g彎曲變形

1、§6.1 工程中的彎曲變形問題,第六章 彎曲變形,在工程實踐中，對某些受彎構件，除要求具有足夠的強度外，還要求變形不能過大，即要求構件有足夠的剛度，以保證結構或機器正常工作。,搖臂鉆床的搖臂或車床的主軸變形過大，就會影響零件的加工精度，甚至會出現廢品。,橋式起重機的橫梁變形過大,則會使小車行走困難，出現爬坡現象。,但在另外一些情況下，有時卻要求構件具有較大的彈性變形，以滿足特定的工作需要。,例如，車輛上的疊板彈簧，要求有

2、足夠大的變形，以緩解車輛受到的沖擊和振動作用。,1.撓曲線,一、彎曲變形的基本概念,撓曲線,§6.2 撓曲線的微分方程,2.撓度和轉角,規(guī)定：向上的撓度為正 逆時針的轉角為正,撓曲線方程：,轉角方程：,:是度量彎曲變形的兩個基本量,二、撓曲線的近似微分方程式,純彎曲梁中性層的曲率公式：,對橫力彎曲（l / h >5），剪力對彎曲變形的影響很小，上式近似成立，即,二、撓曲線的近似微分方程式,平面曲線

3、 上任意點的曲率為,平面曲線 上任意點的曲率,,,——撓曲線的近似微分方程式,,§6.3 用積分法求彎曲變形,兩邊對 x 變量積分一次，有,（a）,—— 截面轉角方程,對 x 變量再次積分,（b）,—— 梁的撓曲線方程,1.撓度與轉角方程,§6.3 用積分法求彎曲變形,對等截面梁，EI =常數，有,C、D為積分常數，由邊界條件或變形連續(xù)性條件確定。,2.邊界條件,,,

4、,,桿BC 的伸長量,3.連續(xù)性條件,如：對C截面有,撓曲線的任意點上，有唯一的撓度和轉角,—— 稱為梁變形的連續(xù)性條件,3.連續(xù)性條件,撓曲線的任意點上，有唯一的撓度和轉角。,—— 稱為梁變形的連續(xù)性條件。,A,兩種不可能變形情況,已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡支梁在均布載荷q作用下的轉角方程、撓曲線方程，并確定θmax和wmax。,由邊界條件：,? 例題,解：,解：,梁的轉角方程,梁的撓曲線方程,最大轉角和最大撓度分別為：

5、,已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示懸臂梁在集中力P作用下的轉角方程、撓曲線方程，并確定θmax和wmax。,解：,由邊界條件：,? 例題,已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示懸臂梁在集中力P作用下的轉角方程、撓曲線方程，并確定θmax和wmax。,? 例題,最大轉角和最大撓度分別為：,圖示簡支梁，EI=常數。試討論該簡支梁的彎曲變形。,? 例題,分段寫彎矩方程：,AC段,CB段,AC段,CB段,帶入撓曲線近似微分方程，分段積分,確定積分常數

6、：,邊界條件,變形連續(xù)性條件,AC段,CB段,轉角方程，撓曲線方程,確定最大值：,§6.4 用疊加法求彎曲變形,圖示梁，任意橫截面的彎矩為：,一、疊加法思想,單獨作用下的彎矩,令 為 單獨作用下的撓度,當梁上同時作用有幾種載荷時，可分別求出每一種載荷單獨作用下的變形，然后將各個載荷單獨引起的變形疊加，得這些載荷共同作用時的變形。,疊加法：,二、梁的剛度條件,剛度條件：,、

7、 是構件的許可撓度和轉角，它們 決定于構件正常工作時的要求。,用疊加法求,,,,,,A,B,q,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,P,,,,M,兩根材料相同、抗彎剛度相同的懸臂梁Ⅰ、Ⅱ如圖示，Ⅱ梁的最大撓度是Ⅰ梁的多少倍？,16倍,簡支梁在整個梁上受均布載荷 q 作用，若其跨度增加一倍，則其最大撓度增加多少倍？,16倍,M,,,,,,,,,,,,P,,,,,,,,,A,B,C,若圖示梁B端的轉角θB=0，則力偶矩M等

8、于多少？,欲使AD梁C點撓度為零，求P與q的關系。,,,,,,A,B,q,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D,C,,P,,,,,,,,A,B,q,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D,C,用疊加法求圖示變截面梁B、C截面的撓度 wB 、 wC,,,,,,,,,,,,,,,A,B,C,,,,P,EI,2EI,,,,,,,,,,A,B,C,,,,P,2EI,M,,,,,,用疊加法求圖示變截面梁B、C截面的撓度

9、wB 、 wC,,,,,,,,,,,,,,,A,B,C,,,,P,EI,2EI,,,,,,,,,,A,B,C,,,,P,2EI,M,,,,,,,,,,,,,,,,B,,C,,P,EI,,用疊加法求圖示梁B端的撓度和轉角。,解除多余約束，代之相應的反力；變靜不定梁為形式上的靜定梁系統(tǒng),§6.5 簡單超靜定梁,一、靜不定梁的概念,不能由靜力平衡方程求出全部未知量的梁,—— 靜不定梁 或超靜定梁,二、相當系統(tǒng)的建立,方法步驟：,

10、—— 該梁稱為原靜不定梁的相當系統(tǒng),,,,,,,,,,,,,,,A,,,B,q,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,求出解除約束處的變形，并與實際變形比較，得補充方程；,,,,,,,,,,,,,,A,,,B,q,,,,,,,,,,,,,,,,,,,解除多余約束，代之相應的反力；變靜不定梁為形式上的靜定梁系統(tǒng),—— 該梁稱為原靜不定梁的相當系統(tǒng),三、用變形比較法解靜不定梁,求圖示靜不定梁的支反力。,將支座B看成多余約束，變形協調條件為：

11、,,,,,,,,,,,,,,A,,,B,q,,,,,,,,,,,,,,,,,,,另解：將支座A對截面轉動的約束看成多余約束，變形協調條件為：,用疊加法求圖示梁Ｃ端的轉角和撓度。,用疊加法求圖示梁跨中的撓度vC和B點的轉角θB（k為彈簧系數）。,解：彈簧縮短量,梁AB，橫截面為邊長為a的正方形，彈性模量為E1；桿BC，橫截面為直徑為d的圓形，彈性模量為E2。試求BC桿的伸長及AB梁中點的撓度。,§6.6 提高彎曲剛度的一些措施