回避分類(lèi)討論

1、回避分類(lèi)討論巧求雙曲線(xiàn)方程分類(lèi)討論是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想方法.在雙曲線(xiàn)問(wèn)題中也不可避免地要應(yīng)用到這一重要思想.其中雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)不確定是引起分類(lèi)討論的重要因素.但是分類(lèi)討論不是絕對(duì)的也就是說(shuō)有些分類(lèi)討論是可以回避的.而回避分類(lèi)討論有時(shí)可以降低題目的難度減少運(yùn)算步驟.下面舉例說(shuō)明.例1.已知雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸中心在原點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)A(23)和點(diǎn)B(－1).求雙曲線(xiàn)的233方程.[解析]:本題不知道焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上一般需要分兩種情況進(jìn)行討論.為

2、了避免討論可以設(shè)雙曲線(xiàn)方程為:()把點(diǎn)A(23)和點(diǎn)B(－1)代入雙曲線(xiàn)可得方程組221xymn??0mn?233解之得故所求雙曲線(xiàn)的方程為:.4914131mnmn???????????13mn?????2213yx??[評(píng)析]:如果焦點(diǎn)明確在哪個(gè)坐標(biāo)軸上可以根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)雙曲線(xiàn)方程為(22221xyab??)或().若焦點(diǎn)的位置不能明確在x軸還是在y軸則可0a?0b?22221yxab??0a?0b?設(shè)為()或者干脆設(shè)成().這樣就

3、簡(jiǎn)化了運(yùn)算步驟221xymn??0mn?221mxny??0mn?使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單.例2.求與雙曲線(xiàn)共漸近線(xiàn)且過(guò)點(diǎn)A的雙曲線(xiàn)方程.221169xy??(233)?[解析]:根據(jù)雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)和方程的關(guān)系可設(shè)所求雙曲線(xiàn)為把點(diǎn)A22169xy???(0)??代入可得即雙曲線(xiàn)方程為整理即得(233)?129169???14???2211694xy???.221944yx??[評(píng)析]:由于本題所求雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)不能確定在x軸還是在y軸一般情況下也是分

4、兩種情況進(jìn)行討論.其實(shí)若已知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為方程即可化為則不論雙曲byxa??22220xyab??線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸或者y軸對(duì)應(yīng)的雙曲線(xiàn)方程都可設(shè)為這樣就可以避2222xyab???(0)??免分類(lèi)討論從而減小運(yùn)算量.例3.已知直線(xiàn):和直線(xiàn):被雙曲線(xiàn)截得的線(xiàn)段長(zhǎng)分別為2和求雙曲線(xiàn)1l1x?2l4yx?417的方程.[解析]:由于不能確定雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上為了避免分類(lèi)討論并有利于運(yùn)算設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為:().把代入雙曲線(xiàn)方程可得故直線(xiàn)被

5、221mxny??0mn?1x?1myn???1l截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為(1)122mn???1mn??把代入雙曲線(xiàn)方程可得故直線(xiàn)被截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為4yx?116xmn???2l(2).2114|2|41716mn????1164mn??故由(1)(2)可得.故所求雙曲線(xiàn)方程為.2120m?120n?221202021xy??[評(píng)析]:本題牽涉到直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交的問(wèn)題本來(lái)計(jì)算量就比較大若進(jìn)行分類(lèi)討論也就是雙倍的計(jì)算量這里巧妙地設(shè)雙曲線(xiàn)地方程().