2008imo中國國家集訓(xùn)隊平面幾何練習(xí)題

1、第1頁共18頁2008IMO2008IMO中國國家集訓(xùn)隊平面幾何練習(xí)題中國國家集訓(xùn)隊平面幾何練習(xí)題1一圓切于兩條平行線，第二個圓切于，外切于，第三個圓O12ll1OA1lAOAC切于，外切于，外切于，交于，求證是的2OA2lBOAD1OAEADBCQQCDE?外心。（35屆IMO預(yù)選題）證明由∥，知，從而有，即1AO2BO12AOEBOE???12AEOBEO???三點共線。同理由∥，可得三點共線。又因為AEBOF2BOBDF，所以四點

2、共圓，211118018022EDBEOBAOEEAF???????????AEDF，即點在與的根軸上。又因為在與的根軸上，BEBABDBF?AAB1OAOAC1OAOA所以是與的根軸。同理是與的根軸，因此為根心，且有BC1OAOAAD2OAOAQ，即是的外心。QCQDQE??QCDE?2非等腰的內(nèi)切圓圓心為，其與分別相切于點，ABC?IBCCAAB111ABC分別交圓于，中的角平分線分別交11AABB22AB111ABC?111111

3、CABCBA??于點，證明（1）是的角平分線；（2）如果是1111BCAC33AB23AA121BAC?PQ和的兩個外接圓的交點，則點在直線上。（01年保加利亞）123AAA?123BBB?IPQ證明（1）因為∽，∽，所以有12ACA?11AAC?12ABA?11AAB?，從而有，即是的角平122212111111CAAAAABACAACABBA???131211121113CACACABABABA??23AA121BAC?第3頁共18

4、頁證明因為是調(diào)和點列，且，所以在關(guān)于點的阿波XDGC90CFD???FXG羅尼斯圓上。連，有。設(shè)的外接圓與交于點，F(xiàn)GFXGFDDFX???GFX?BFH?則有，即在的中垂線上，從而有，因此四點共圓。GHXH???H?GXHH??XFGH4若到的三個頂點的距離的比都是，且互不相PQABC?ABC::lmnlmn等，則直線過的外接圓的一條直徑。若設(shè)的外接圓圓心為，則PQABC?DEABC?O。2OPOQOD?A證明法一：由于到的距離之比為