初二.分類與討論

1、145[文件]sxjsck0001.doc[科目]數(shù)學(xué)[關(guān)鍵詞]初二分類討論[標題]分類與討論[內(nèi)容]分類與討論分類與討論1.分類討論的規(guī)則解題總是在一定的范圍(論域)進行的.解題中有時要將題目條件包含的全體對象分成若干類然后逐類討論才能得出正確的解答.因此分類討論是數(shù)學(xué)解題中的一個重要內(nèi)容.(1)分類的規(guī)則分類時首先要明確分類的對象和分類的標準.有時還要對第一次分出的各類進行再分類這就是第二級分類類似地有第三級分類、第四級分類、……，

2、這種進行多次分類的現(xiàn)象叫做連續(xù)分類.合理的分類不但是正確解題的基礎(chǔ)，而且是簡捷解題的出發(fā)點.分類的原則是：不重不漏，即每一個題設(shè)包含的對象都必須在而且只在所分的一類中.為此，分類時必須做到：①一次分類只按一個標準進行；②連續(xù)分類按層次逐級進行.（2）枚舉和討論解決需要討論的問題的方法是枚舉，枚舉的基礎(chǔ)是正確分類.例1求出所有的自然數(shù)n，使三個整數(shù)n，n8，n16都為質(zhì)數(shù).解現(xiàn)將所有自然數(shù)n按模為3的剩余類分成三類：n=3k，3k1，3k

3、2.當n=3k時，只有k=1時，三個整數(shù)（3，11，19）都是質(zhì)數(shù)；當n=3k1時，n8=3k18=3（k3）不是質(zhì)數(shù)；當n=3k2時，n16=3k216=3（k6）不是質(zhì)數(shù).所以滿足題設(shè)的自然數(shù)只有一個3.2分類討論舉例下面我們用分類討論的思想方法來解決一些國內(nèi)外數(shù)學(xué)競賽問題.例2（第4屆加拿大中學(xué)生競賽題）設(shè)a和n是相異的實數(shù)，證明存在整數(shù)m和n使得ambn＜0，bman＞0.證明既然a，b為相異實數(shù)，那么必有ab＜0或ab＞0.當

4、ab＜0時，就取m=1，n=1，驗證和滿足所給不等式；當ab＞0時，就取m=1，n=1，顯然也滿足所給不等式.例3（1956年上海市競賽題）從1到100這一百個自然數(shù)中，每次取2個，要它們的和大于100，有多少種取法？解因為每次所取的兩數(shù)不等，所以可以按較大（或較?。┑臄?shù)的取值來分類考慮：較大的數(shù)取100時，另一數(shù)有99種取法；較大的數(shù)取99時，另一數(shù)有97種取法；……較大的數(shù)取51時，另一數(shù)有一種取法；而50以下的任何兩數(shù)都不能組成符

5、合條件的數(shù)對，故共有135…9799=2500種取法.按照某個確定的自然數(shù)為模的剩余類分類是數(shù)學(xué)競賽中經(jīng)常出現(xiàn)的問題之一.例4求證：從任意n個整數(shù)a1，a2，…，an中，一定可以找到若干個數(shù)，使它們的和可被n整除.證明考察如下的n個和，a1，a1a2，a1a2a3，…，a1a2…an.147∴.221aBCBE??∴.222212aaaSABC?????（3）顯然，∠ABM=∠CBM不合題意.列6設(shè)一條曲線的兩端在單位正方形的周界上；并

6、且這條曲線將正方形分成面積相等的兩部分.證明這條曲線的長度不小于1.證明（如圖283）設(shè)曲線PQ分正方形ABCD為面積相等的兩部分S1，S2.又M、N、E、F分別為正方形的邊的中點.因的面積，故曲線PQ與線段121SSSSSSABCDABDACDCDEFAMND???????MN、EF、AC、BD必各至少有一個公共點.現(xiàn)按P、Q的位置來分類討論.不失一般性，不妨設(shè)P在AB上，這時，①Q(mào)在對邊CD上（圖284）.如上所述曲線PQ與MN至少

7、有一公共點(設(shè)為R)則PQ=PRRQ≥PRRQ≥MRRN=MN=1，此時結(jié)論正確.②Q在AB上（圖285）.設(shè)曲線PQ與線段EF的一個公共點為R.以EF為對稱軸作出PR的對稱圖形，則曲線PQ與曲線等長.由①知≥1，故PQ≥1，此時結(jié)RP?QP?QP?論也正確.③Q在鄰邊BC或AD之一上（圖286）.令曲線PQ與AC的一個公共點為R，以AC為對稱軸作出RQ的對稱圖形，則曲線PQ與等長.由①知，此時結(jié)論亦成立.QR?QP?綜上述，對符合條件