必修四-向量與三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心知識的交匯

1、向量與三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心知識的交匯向量與三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心知識的交匯一、四心的概念介紹（1）重心——中線的交點：重心將中線長度分成2：1；（2）垂心——高線的交點：高線與對應邊垂直；（3）內(nèi)心——角平分線的交點（內(nèi)切圓的圓心）：角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等；（4）外心——中垂線的交點（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點的距離相等。二、四心與向量的結合（1）是的重心的重心.????0OCOBOAOABC?證法1

2、：設)()()()(332211yxCyxByxAyxO????0OCOBOA???????????????0)()()(0)()()(321321yyyyyyxxxxxx??????????????33321321yyyyxxxx是的重心.?OABC?證法2：如圖?OCOBOA??02???ODOA?ODAO2?三點共線，且分?DOA、、OAD為2：1是的重心?OABC?（2）為的垂心的垂心.??????OAOCOCOBOBOAOAB

3、C?證明：如圖所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.0)(????????CAOBOCOAOBOCOBOBOAACOB??同理，BCOA?ABOC?為的垂心?OABC?（3）設）設是三角形的三條邊長，是三角形的三條邊長，O是ABCABC的內(nèi)心的內(nèi)心abc?為的內(nèi)心的內(nèi)心.OOCcOBbOAa????0ABC?證明：分別為方向上的單位向量，bACcAB、?ACAB、平分?bACcAB?BAC?)，令(???

4、AObACcAB?cbabc????OABCDEOABCDE例3：是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足OCBA、、P，，則點的軌跡一定通過的)coscos(CACACBABABOAOP?????????0?PABC?（）A外心B內(nèi)心C重心D垂心分析：如圖所示AD垂直BC，BE垂直AC，D、E是垂足.)coscos(CACACBABAB?BC?=CACBCACBABBCABcoscos???=CACCBCACBABBBCABc

5、oscoscoscos??==0BC?BC點的軌跡一定通過的垂心，即選.?PABC?D練習：練習：1已知三個頂點及平面內(nèi)一點，滿足，若ABC?CBA、、P0???PCPBPA實數(shù)滿足：，則的值為（）?APACAB????A2BC3D6232若的外接圓的圓心為O，半徑為1，，則()ABC?0???OCOBOA??OBOAAB0C1D2121?3點在內(nèi)部且滿足，則面積與凹四邊形OABC?022???OCOBOAABC?面積之比是（）ABOC