廣州初中數(shù)學(xué)教研數(shù)學(xué)變式教學(xué)課題研究55

1、廣州市育才中學(xué)執(zhí)筆人： 梁結(jié)文 劉暢 韓倬,數(shù)學(xué)變式教學(xué)課題研究,研究背景,有效教學(xué)是新課標(biāo)提出的新要求。所謂的有效教學(xué)是指教師在以學(xué)生發(fā)展為本的教育思想指導(dǎo)下，通過選擇有效的教學(xué)策略，達(dá)成預(yù)定的教學(xué)目標(biāo)，追求高效的教學(xué)效率。我校在初中各年級的數(shù)學(xué)有效教學(xué)研究中，進(jìn)行了大量的變式教學(xué)研究，使變式教學(xué)成為了我校提高數(shù)學(xué)課堂效率的重要策略。,研究的主要內(nèi)容,變式教學(xué)的具體策略是：回顧導(dǎo)入——由簡單問題引入回顧知識要點(diǎn)；多題一法—

2、—由問題驅(qū)動發(fā)現(xiàn)題組中的通用方法；一題多變——變式探究展示思維過程， 發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的共性；課題小結(jié)——總結(jié)課堂所學(xué)內(nèi)化知識。,變式教學(xué)的基本思想：,嘗試體驗 探究發(fā)現(xiàn) 應(yīng)用創(chuàng)新,握緊課標(biāo) 立足教材 瞄準(zhǔn)中考,1、把準(zhǔn)教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)，是公式變式教學(xué)的關(guān)鍵,變式教學(xué)的教學(xué)目的就是讓學(xué)生伴隨課堂的教學(xué)過程不斷地探索而生成知識。所以，變式教學(xué)是新授課教學(xué)的一種有效手段,,C,1.正方形A的面積怎樣求？,,,,,,,,

3、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,25,9,回顧導(dǎo)入：,2.正方形B的面積怎樣求？,“補(bǔ)” ：,7 2 - 4× (3×4÷2) = 25,“割” ：,4× (3×4÷2) +1= 25,小方格的邊長為1,案例一 八年級《勾股定理》1.1活動1：計算單位方形網(wǎng)格中不規(guī)則擺放的正方形的面積,活動目的：利用方格計算圖形面積是學(xué)生們已掌握的知識。在課堂的開始設(shè)

4、計該活動，目的在于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和原有的知識技能，也為《勾股定理》的變式教學(xué)的探索作鋪墊。,4,4,8,C,圖甲,1.觀察圖1，小方格的邊長為1. 正方形A、B、C的面積各為多少？,探索活動一：,,圖1,1.2活動2-1：利用單位方形網(wǎng)格，以直角三角形的邊為邊長向外構(gòu)造正方形，探索三個正方形面積的關(guān)系。,圖2,SA+SB=SC,9,25,34,2.正方形A、B、C的 面積有什么關(guān)系？,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

5、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,圖3,4,9,13,活動目的：學(xué)生獨(dú)立完成表格，學(xué)習(xí)小組互相交流、探索。教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形在正方形邊長大小的變化下面積之間的不變關(guān)系，發(fā)掘問題的本質(zhì)，并用自己的語言進(jìn)行描述。而這時勾股定理的獲得已是呼之欲出的。,圖3-1,活動2-2：隱去方形網(wǎng)格，感受直角三角形三邊數(shù)量關(guān)系的形成過程,活動目的：把方格背景抹去，目的在于讓學(xué)生把活動2-1中猜想結(jié)論中

6、SA、SB、SC分別轉(zhuǎn)化為a²、b²、c²，并感受到由正方形面積的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為三角形邊長平方之間的關(guān)系式，思路很自然。在探索的過程中，學(xué)生同時認(rèn)識到圖形當(dāng)中的網(wǎng)格變化，并不影響等量關(guān)系的猜想與歸納。在此，教師進(jìn)一步提出“當(dāng)改變直角條件時，三邊等量關(guān)系是否存在？”為下一步的探索活動鋪路。,,活動2-3：動態(tài)感受三角形最大角度數(shù)變化與三邊數(shù)量關(guān)系的相互作用，體驗直角條件的核心價值。,活動目的：利用幾何畫板的動態(tài)

7、功能。首先，構(gòu)造出直角三角形，并度量出三條邊的長度，驗證三邊具有的等量關(guān)系；然后拖動最大角頂點(diǎn)C，形成各種鈍角三角形，引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察數(shù)據(jù)，由學(xué)生歸納、猜想，這時總有a²+b²c²，如圖3-3。觀察動態(tài)演示的過程，體驗了結(jié)論的變化過程后，學(xué)生進(jìn)一步加深了對直角條件必要性的認(rèn)識。,1.3借助拼圖，自然呈現(xiàn)勾股定理的論證方法。,活動目的：在探索的過程中，有一名學(xué)生興奮地發(fā)現(xiàn)了圖6的證明結(jié)果，課堂氣氛變得更加地活

8、躍。這些活動不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望，并且引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生了另一種思維方法，讓變式教學(xué)產(chǎn)生了更好地教學(xué)效果。,1.在公式教學(xué)中，首先設(shè)計恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，再從新舊知識的銜接處設(shè)計問題的序列變化，引起學(xué)生的學(xué)習(xí)、探究興趣。讓學(xué)生主動地參與到數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識互動中，讓學(xué)生弄清數(shù)學(xué)公式的來龍去脈，由他們自己發(fā)現(xiàn)并推演公式，享受創(chuàng)造發(fā)現(xiàn)的成功感。打破以往公式教學(xué)中常用的“灌入”教學(xué)，改變學(xué)生在課堂的學(xué)習(xí)地位和數(shù)學(xué)的認(rèn)知方法。,關(guān)于對公式變式教

9、學(xué)的反思,2變式教學(xué)讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)公式中各字母的含義掌握它們之間的聯(lián)系 在公式新授課的教學(xué)中，通過一節(jié)課的教學(xué)和練習(xí)，學(xué)生可以很好地對數(shù)學(xué)公式進(jìn)行背誦，但是對公式中的字母含義、字母所表達(dá)的內(nèi)在數(shù)學(xué)含義往往又是一知半解。而變式教學(xué)可以打破公式在學(xué)生思維中的固化模式，讓學(xué)生記在的不僅僅是公式中的字母，并且記住公式在變化背景中的關(guān)系不變性和數(shù)學(xué)通性，讓學(xué)生學(xué)會在不同的背景下探究公式、運(yùn)用公式，將淺層的機(jī)械記憶轉(zhuǎn)化為深層的理解記憶。,2.

10、促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，是習(xí)題課變式教學(xué)的任務(wù),1.如圖，直線的解析式為 :,求:1）請畫出其函數(shù)圖像。 2）求其與坐標(biāo)系所圍成的三角形的面積。,解:1）令x=0，則y=3 ∴A(0,3) 令y=0，則x=1 ∴B(1,0),反思：（1）平面直角坐標(biāo)系中三角形面積的求法，關(guān)鍵是把三角形的面積與坐標(biāo)系的交點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系在一起，順利地找到與面積有關(guān)的底與高。（2）與x軸的交點(diǎn)，則令 ，與y軸的交點(diǎn)，則

11、令 。,,,活動目的：教師在教學(xué)時引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)求解三角形面積的關(guān)鍵元素，通過平面直角坐標(biāo)系把函數(shù)所呈現(xiàn)的代數(shù)知識轉(zhuǎn)化為幾何條件。問題點(diǎn)評：設(shè)計問題1目的在于回顧一次函數(shù)的基本性質(zhì)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)在平面直角坐標(biāo)系中代數(shù)與幾何的互通性，學(xué)會基本的解題方法：分解圖形——利用一次函數(shù)求點(diǎn)——轉(zhuǎn)化為三角形的底與高長度——解答問題。引入題目簡單，能面向全體學(xué)生，引起學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，同時也為接下來的變式教學(xué)作鋪墊。,題組一：反比例函數(shù)中的面積

12、問題,A． S1> S2,D．無法確定,3.反比例函數(shù) (k＞0)的部分圖象如圖所示，A、B是圖象上兩點(diǎn)，AC⊥ 軸于點(diǎn)D，BD⊥ 軸于點(diǎn)C，若△AOC 的面積為S1，△BOD 的面積為S2，則S1和S2的大小關(guān)系為（ ）,C． S1< S2,B． S1= S2,,,,,,A．逐漸增大 B．逐漸減小C．不變D．先增大后減小,4.如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是 軸正半軸上的一個定點(diǎn)，

13、點(diǎn)B是雙曲線 （ ）上的一個動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)逐漸增大時， 的面積將會（ ）,5.如圖，在反比例函數(shù) ( )的圖象上，有點(diǎn) ，它們的橫坐標(biāo)依次為1，2，3，4．分別過這些點(diǎn)作 軸與 軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為 ，則,,,,,（1）求拋物線的解析式；（2）求 的面積.,與 軸的另一個交點(diǎn)為 。

14、,6.如圖:已知拋物線的頂點(diǎn)為,,且經(jīng)過原點(diǎn) ，,,,,,,y,x,O,A,B,,,題組二：二次函數(shù)中的面積問題,問題點(diǎn)評：題組一、二分別以反比例函數(shù)、二次函數(shù)作為求解背景，設(shè)計目的在于讓學(xué)生能在不同的背景下分解求解的基本圖形，掌握利用函數(shù)知識轉(zhuǎn)化為幾何條件的解題技巧。改變解題背景，讓題目覆蓋知識更廣、更深，讓學(xué)生在解題的過程中發(fā)現(xiàn)題目中的共通點(diǎn)，達(dá)到觸類旁通的教學(xué)目的。,,C,,,,B,O,A,G,,,,l1,l2,x,y,,,7．如

15、圖,直線 的解析式為　　　　 ,且 與 軸交于點(diǎn)B,,（1）直線 : ,與 軸交于點(diǎn)C,直線 , 交于點(diǎn)G,求 的面積；,,（2）反比例函數(shù) 的圖象與直線 相交于E、F兩點(diǎn)，且點(diǎn)E和點(diǎn)F的橫坐標(biāo)分別為-1和2，求反比例函數(shù)的解析式和△EOF的面積．,A,l1,,,,（3）如圖二次函數(shù) 的圖象與x軸交于M,N兩點(diǎn)，與直線l1交于y軸， 的面積為6．求該二次函

16、數(shù)的關(guān)系式；,（4）在（3）中，設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)為P,求 的面積。,,,P,(5)在(3)的拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，滿足 ,若存在，請求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請說明理由．,,,,,,x,y,O,,y,x,O,,,,,,,,,,y,x,O,,,,,,,x,y,O,,,,問題點(diǎn)評：題組三是由問題1變式發(fā)展而來的，涵蓋了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等方面的知識，問題由簡入繁、由易入難，逐步引入不同的條件、背景。學(xué)生在

17、變式的解題中，進(jìn)一步掌握在多題一法中所形成的技巧，并探索各問題之間的同異，發(fā)現(xiàn)各問題之間的共通點(diǎn)，學(xué)會在復(fù)雜背景下分解基本數(shù)學(xué)圖形、尋找基本數(shù)學(xué)量，明白繁由簡來、難由易來克服畏難情緒。,3.領(lǐng)悟數(shù)學(xué)萬變不離其中的道理，是復(fù)習(xí)課變式教學(xué)的根本,我們育才中學(xué)數(shù)學(xué)備課組嘗試將由基礎(chǔ)問題引入，把題目改變?yōu)橄盗凶兪?，在解題中回顧知識點(diǎn)，在變式中尋找通性。通過變式不但順應(yīng)了中考命題的發(fā)展趨勢和要求，而且提升了數(shù)學(xué)問題的自身價值，發(fā)展了學(xué)生的思維能力

18、，使得數(shù)學(xué)課堂更有效。,1.如圖,點(diǎn)C在直線XY上,AC⊥CF, AC=CF,作 AD⊥XY于D,FN⊥XY于N. 求證:∠A=∠FCN; 求證: AD=CN, DC=FN;(3)已知DC=2AD,試求tan∠FCN的值.,,,,,,,,案例3 九年級《全等三角形復(fù)習(xí)課》,3．1課題引入——萬變不離其中,,分析：由基礎(chǔ)題目引入面向了大部分學(xué)生，不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且學(xué)生在獨(dú)立完成題目時發(fā)現(xiàn)三

19、角形全等的條件，回顧三角形全等的證明要素和方法。在解題時，老師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)題目中線段之間的垂直關(guān)系，建立線段“三垂直關(guān)系”的數(shù)學(xué)模型，為變式做準(zhǔn)備。,,尋找模型，類比歸納,,,3 .如圖,BC在直線l上,分別以△ABC的邊AB、AC為邊朝形外作正方形ABGH和正方形ACFE，連結(jié)FG，P為FG的中點(diǎn)，作直線PK⊥BC，垂足為K.求證:,,,,,M,N,,D,,,,,,,,,,,,,關(guān)鍵：GM=BD,關(guān)鍵：FN=DC,一道中考的壓軸題經(jīng)

20、常在復(fù)雜的圖形背景下找到數(shù)學(xué)的基本模型。,分析：問題3來自于一道中考壓軸題，學(xué)生面對該類問題顯得無從下手。問題1、2的設(shè)計就是為問題3的解題設(shè)計階梯。老師與學(xué)生一起分析題目的條件，適當(dāng)?shù)卦O(shè)置路標(biāo)如圖3-1，構(gòu)造輔助線。嘗試讓學(xué)生在解題過程中從復(fù)雜的圖形背景中剝離出基礎(chǔ)圖形，發(fā)現(xiàn)已建構(gòu)的“三垂直線段”數(shù)學(xué)模型如圖3-2。由繁入簡，在由簡得繁，深化題組中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)通性。,圖2,圖3,圖4,,圖1,,,,指出圖1中的三角形通過怎樣的變換,

21、 可得到陰影三角形?說出變換過程,,,,,題組二：1、說一說，發(fā)現(xiàn)變換,,,,3.2課題深入,分析：通過獨(dú)立思考或小組合作討論，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形中的變換。每組的圖形可以存在不同的變換關(guān)系，但變換后線段的垂直關(guān)系仍然存在。圖形的變換可作為“三垂直線段”模型的一種推廣，也可在變換中發(fā)現(xiàn)模型的共性。,題組二 2、找一找，發(fā)現(xiàn)模型（1）如圖,已知E、F分別是正方形ABCD的邊AD、AB上的點(diǎn)，連結(jié)BE、CF，若BE⊥CF，求證：BE=

22、CF .（2）如圖,ABCD是正方形,EF⊥PM, 求證: EF=PM.,,題組二（3）.如圖,在△ABC中, AD、BE是高，若∠ACB=60°,∠BAC=75°， 求證：△BDH≌△ADC；,,分析：學(xué)生在解題的過程中，可發(fā)現(xiàn)每題中相應(yīng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)圖形。在變化的圖形背景中，發(fā)現(xiàn)題目的通性、通法，體現(xiàn)變式過程中的多題一法。題組點(diǎn)評：題組二是題組一的水平變式。在學(xué)生知識的“最近

23、發(fā)展區(qū)”進(jìn)行變式教學(xué)，歸納、總結(jié)出一類問題基本解題方法。在講題的過程中，注重解題思路的分析，充分暴露思維過程，讓學(xué)生主動探索，讓學(xué)生自主分析，把變式教學(xué)變得更活躍，課堂更有效。,題組三,1、弱化條件“AC=CE（線段相等）”， 則結(jié)論由三角形全等弱化為三角形相似,,,,D,E,3.3：課題推廣,,,例1(2010江蘇南通)如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，點(diǎn)P是BC邊上不與點(diǎn)B，C重合的任意一點(diǎn)，連接AP，過點(diǎn)P作PQ⊥AP

24、交DC于點(diǎn)Q，設(shè)BP的長為 cm, CQ的長為 cm。求點(diǎn)P在BC上運(yùn)動的過程中 的最大值；,分析：通過題組一、二的探索解題，學(xué)生已建立“三線段垂直”模型的認(rèn)識，并且掌握了一般的數(shù)學(xué)解題技巧。對于題組三的設(shè)計目的在于由全等知識過度相似知識，實現(xiàn)知識的連通性。讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)題目之間的共通點(diǎn)，拓展基礎(chǔ)模型的應(yīng)用。,,2、弱化條件“直角”，則“全等”結(jié)論仍然成立,演變命題2：如圖，在△ABC和△CDE中點(diǎn)D在邊BC的延長線上，AC=CE

25、，且∠ACE=∠B=∠D則△ABC≌ △CDE,,例2 △ABC為等邊三角形，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊BC，CA，AB上，且△DEF也為等邊三角形。求證：BD=CE,,60°,60°,60°,,,,,,2,2,1,1,,3、同時弱化條件“線段相等”和“直角”，則結(jié)論由全等弱化為相似。,,,例3(2011 新疆烏魯木齊) 如圖，等邊三角形ABC的邊長為3，點(diǎn)P為BC邊上一點(diǎn)，且BP=1，點(diǎn)D為AC邊上一點(diǎn)

26、，若∠APD=60。，則CD的長為（　?。?A．　　B．　　 C．　　 D．1,B,演變命題3：如圖，在△ABC和△CDE中，點(diǎn)D在邊BC的延長線上，且∠ACE=∠B=∠D則△CAB∽△ECD,1,2,1,2,3,1,2,?,活動目的：命題2、3可作為本節(jié)課堂上的延伸，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，進(jìn)一步加深對“三線段垂直”數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識。題組三通過對題組一的條件或結(jié)論的垂直變式，把全等三角形的模型轉(zhuǎn)化為一般的相似圖形，將學(xué)生思

27、維中已建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行變化、拓展，讓學(xué)生把所學(xué)的知識縱向加深、橫向溝通。變式把固定的數(shù)學(xué)模型變活，在解題過程中，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)“定”中的變，“變”中的“同”，感受數(shù)學(xué)的通性通法。,關(guān)于習(xí)題課、復(fù)習(xí)課教學(xué)的反思,選題——變式教學(xué)的基礎(chǔ),選題就是要在準(zhǔn)確把握考試范圍和要求的基礎(chǔ)上，緊緊圍繞本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，緊扣考試的重點(diǎn)題型進(jìn)行選題，并不是題目的難度越大越好。一道好的題目之所以能引起大家的共鳴，不是因為其有獨(dú)特的解題技巧，而是其所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想

28、。,變題——變式教學(xué)的升華,變題要有明確的意圖，要有一定的針對性，既要注意一題多解、一題多變和多題歸一，又要注意對變式中數(shù)學(xué)認(rèn)知策略的滲透和提煉。變題要指出它與原題的聯(lián)系以及學(xué)生應(yīng)從中獲得的注意點(diǎn)與啟示點(diǎn)，讓學(xué)生明白再復(fù)雜的問題也是由簡單的問題變化而來，也是與簡單的問題有著共同的數(shù)學(xué)思想，消除學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的為難情緒，提高學(xué)生數(shù)學(xué)的解題能力,變式教學(xué)就是要引導(dǎo)學(xué)生觀察分析、變異出新、優(yōu)化解題、拓展創(chuàng)新，使之形成一種技巧。題目的變化過程，是

29、學(xué)生一步一步嘗試、感受變化的過程，是學(xué)生一步一步反思、總結(jié)的過程，是學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”本質(zhì)的過程，是學(xué)生從“不變”的本質(zhì)探索“變”的規(guī)律的過程。,研究的主要成效,1.變式教學(xué)讓教師積極成長，從教學(xué)型教師轉(zhuǎn)變?yōu)榻萄行徒處?2.變式教學(xué)讓集體備課更加充實，實現(xiàn)教師們的一起進(jìn)步,3.變式教學(xué)讓我校成績更上一層樓,4.變式教學(xué)讓我校優(yōu)秀學(xué)生的數(shù)量增加,如在2008年的中考中我校出現(xiàn)了兩名數(shù)學(xué)滿分狀元，2012年的中考140分以上人

30、數(shù)達(dá)到17人等。在廣州市歷年舉行的數(shù)學(xué)聯(lián)賽中，我校均有學(xué)生獲獎。在每年的由廣州大學(xué)舉辦的全國“希望杯”數(shù)學(xué)競賽中，我校各年級學(xué)生均有出色的表現(xiàn)。,九年級 數(shù)學(xué),§23.1圖形的旋轉(zhuǎn),如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=2，PB=1，PC=3，求∠APB的度數(shù)。,2,1,3,A,B,C,P,難題不難，樂在其中,,1.如圖（1），在△ABC中，AB=AC,P是BC邊上任意一點(diǎn)

31、，以點(diǎn)A為中心，取旋轉(zhuǎn)角等于∠BAC,把△ABP逆時針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形。畫出△ABP旋轉(zhuǎn)后的圖形；,我們所接觸的很多試題都是由一些原題經(jīng)過變式改編而成的。數(shù)P62 第3題,（1）,,A,P,C,B,,,,,,,,,AP′=AP,CP′=BP,,,旋轉(zhuǎn)三要素： 旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)角。,旋轉(zhuǎn)性質(zhì)： （1）對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；（2）對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的 夾角等于旋轉(zhuǎn)角； （3）旋轉(zhuǎn)前、后的圖形

32、全等．,,∴?AP′C為所求。,,●,變式一：（背景是正方形的旋轉(zhuǎn)）2.①如圖（2），將正方形ABCD中的△ADE繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，且點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)為F.,（2）,探究：②如圖（2），將正方形ABCD中的△ADE繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)能與△ABF重合，1）請判斷△AEF是___________三角形；2）若AE=4，則線段EF=_______,,,A,D,B,C,E,F,,,等腰直角,4,∠EA

33、F=∠DAB=90°,,,,,,,EA=FA,,變式二．（背景是等邊三角形的旋轉(zhuǎn)）3.如圖，P是正三角形ABC 內(nèi)的一點(diǎn)，且PA＝6，PB＝8，PC＝10。若將△PAC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)后，得△P′AB。（1）請判斷△APP′是______三角形；（2）點(diǎn)P與點(diǎn)P′之間的距離是 ；（3）∠APB的度數(shù)是 。,6,?,6,10,,,,90°,,,等邊,6,150°.,,

34、6,6,∴∠APB=60°+ 90°=150°.,∵P’B=PC=10,PP’=6,PB=8,∴62+82=102即P’P2+PB2=P’B2∴∠ P’PB=90°.,（3）,60°,PA=P’A,(3)∵ △ P’AP為等邊三角形, ∴∠ P’PA=60°.,,,,（1）,,,A,P,C,B,（2）,,,A,D,B,C,E,F,（3）,,反思1：巧旋轉(zhuǎn)，妙解題,1.巧用

35、旋轉(zhuǎn)的條件：,存在公共端點(diǎn)的相等線段。,2.巧用旋轉(zhuǎn)的技巧：,共點(diǎn)等邊,轉(zhuǎn)夾角,,圖形全等，邊角集中,10,10,6,6,6,8,變式三：（背景是等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)）4.如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=2，PB=1，PC=3，求∠APB的度數(shù)。,2,1,3,A,B,C,P,,,,類比,s,n,,變式三：（背景是等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)）4.如圖，在△ABC中，∠BAC=90

36、76;，AB=AC,P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=2，PB=1，PC=3，求∠APB的度數(shù)。,A,B,C,P,,●,1,3,2,,,∠ P’PA=45°,∠ P’PB=90°,∠APB=45°+90°=135°,,3,2,,,,,,A,B,C,P,P′,1,3,,,,2,2,1,,,●,,,∠ AP’P=45°,∠ CP’P=90°,∠APB=∠ AP’C = 45&#

37、176;+90°=135°,,,《陽光學(xué)習(xí)與評價》P54 第7題5 .如圖所示，在四邊形ABCD，∠B+∠D=180°，AB=AD,AC=1，∠ACD=60°，求四邊形ABCD的面積。,（背景是任意四邊形的旋轉(zhuǎn)）,,E,,E,60°,1,1,60°,,,比一比哪種輔助線更好些？,順時針,逆時針,,H,（共線）,30°,,,,,,,,,,反思2：巧用旋轉(zhuǎn)的好處：,條件

38、分散,,相對集中,,產(chǎn)生特殊圖形,旋轉(zhuǎn)角90°,,等腰直角三角形,旋轉(zhuǎn)角60°,,等邊三角形,,順時針,順時針,逆時針,逆時針,逆時針,60°,60°,90°,90°,90°,60°,6．（2013年初二下期末區(qū)統(tǒng)考）在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F是正方形ABCD對角線上兩點(diǎn)，且∠EAF=45°求證：BE²+DF²=EF

39、78;,靈學(xué)活用,,,DF,,,EF,45°,45°,45°,,,,1,2,3,？,？,7.原題：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，則EF=BE+DF，試說明理由。（1）思路梳理∵AB=CD，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合?！摺螦DC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，點(diǎn)F

40、、D、G共線。根據(jù)　　　　，易證△AFG≌　　　　，得EF=BE+DF。,SAS；,△AFE,（2）類比引申如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°。若∠B、∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿足等量關(guān)系　　　　時，仍有EF=BE+DF。,（2）∠B+∠D=180°。,（3）聯(lián)想拓展如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC