第二章狀態(tài)空間描述1講

1、第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述,Modern Control Theory,線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述狀態(tài)空間描述的基本概念 狀態(tài)、狀態(tài)變量 狀態(tài)矢量（狀態(tài)向量） 狀態(tài)空間 狀態(tài)方程 輸出方程 狀態(tài)空間表達式 狀態(tài)變量結(jié)構(gòu)圖,本章主要內(nèi)容,本 章 主 要 內(nèi) 容,機理分析法列寫狀態(tài)空間表達式由微分方程求狀態(tài)空間表達式系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣系統(tǒng)狀態(tài)方程的線性變換 基本知識及概念 狀態(tài)方程的兩種標準形式 對

2、角形 約當(dāng)形 將狀態(tài)方程化為標準形式,本章主要內(nèi)容,重點內(nèi)容：要求熟練掌握電路、機電系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的建立（由系統(tǒng)的物理機理或由微分方程推導(dǎo)狀態(tài)空間表達式）。線性變換的基本性質(zhì)以及對角和約當(dāng)標準型。傳遞函數(shù)矩陣的定義及求?。ㄓ蔂顟B(tài)空間表達式）。,本章重點內(nèi)容,2.1 線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述,系統(tǒng)描述中常用的基本概念1. 系統(tǒng)：一些相互制約的部分所構(gòu)成的整體。 典型控制系統(tǒng)由被控對象、傳感器

3、、執(zhí)行器和控制器組成。 被控過程具有若干輸入端和輸出端。2. 輸入和輸出： 輸入------由外部施加到系統(tǒng)上的全部激勵 輸出------從外部量測到的來自系統(tǒng)的信息,典 型 控 制 系 統(tǒng) 方 框 圖,,2.1 線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述,3. 系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述的兩種基本方法：,4. 松弛性:,若系統(tǒng)的輸出 由輸入 唯一確定，則稱系統(tǒng)在 是松弛

4、的。,系統(tǒng)的外部描述（輸入－輸出描述）→傳遞函數(shù)或高階微分方程, 不計所有內(nèi)部中間變量。 系統(tǒng)的內(nèi)部描述→狀態(tài)空間表達式，基于系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)， 計及內(nèi)部狀態(tài)，是對系統(tǒng)的一

5、 種完整的描述。,,2.1 線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述,算子,,5. 線性：一個松弛系統(tǒng)，當(dāng)且僅當(dāng)對任何輸入 及任意常數(shù) ， 均有 則該系統(tǒng)稱為線性的，否則為非線性。6. 定常性（時不變性）：,2.1 線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描

6、述,(可加性),(齊次性),一個松弛系統(tǒng)當(dāng)且僅當(dāng)對任何輸入u和任意實數(shù) ，均有,則稱系統(tǒng)是定常的，否則稱為時變的。,-位移算子,定常性（時不變性）,狀態(tài)和狀態(tài)變量 狀態(tài)向量 狀態(tài)空間 狀態(tài)方程 輸出方程狀態(tài)空間表達式狀態(tài)變量結(jié)構(gòu)圖,2.2 狀態(tài)空間描述的基本概念,一、狀態(tài)和狀態(tài)變量1、狀態(tài)：表征系統(tǒng)在時間域中運動的信息和行為。2、狀態(tài)變量：足以完全表征系統(tǒng)運動狀態(tài)的 最小個數(shù)的一組變量。

7、注意：1)、狀態(tài)變量的選取具有非唯一性，可用一組數(shù)目最少的變量作為狀態(tài)變量；,相互獨立，其個數(shù)等于微分方程的階數(shù),∵ 微分方程階數(shù)取決于獨立儲能元件的個數(shù)∴ 狀態(tài)變量的個數(shù)應(yīng)等于獨立儲能元件的個數(shù),2)、狀態(tài)變量不同于輸出變量，其不一定在物理上可量測，有時只具有數(shù)學(xué)意義。二、狀態(tài)向量（狀態(tài)矢量）,若描述系統(tǒng)狀態(tài)n狀態(tài)變量用表示，并把這些狀態(tài)變量看作是向量(矢量)的分量，則向量 稱為n維狀態(tài)向量，記作：

8、 或：,三、狀態(tài)空間,以狀態(tài)變量 作為坐標軸所構(gòu)成的n維空間稱為狀態(tài)空間。,說明：1)、系統(tǒng)在任一時刻的狀態(tài)，在狀態(tài)空間中用一點表示。 2)、隨著時間的推移，將在狀態(tài)空間中描繪出一條軌跡，稱為狀態(tài)軌跡。,狀態(tài)空間,四、狀態(tài)方程---描述輸入與系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的變化關(guān)系 描述系統(tǒng)狀態(tài)變量與輸入變量之間關(guān)系的一階微分方程組(連續(xù)系統(tǒng))或一階差分方程組(離散系統(tǒng))稱為狀態(tài)方程

9、。說明：1)、狀態(tài)變量的選擇具有非唯一性，因此狀態(tài)方程也具有非唯一性； 2)、雖然狀態(tài)方程的形式不同，但它們的本質(zhì)相同，都描述了同一個系統(tǒng)； 3)、不同形式的狀態(tài)方程之間實際上存在著某種線性變換關(guān)系。,五、輸出方程 描述系統(tǒng)輸出量與狀態(tài)變量﹑（輸入量）之間函數(shù)關(guān)系的代數(shù)方程 稱為輸出方程。,由系統(tǒng)任務(wù)確定或給定,指定 作為輸出，則：,或,用y 表示,矩陣表示式為：或 ：,,六、狀態(tài)

10、空間表達式 {A，B，C，D} 狀態(tài)方程和輸出方程的組合稱為狀態(tài)空間表達式，亦稱為動態(tài)方程。 說明：1、狀態(tài)空間表達式是對系統(tǒng)動態(tài)行為的完全 的描述，因為它既表征了輸入對于系統(tǒng)內(nèi)部狀 態(tài)的因果關(guān)系，又反映了內(nèi)部狀態(tài)對于外部輸 出的影響。 2、狀態(tài)空間表達式是非唯一的，因為系統(tǒng)狀 態(tài)變量的選擇

11、是非唯一的。,設(shè)單輸入-單輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng)，其狀態(tài)變量為： ，則狀態(tài)方程的一般形式為:,輸出方程為：,,狀態(tài)空間表達式,狀態(tài)空間表達式寫成一階矩陣微分方程的形式為 :,簡記為：,系統(tǒng)矩陣或系數(shù)矩陣:表示系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的聯(lián)系，為 方陣,輸出矩陣,輸入矩陣或控制矩陣，為輸入對狀態(tài)的作用， 的列陣,n 維狀態(tài)變量,對于一個具有 個輸入﹑ 個輸出的復(fù)雜系統(tǒng)，其狀態(tài)

12、方程為:,輸出方程的一般形式為：,多輸入-多輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的矢量形式為：,可簡寫為：,系統(tǒng)矩陣或系數(shù)矩陣:表示系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的聯(lián)系，為 方陣,n維狀態(tài)變量,輸出矩陣,m 維輸出向量,輸入矩陣,r維輸入向量 （控制向量 ）,直接轉(zhuǎn)移矩陣 (關(guān)聯(lián)矩陣 ),線性時不變系統(tǒng)模型：,線性時變系統(tǒng)模型：,線性定常離散系統(tǒng)模型：,,七、狀態(tài)變量結(jié)構(gòu)圖,+,+,+,+,,討論：1、狀態(tài)變量的獨立性。 2、由于狀態(tài)變量的選

13、取不唯一，因此狀態(tài)方程、輸出方程、動態(tài)方程也都不唯一。但是，用獨立變量所描述的系統(tǒng)的維數(shù)(階數(shù))應(yīng)該是唯一的，與狀態(tài)變量的選取方法無關(guān)。 3、動態(tài)方程對于系統(tǒng)的描述是充分的和完整的，即系統(tǒng)中的任何一個變量均可用狀態(tài)方程和輸出方程來描述。,例2.1、試分別確定下圖（a）、（b）所示電路的獨立狀態(tài)變量。 圖中u、i分別是是輸入電壓和輸入電流，y為輸出電壓，xi為電容器電壓或電感器電流。,（a）

14、 （b）,因此，只有一個變量是獨立的，狀態(tài)變量只能選其中一個，即用其中的任意一個變量作為狀態(tài)變量便可以確定該電路的行為。實際上，三個串并聯(lián)的電容可以等效為一個電容。 對圖（b），x1 = x2，因此兩者相關(guān)，電路只有兩個變量是獨立的，即（x1和x3）或(x2和x3)，可以任用其中一組變量如（x2，x3）作為狀態(tài)變量。,解：并非所有電路中的電容

15、器電壓和電感器電流都是獨立變量。 對圖（a），不失一般性，假定電容器初始電壓值均為0，有,列寫狀態(tài)空間表達式（ 機理分析法）(1)、根據(jù)具體系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其研究目的，選擇一定的物理量作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；(2)、 根據(jù)對象或環(huán)節(jié)所遵循的物理或化學(xué)定律，列寫出描述變化過程的原始方程；(3)、列出矩陣微分方程形式的狀態(tài)空間表達式。,2.3 機理分析法建立狀態(tài)空間表達式,幾個不同系統(tǒng)狀態(tài)方程的列寫示例：,例2.2、電路系統(tǒng)狀態(tài)空間表

16、達式的列寫示例,求圖示RLC回路的狀態(tài)空間表達式。,獨立儲能元件(2個)： 電容C 和電感 L,可用二階微分方程式描述該系統(tǒng),以 和 作為該系統(tǒng)的兩個狀態(tài)變量：,,設(shè)狀態(tài)變量 ，則該系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:,寫成向量矩陣形式為:,簡記為:,即：,若改選 和 作為兩個狀態(tài)變量，令:則該系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:,狀態(tài)變量選取的不同，狀態(tài)方程也不同,,,指定

17、 作為輸出，則：,或,用y 表示,輸出方程的矩陣表示式為：或 ：,,例2.3、力學(xué)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的列寫示例,機械運動系統(tǒng)如下圖所示， M為物體的質(zhì)量，K為彈簧系數(shù)，B為阻尼器的阻尼系數(shù)，f為外加的力，y為受力后物體的位移，v為物體的運動速度。 試以外力f為輸入、位移y為輸出，寫出該機械系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。,,,,,,,,,,,,,,,,f,彈簧質(zhì)量阻尼器系統(tǒng),解：設(shè) , , ,則有,根據(jù)

18、牛頓第二定律可寫出該系統(tǒng)的運動方程：,彈簧質(zhì)量阻尼器系統(tǒng),,,,,,,,,,,,,,,,,,可得狀態(tài)空間表達式為：,狀態(tài)方程,輸出方程,,例2.4、倒立擺裝置長度為l ，質(zhì)量為m的單倒立擺，用鉸鏈安裝在質(zhì)量為M的小車上，小車受電機操縱，在水平方向施加控制力u，相對參考坐標系產(chǎn)生位移x。要求建立該系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。,設(shè)小車瞬時位置為擺心瞬時位置為在水平方向，由牛頓第二定律即：在垂直方向：慣性力矩與重力矩平衡

19、,即: 則有：聯(lián)立求解：,,,選取狀態(tài)變量：,,,2.4 由微分方程求狀態(tài)空間表達式,經(jīng)典控制論：輸入、輸出變量間的高階微分方程描 述系統(tǒng)現(xiàn)代控制論：輸入、狀態(tài)、輸出變量間的一階微分 方程組描述系統(tǒng)提出問題：需選取合適的狀態(tài)變量，推導(dǎo)出狀態(tài)空

20、 間表達式，保持原輸入輸出關(guān)系不變。,,,2.4 由微分方程求狀態(tài)空間表達式,1）輸入變量沒有導(dǎo)數(shù)項的情形 SISO線性定常連續(xù)系統(tǒng)微分方程的一般形式為第一步：選擇狀態(tài)變量，n階系統(tǒng)，一般選擇n個狀態(tài)變量 令,,,,第二步：求一次導(dǎo)數(shù)，并代入原微分方程，有,,,第三步：將方程組表示為向量-矩陣形式,,,,,其中，,這樣的A陣又稱友矩陣,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

21、,,,,,,,,,,,,,,,,例2.5 已知系統(tǒng)的輸入輸出微分方程為試列寫其狀態(tài)空間表達式。解：取狀態(tài)變量,可得,,寫成矩陣形式,2）系統(tǒng)輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項的情形 SISO線性定常連續(xù)系統(tǒng)的微分方程一般形式為：一般輸入量中導(dǎo)數(shù)項的次數(shù)小于或等于系統(tǒng)的次數(shù)n。為避免在狀態(tài)方程中出現(xiàn)u的導(dǎo)數(shù)項，可選擇如下一組狀態(tài)變量。 設(shè) ，選?。?,,,是n個待定系數(shù),,即：,,,得到

22、將求出的 代入上式， 可得：,由已知系統(tǒng)微分方程,,繼續(xù)將上式代入前面求得的：可得,,合顯然，若理選擇系數(shù) ，可使得上式中u的各階導(dǎo)數(shù)項的系數(shù)都等于0,,即可解得：,令上式中u的系數(shù)為 ，則： 最后可得系統(tǒng)的狀態(tài)方程：,,,,可寫成向量-矩陣的形式： 即：,,,又,,狀態(tài)變量結(jié)構(gòu)圖,,,

23、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例2.6 已知系統(tǒng)的輸入輸出微分方程為,,試列寫其狀態(tài)空間表達式,解：由微分方程系數(shù)知,首先求,直接寫出狀態(tài)空間表達式,,另：對輸入項含有導(dǎo)數(shù)項的微分方程，還有一種形式的狀態(tài)空間表達式（推導(dǎo)略）：,注意：此種表示形式在bn=0即輸入的階次低于n時，狀態(tài)空間表達式的列寫非常直觀簡便。,因為若bn=0，則有,如前面例2.6 已知