(jī)現(xiàn)象也有其固有的規(guī)律性。人們把隨機(jī)現(xiàn)象在大量重復(fù)出現(xiàn)時(shí)所表現(xiàn)出的量的規(guī)律性稱為隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。,隨機(jī)現(xiàn)象,基 本 概 念,拋硬幣實(shí)驗(yàn),隨機(jī)現(xiàn)象,基 本 概 念,“天有不測(cè)風(fēng)云”和“天氣可以預(yù)報(bào)”有矛盾嗎？天有不測(cè)風(fēng)云：隨機(jī)現(xiàn)象一次實(shí)現(xiàn)的偶然性天氣可以預(yù)報(bào)：研究者從大量的氣象資料來(lái)探索這些偶然現(xiàn)象的規(guī)律性從表面上看，隨機(jī)現(xiàn)象的每一次觀察結(jié)果都是隨機(jī)

6、的，但多次觀察某個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，便可以發(fā)現(xiàn)，在大量的偶然之中存在著必然的規(guī)律。,隨機(jī)現(xiàn)象,基 本 概 念,為了對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性進(jìn)行研究，就需對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行重復(fù)觀察，我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，并簡(jiǎn)稱為試驗(yàn)，記為E。例如，觀察某射手對(duì)固定目標(biāo)進(jìn)行射擊；拋一枚硬幣三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)；記錄某市120急救電話一晝夜接到的呼叫次數(shù)等，均為隨機(jī)試驗(yàn)。,隨機(jī)試驗(yàn),基 本 概 念,可重復(fù)性：試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；可觀察性：

7、試驗(yàn)結(jié)果可觀察，所有可能的結(jié)果是明確的；不確定性：每次試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果事先不能準(zhǔn)確預(yù)知。,隨機(jī)試驗(yàn),基 本 概 念,我們把隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，記作e 或ω. 全體樣本點(diǎn)的集合稱為樣本空間。樣本空間用S或Ω表示.,樣本空間,樣本點(diǎn)e,基 本 概 念,例如：如果試驗(yàn)是將一枚硬幣拋擲兩次，則樣本空間由如下四個(gè)樣本點(diǎn)組成： S={(正,正), (正,反), (反,正), (反,反)},樣本空間,樣本空間在如下意義上提供了一

8、個(gè)理想試驗(yàn)的模型：在每次試驗(yàn)中必有一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)且僅有一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn) 。,基 本 概 念,如果試驗(yàn)是測(cè)試某種燈泡的壽命：則樣本點(diǎn)是一非負(fù)數(shù)，由于不能確知壽命的上界，所以可以認(rèn)為任一非負(fù)實(shí)數(shù)都是一個(gè)可能結(jié)果，故樣本空間S = {t∣t ≥0｝,樣本空間,基 本 概 念,在隨機(jī)試驗(yàn)中，人們除了關(guān)心試驗(yàn)的結(jié)果本身外，還關(guān)心試驗(yàn)的結(jié)果是否具備某一指定的可觀察的特征，概率論中將這一可觀察的特征稱為一個(gè)事件：隨機(jī)事件：在試驗(yàn)中可能發(fā)

9、生也可能不發(fā)生的事件;必然事件：在每次試驗(yàn)中都必然發(fā)生的事件;不可能事件：在任一次試驗(yàn)中都不可能發(fā)生的事件。,隨機(jī)事件,基 本 概 念,在拋擲一枚骰子的試驗(yàn)中，假設(shè)我們關(guān)心出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是否為奇數(shù)， “點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”就是一個(gè)事件。它在試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生，是一隨機(jī)事件。同樣，“點(diǎn)數(shù)小于7”與“點(diǎn)數(shù)為8”也分別是一個(gè)事件，前者在試驗(yàn)中是必然發(fā)生的，即是必然事件，后者在試驗(yàn)中是不可能發(fā)生的，即是不可能事件。,隨機(jī)事件,基 本 概 念

10、,引入樣本空間后，事件便可表示為樣本空間的子集。用A，B，…來(lái)表示。例如，擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)樣本空間： S = { 1,2,3,4,5,6｝事件B:“點(diǎn)數(shù)小于5”→ B={1,2,3,4}；事件B就是S的一個(gè)子集。B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)B中的樣本點(diǎn)1，2，3，4中的某一個(gè)出現(xiàn)。,集合表示,基 本 概 念,稱僅含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件為基本事件；稱含有兩個(gè)或兩個(gè)以上樣本點(diǎn)的事件為復(fù)合事件。,集合表示,基 本 概 念,事件關(guān)系,關(guān)系

11、,符號(hào),概率論中的意義,集合論,包含,若A發(fā)生必有B發(fā)生（B不發(fā)生則A必不發(fā)生）,A是B的子集,等價(jià),事件A包含B 事件B包含A,A與B相等,基 本 概 念,事件關(guān)系,關(guān)系,符號(hào),概率論中的意義,集合論,互不相容（互斥）,對(duì)立（逆事件）,事件A與B不能同時(shí)發(fā)生,A與B無(wú)公共元素,事件“非A”,A的余集,基 本 概 念,事件運(yùn)算,運(yùn)算,符號(hào),概率論中的意義,集合論,事件的和 （并）,事件A與B至少有一個(gè)發(fā)生,A與B的并集,事件

12、的積（交）,事件A與B同時(shí)發(fā)生,A與B的交集,事件的差,事件A發(fā)生，B不發(fā)生,A與B的差集,基 本 概 念,韋恩 圖,基 本 概 念,假定某個(gè)試驗(yàn)有有限個(gè)可能的結(jié)果，e1, e2, …，en，假定從該試驗(yàn)的條件及實(shí)施方法上去分析，我們找不到任何理由認(rèn)為其中某一結(jié)果例如ei，比任一其它結(jié)果ej,更有優(yōu)勢(shì)，則我們只好認(rèn)為所有結(jié)果在試驗(yàn)中有同等可能的出現(xiàn)機(jī)會(huì)，即1/n的出現(xiàn)機(jī)會(huì)。,古典概率,基 本 概 念,定義 若隨機(jī)試驗(yàn)滿足下

13、述兩個(gè)條件： (1) 它的樣本空間只有有限多個(gè)樣本點(diǎn)； (2) 每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同。稱這種試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑榈瓤赡芨判突蚬诺涓判汀?古典概率,基 本 概 念,古典概率,則事件A發(fā)生的概率,稱此概率為古典概率,,這種確定概率的方法稱為,古典方法.,設(shè)事件A包含其樣本空間S中K個(gè)基本事件,,即,基 本 概 念,古典概率,把C、C、E、E、I、N、S七個(gè)字母分別寫在七張同樣的卡片上，并且將卡片放入同一盒中，現(xiàn)從盒中任意一張一張地將

14、卡片取出，并將其按取到的順序排成一列，假設(shè)排列結(jié)果恰好拼成一個(gè)英文單詞：,C,I,S,N,C,E,E,基 本 概 念,古典概率,拼成英文單詞SCIENCE 的情況數(shù)為,故該結(jié)果出現(xiàn)的概率為：,這個(gè)概率很小，如果多次重復(fù)這一抽卡試驗(yàn)，則我們所關(guān)心的事件在1260次試驗(yàn)中大約出現(xiàn)1次。,解：七個(gè)字母的排列總數(shù)為7！,古 典 概 率,例：一個(gè)袋子中裝有 10 個(gè)大小相同的球，其中 3個(gè)黑球，7個(gè)白球，求：(1) 從袋子中任取一球，這個(gè)球是黑

15、球的概率；(2)從袋子中任取兩球，剛好一個(gè)白球一個(gè)黑球的概率以及兩個(gè)球全是黑球的概率。,古 典 概 率,(1) 從袋子中任取一球，這個(gè)球是黑球的概率；,(1),解,10 個(gè)球中任取一個(gè),,從,而根據(jù)古典概率計(jì)算,,的概率為,古 典 概 率,(2)從袋子中任取兩球，剛好一個(gè)白球一個(gè)黑球的概率以及兩個(gè)球全是黑球的概率。,解,(2),10 個(gè)球中任取兩球的取法有,種,,其中,種取法,,事件“剛好取到一個(gè)白球一個(gè)黑球”，,古 典 概 率,(2

16、)從袋子中任取兩球，剛好一個(gè)白球一個(gè)黑球的概率以及兩個(gè)球全是黑球的概率。,解,(2),10 個(gè)球中任取兩球的取法有,種,,其中,兩個(gè)球均是黑球的取法有,種,,為,球均為黑球”，則：,事件“兩個(gè),頻 率 的 定 義,次數(shù)為,頻率具有下述基本性質(zhì):,1.,2.,3.,則,定義：若在相同條件下進(jìn)行n次試驗(yàn)，,其中 發(fā)生的,頻 率 的 穩(wěn) 定 性,在充分多次試驗(yàn)中，事件的頻率總在一個(gè)定值附近擺動(dòng)，而且，試驗(yàn)次數(shù)越多，一般來(lái)說(shuō)擺動(dòng)越小.

17、 這個(gè)性質(zhì)叫做頻率的穩(wěn)定性。頻率在一定程度上反映了事件發(fā)生的可能性大小。盡管每進(jìn)行一連串（n次）試驗(yàn)，所得到的頻率可以各不相同，但只要 n相當(dāng)大，頻率與概率是會(huì)非常接近的。,,定義,在相同條件下進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn),,若事件A,發(fā)生的頻率,隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大而,穩(wěn)定地在某個(gè)常數(shù)P附近擺動(dòng),,則稱P為事件A的概率，,記為P(A).,概 率 的 統(tǒng) 計(jì) 定 義,,概率被視為頻率的穩(wěn)定值,,從而應(yīng)具有與頻率相應(yīng)的,性質(zhì):,1.,,2.,3.

18、,則,概 率 的 統(tǒng) 計(jì) 定 義,,例如，若我們希望知道某射手中靶的概率，應(yīng)對(duì)這個(gè)射手在同樣條件下大量射擊情況進(jìn)行觀察記錄。,若他射擊n發(fā)，中靶m發(fā)，當(dāng)n很大時(shí)，可用頻率m/n作為他中靶概率的估計(jì)。,概 率 的 統(tǒng) 計(jì) 定 義,,例：從某魚池中取 100 條魚,做上記號(hào)后再放入該魚池中。先從該池中任意捉來(lái) 40 條魚，發(fā)現(xiàn)其中兩條有記號(hào)，問(wèn)池內(nèi)大約有多少條魚?,解,設(shè)池內(nèi)有n條魚，,則從池中捉到一條有記號(hào)魚的,概率為100/n ，,

19、它近似于捉到有記號(hào)魚的頻率2/40，,即,,故池內(nèi)大約有2000條魚.,概 率 的 統(tǒng) 計(jì) 定 義,概 率 的 統(tǒng) 計(jì) 定 義,,拋硬幣試驗(yàn)中正反面出現(xiàn)的概率各是1/2，如果你做了100次試驗(yàn)，出現(xiàn)正面這個(gè)事件發(fā)生了20次，你會(huì)有什么想法？如果另外一位同學(xué)做了100次試驗(yàn)，前99次都是正面，你又會(huì)有什么想法？,基 本 概 念,主觀概率,一些概率既不能由等可能性來(lái)計(jì)算，也不可能從試驗(yàn)得出。比如，你五年內(nèi)去歐洲旅游的概率等。這種概率稱為

20、主觀概率(subjective probability)。可以說(shuō)，主觀概率是一次事件的概率?；?yàn)榛谒莆盏男畔?，某人?duì)某事件發(fā)生的自信程度。,概 率 的 性 質(zhì),性質(zhì)1,概 率 的 性 質(zhì),性質(zhì)4,例,某城市中發(fā)行 2 種報(bào)紙,經(jīng)調(diào)查,,在這,2 種報(bào)紙的訂戶中,,訂閱,求只訂一種報(bào)紙的概率,例,例,條 件 概 率,Monty Hall problem,條 件 概 率,如在事件A發(fā)生的條件下求事件B發(fā)生的概率，將此概率記作P(B|

21、A).,P(B)=1/6，,例如，擲一顆均勻骰子，B={擲出2點(diǎn)}，,A={擲出偶數(shù)點(diǎn)}，,P(B|A)=？,已知事件A發(fā)生，此時(shí)試驗(yàn)所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是A，,于是P(B|A)= 1/3.,A中共有3個(gè)元素，它們的出現(xiàn)是等可能的，其中只有1個(gè)在集A中，,條 件 概 率,定義,設(shè)A、B是兩個(gè)事件，,且,則稱,(1),為在事件A發(fā)生的條件下，,事件B的條件概率.,注：,若事件A已,發(fā)生，且又是B中的樣本點(diǎn)，則此點(diǎn),必屬于AB.,因已知

22、A已發(fā)生,,故A成為新的樣本空間。,用韋恩圖表達(dá)(1)式.,條 件 概 率,定義,設(shè)A、B是兩個(gè)事件，,且,則稱,為在事件A發(fā)生的條件下，,事件B的條件概率.,P(AB)為事件A、B同時(shí)發(fā)生的概率，即聯(lián)合概率。,P(A)或P(B)為事件A或B的邊緣概率。,,條 件 概 率 的 計(jì) 算,,1) 用定義計(jì)算:,條 件 概 率 的 計(jì) 算,條 件 概 率 的 計(jì) 算,,2)從加入條件后改變了的情況去算,P(A|B）=,B發(fā)生后的縮減樣

23、本空間所含樣本點(diǎn)總數(shù),在縮減樣本空間中A所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù),條 件 概 率,Monty Hall problem,聯(lián) 合 概 率,由條件概率的定義：,即 若P(A)>0，則P(AB)=P(A)P(B|A),而 P(AB)=P(BA),將A、B的位置對(duì)調(diào)，有,故 P(B)>0，則P(AB)=P(B)P(A|B),若 P(B)>0，則P(BA)=P(B)P(A|B),條 件 概 率,例 設(shè)某種動(dòng)物由出生

24、算起活到20年以上的概率為0.8，活到25年以上的概率為0.4. 問(wèn)現(xiàn)年20歲的這種動(dòng)物，它能活到25歲以上的概率是多少？,解：設(shè)A={能活20年以上}，B={能活25年以上},依題意， P(A)=0.8, P(B)=0.4,所求為P(B|A) .,一場(chǎng)精彩的足球賽將要舉行，5個(gè)球迷好不容易才搞到一張入場(chǎng)券。大家都想去，只好用抽簽的方法來(lái)解決。,5張同樣的卡片，只有一張上寫有“入場(chǎng)券”，其余的什么也沒(méi)寫。將它們放在一起，洗勻，讓5個(gè)

25、人依次抽取。,到底誰(shuí)說(shuō)的對(duì)呢？,“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會(huì)大. ”,“大家不必爭(zhēng)先恐后，你們一個(gè)一個(gè)按次序來(lái)，誰(shuí)抽到入場(chǎng)券的機(jī)會(huì)都一樣大.”,事 件 的 獨(dú) 立 性,顯然 P(A|B)=P(A),這就是說(shuō)，已知事件B發(fā)生，并不影響事件A發(fā)生的概率，這時(shí)稱事件A、B獨(dú)立。,A={第二次擲出6點(diǎn)}， B={第一次擲出6點(diǎn)}，,將一顆均勻骰子連擲兩次，,設(shè),事 件 的 獨(dú) 立 性,由乘法公式知，當(dāng)事件A、B

26、獨(dú)立時(shí)，有： P(AB)=P(A) P(B),P(AB)=P(B)P(A|B),定義：若兩事件A、B滿足 P(AB)= P(A) P(B) 則稱A、B獨(dú)立，或稱A、B相互獨(dú)立。,例 從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}，問(wèn)事件A、B是否獨(dú)立？,可見(jiàn), P(AB)=P(A)P(B)，,由于 P(A)=4/52=1/13,,說(shuō)明事

27、件A、B獨(dú)立。,解：,P(AB)=2/52=1/26,P(B)=26/52=1/2,例5 有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為1,2,3，1號(hào)箱裝有1個(gè)紅球4個(gè)白球，2號(hào)箱裝有2紅3白球，3號(hào)箱裝有3紅球。某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，求取得紅球的概率。,1,,,,,2,,,,,3,,,,,,解：記 Ai={球取自i號(hào)箱}， i=1,2,3; B ={取得紅球},即 B= A1B+A2B+A3B， 且 A1B、A2B、A3B兩兩互斥

28、,B發(fā)生總是伴隨著A1，A2，A3 之一同時(shí)發(fā)生，,P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B),運(yùn)用加法公式得,將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計(jì)算中常用的全概率公式。,對(duì)求和中的每一項(xiàng)運(yùn)用乘法公式得,P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B),代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：P(B)=8/15,全 概 率 公 式,設(shè)S為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，A1,A2,…,An是兩兩互斥的事件，且有P(Ai)>0，i =1

29、,2,…,n,,稱滿足上述條件的A1,A2,…,An為完備事件組.,則對(duì)任一事件B，有,全 概 率 公 式,全概率公式的來(lái)由, 不難由上式看出:“全”部概率P(B)被分解成了許多部分之和。,它的理論和實(shí)用意義在于：在較復(fù)雜情況下直接計(jì)算P(B)不易，但B總是伴隨著某個(gè)Ai出現(xiàn)，適當(dāng)?shù)厝?gòu)造這一組Ai往往可以簡(jiǎn)化計(jì)算.,全 概 率 公 式,某一事件B的發(fā)生有各種可能的原因(i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，則B發(fā)生的概

30、率是,每一原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生，故B發(fā)生的概率是各原因引起B(yǎng)發(fā)生概率的總和，即全概率公式.,P(B)=P(Ai)P(B |Ai),我們還可以從另一個(gè)角度去理解全概率公式：,例:（敏感性問(wèn)題的調(diào)查）學(xué)生閱讀黃色書刊和看黃色影像會(huì)影響學(xué)生身心健康發(fā)展，但這些都是避開(kāi)家長(zhǎng)進(jìn)行的，屬于個(gè)人隱私行為。要調(diào)查觀看黃色書刊和影像的學(xué)生在全體學(xué)生中所占的比例p是一件難事。這里的關(guān)鍵是要設(shè)計(jì)一個(gè)調(diào)查方案，使被調(diào)查者愿意做出真實(shí)的回答又能保守個(gè)隱私。,St

31、anley L.Warner發(fā)明了一種可以消除人們抵觸情緒的隨機(jī)化應(yīng)答方法。調(diào)查方案的核心是如下兩個(gè)問(wèn)題：?jiǎn)栴}A：你的生日是否在7月1日之前？ 問(wèn)題B：你是否看過(guò)黃色書刊或影像？,被調(diào)查者事先從一個(gè)裝有黑球和白球的箱子中隨機(jī)抽取一個(gè)球，看過(guò)顏色后又放回。若抽出白球則回答問(wèn)題A；若抽出黑球則回答問(wèn)題B。,箱中黑球所占比率a是已知的，即 P {任意抽取一個(gè)是黑球}=a P {任意抽取一個(gè)是白球}= 1-a,被調(diào)查者無(wú)論回答A 題或

32、 B，都只需在一張只有“是”和“否”兩個(gè)選項(xiàng)的答卷上作出選擇，然后投入密封的投票箱內(nèi)。,上述抽球和答卷都在一間無(wú)人的房間內(nèi)進(jìn)行，任何人都不知道被調(diào)查者抽到什么顏色的球以及在答卷中如何選擇，這樣就不會(huì)泄露個(gè)人秘密，從而保證了答卷的真實(shí)可靠性。,當(dāng)有較多的人參加調(diào)查后，打開(kāi)投票箱進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。設(shè)共有n張有效答卷，其中k張選擇“是”，則可用頻率k/n估計(jì)回答“是”的概率β ，記為：,β=p{答’是’}= k/n,回答是有兩種情況：一種是摸到白球

33、對(duì)問(wèn)題A回答是，也就是被調(diào)查者“生日在7月1日之前”的概率，一般認(rèn)為是0.5，即 P{答是|抽白球} =0.5,另一種是摸到黑球后對(duì)問(wèn)題B回答是，這個(gè)條件概率就是看不健康書刊或影像的學(xué)生在參加調(diào)查的學(xué)生中的比率p，即：P{答是|抽黑球} =p,利用全概率公式得： P{答是}=P{抽白球} ×P {答是|抽白球}＋P {抽黑球} ×P {答是|抽黑球},如在一項(xiàng)調(diào)查大學(xué)生看過(guò)不健康書刊或影

34、像的調(diào)查時(shí)共有全校1583名學(xué)生參加，最后統(tǒng)計(jì)答卷，全部有效。其中回答“是”的有389張，據(jù)此可估算出:,假設(shè)箱子中共有50個(gè)球，其中30個(gè)黑球，則a=0.6 。,實(shí)際中還有下面一類問(wèn)題，是“已知結(jié)果求原因”,這一類問(wèn)題在實(shí)際中更為常見(jiàn)：已知某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生可能性大小。,某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號(hào)箱的概率。,或者問(wèn):該球取自哪號(hào)箱的可能性最大?,有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為1,2,3，1號(hào)箱裝有1個(gè)

35、紅球4個(gè)白球，2號(hào)箱裝有2紅球3白球，3號(hào)箱裝有3紅球。某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號(hào)箱的概率。,記 Ai={球取自i號(hào)箱}, i=1,2,3; B ={取得紅球},求P(A1|B),運(yùn)用全概率公式計(jì)算P(B),將這里得到的公式一般化，就得到,貝葉斯公式,貝 葉 斯 公 式,該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出。它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致B發(fā)生的每個(gè)原因的概

36、率。,則對(duì)任一事件,有,例 某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對(duì)一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.95，正常人對(duì)這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.04，現(xiàn)抽查了一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性，問(wèn)此人是癌癥患者的概率有多大?,則 表示“抽查的人不患癌癥”.,解:,設(shè) C={抽查的人患有癌癥}， A={結(jié)果是陽(yáng)性},由貝葉斯公式，可得,代入數(shù)據(jù)計(jì)算得: P(C|A)= 0.1066,現(xiàn)在來(lái)分析一下結(jié)果的意義：,檢出陽(yáng)性是否一定患有癌癥?,這種試驗(yàn)

37、對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有無(wú)意義？,如果不做試驗(yàn)，抽查一人是患者的概率P(C)=0.005,患者陽(yáng)性反應(yīng)的概率是0.95，若試驗(yàn)后得陽(yáng)性反應(yīng)，則根據(jù)試驗(yàn)得來(lái)的信息，此人是患者的概率為 P(C|A)= 0.1066,這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有意義.,從0.005增加到0.1066,將近增加約21倍.,1. 試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有無(wú)意義？,2. 檢出陽(yáng)性是否一定患有癌癥?,,試驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性,此人確患癌癥的概率為

38、 P(C｜A)=0.1066,即使某人檢出陽(yáng)性，尚可不必過(guò)早下結(jié)論他有癌癥，這種可能性只有10.66%，此時(shí)醫(yī)生常要通過(guò)再試驗(yàn)來(lái)確認(rèn)。,貝葉斯公式從數(shù)量上刻畫了這種變化。,在貝葉斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分別稱為原因的先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率。,P(Ai)(i=1,2,…,n)是在沒(méi)有進(jìn)一步信息（不知道事件B是否發(fā)生）的情況下，人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識(shí)。當(dāng)有了新的信息