2023年全國碩士研究生考試考研英語一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁
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文檔簡介

1、拉馬努金1962年12月22日印度發(fā)行弓一張紀念郵票。這張郵票是為紀念印度的「國寶」錫里尼哇沙拉瑪奴江(SrinivasaRamanujan)誕生七十五周年而發(fā)行的。拉瑪奴江是一個生于南印度沒落的貧窮婆羅門家庭,沒有受過大學(xué)育,靠自學(xué)及艱苦鉆研數(shù)學(xué),后來成為一個聞名國際的數(shù)學(xué)家。在數(shù)學(xué)家中,以貧窮家庭出身,而且能在沒有研究數(shù)學(xué)的環(huán)境里,孤獨的工作,發(fā)現(xiàn)了一些深入的結(jié)果的人是不太多。他到了二十七歲時才獲得真正數(shù)學(xué)家的教導(dǎo),他的才華像彗星突

2、然出現(xiàn)長空,耀眼令人側(cè)目??上У氖欠尾s蠶食了他的生命,他在三十三歲時悄然逝去。他是淡米爾人,生于1887年12月22日,父親是一間布店里的小職員。小時候他大部份的時間是在祖母家里度過。從小他就喜歡思考問題,曾問老師在天空閃耀的星座的距離,以及地球赤道的長度。在十二歲時始對數(shù)學(xué)發(fā)生興趣,曾問高班同學(xué):「什么是數(shù)學(xué)的最高真理?」當時同學(xué)告訴他「畢達高拉斯定理」(即中國人稱「商高定理」)是可以作為代表,引起了他對幾何的興趣。有一天一個老師講

3、:「三十個果子給三十個人平分,每一個人得到一個。同樣的十四個果子給十四個人平分,每一個人得一個果子?!箯倪@里老師下了結(jié)論:任何數(shù)給自己除得到是一。拉瑪奴江覺得不對,馬上站起來問:「是否每一個人也得到一個?」這時數(shù)字的奇妙性質(zhì)引起了他的注意,也差不多在這個時候他對等差,等比級數(shù)的性質(zhì)自己作了研究。在十三歲時,高班的同學(xué)借給他一本Loney的〈三角學(xué)〉一書(以前,有一些學(xué)校采用此書為高中課,中譯本書名為〈龍氏三角學(xué)〉),他很快把整夬書的習(xí)題

4、解完。第二年他得到了正弦和余弦函數(shù)的無窮級數(shù)展開式,后來他才知這是著名的Euler公式,他心中有點失望,于是把自己結(jié)果的草稿,偷偷地放到里的屋梁上。他十五歲時,朋友借給了他二厚冊英國人卡爾(Carr)寫「純數(shù)的應(yīng)用數(shù)學(xué)基本結(jié)果大要」一書。這書是寫得相當枯燥無味的,羅列了在代數(shù)、微積分、三角學(xué)和解析幾何的六千個定理和公式。這本書對他來說是本好書,他自己證明了其中的一些定理,而以后他研究的基礎(chǔ)全是這書給出的。在1930年他進入了家鄉(xiāng)的政府學(xué)

5、院,由于貧窮和入學(xué)試成績優(yōu)越,他獲得獎學(xué)金,可是在學(xué)院里他太專心于自己善羑的數(shù)學(xué),而忽略了其它科目,結(jié)果年考不及格而失去了獎學(xué)金。在1906年他轉(zhuǎn)到另外一間學(xué)院讀二年級并參加1907年的「文科第一考試」,。是又失敗了。在1907年到1910年之間,他住在外面,找不到任何工作,有時替朋友補習(xí)以換取一些吃的東西。在這段期間,他自己研究魔方陣、連環(huán)分數(shù)、超幾何級數(shù)、橢圓積分及一些數(shù)論問題,他把自己得到的結(jié)果寫在二本記事簿里,生活不安定不能使到

6、他對數(shù)學(xué)的愛好減少,一個善良的鄰居老太太,看他生活困難,幾次在中餐時邀他在家里吃些東西。根據(jù)印度的習(xí)俗,他家人在1909年為他安排了婚事,妻子是一個九歲的女孩。在1910年他是二十三歲了,有了家而且因是長子,必須幫助家一些費用,他不得不極力尋找工作,后來朋友推薦他去找印度官員拉奧。拉奧本身是一個有錢的印度官員,也是印度數(shù)學(xué)會的創(chuàng)辦人之一,認為的勇氣闖入這個新奇世界的。他發(fā)現(xiàn)了許多簡直難以置信的事情??低袪柺窃谘芯课⒎e分理論的邏輯基礎(chǔ)問題

7、時,開始著手創(chuàng)立集合論的。自從17世紀牛頓(I.Newton,1642-1727)和萊布尼茨(G.W.Leibniz,1646-1716)創(chuàng)立微積分理論體系之后,在近一二百年時間里,微積分理論一直缺乏一個嚴格的邏輯基礎(chǔ)。它的一些基本概念的表述,還有某些混亂和自相矛盾之處。從19世紀開始,柯西(A.L.Cauchy,1789-1857)、魏爾斯特拉斯(K.Weierstrass,1815-1897)等人進行了微積分理論嚴格化的工作。他們建

8、立了極限理論,并把極限理論的基礎(chǔ)歸結(jié)為實數(shù)理論。那么,實數(shù)理論的基礎(chǔ)又該是什么呢?康托爾試圖用集合論來作為實數(shù)理論,以至整個微積分理論體系的基礎(chǔ)。出于這一目的,康托爾用集合的觀點重新考察各種數(shù)量關(guān)系,特別是無窮數(shù)量關(guān)系。他發(fā)現(xiàn),無窮集合有著有窮數(shù)量關(guān)系所不具備的性質(zhì)。比如,在無窮集合領(lǐng)域,所有整數(shù)和所有偶數(shù)之間是一一對應(yīng)的,所有理數(shù)和所有整數(shù)之間是一一對應(yīng)的,平面上所有的點和線段上所有的點是一一對應(yīng)的,……概言之,在無窮的世界里,整體的

9、所有元素和部分的所有元素之間可以是一一對應(yīng)的。另外,無窮集合并不都是相等的,比如所有實數(shù)和所有有理數(shù)之間就不是一一對應(yīng)的。因而,無窮集合是有大小的。集合論用“基數(shù)”這個概念來表示無窮集合間的區(qū)別。那么,有沒有一個最大的集合呢?康托爾通過研究,否定了這個想法。因為每個已知集合的所有子集所構(gòu)成集合,其基數(shù)都大于已知集合的基數(shù)。既然沒有最大的基數(shù),當然也沒有最大的集合。無窮世界里的這些性質(zhì),初看起來,真是令人頭暈?zāi)垦?。甚至康托爾本人在?chuàng)立集合

10、論的過程上,也時時感到心神不定。他在獲得線性連續(xù)統(tǒng)和π維連續(xù)統(tǒng)之間有一一對應(yīng)關(guān)系的結(jié)果后,寫信給數(shù)學(xué)家戴德金(R.Dedekind,1831-1916)說:“我見到了,但我不相信”。然而,集合論的成果畢竟是有嚴格邏輯根據(jù)的。并且它在解決實數(shù)理論邏輯基礎(chǔ)問題中發(fā)揮了別的理論無法取代的重要作用。實踐使康托爾堅定了信心,更加勇敢地前進,大膽挖掘無窮世界里的寶藏。他在提出超限基數(shù)和超限序數(shù)的過程中說:“我確實不知道,什么能夠限制我們這種形成新數(shù)

11、的活動,只要可以說明,為了科學(xué)的發(fā)展,引入一個這種無窮的新數(shù)對于研究是需要的或者是不可的”??低袪柕难芯砍晒l(fā)表之后,馬上遭致當時一些赫赫有名的數(shù)學(xué)家的激烈攻擊。德國數(shù)學(xué)家克隆尼克(L.Kronecker,1823-1891)就是那些人中的一個??寺∧峥吮瓤低袪柲觊L22歲。當康托爾還是柏林大學(xué)的學(xué)生時,克隆尼克已經(jīng)是在這個學(xué)校任教的著名數(shù)學(xué)家了??寺∧峥嗽跀?shù)學(xué)上,特別是在高等代數(shù)方面有很多貢獻。然而他主張,除非一種數(shù)學(xué)對象能夠用有限步驟

12、從自然數(shù)中構(gòu)造出來,否則不能認為它在數(shù)學(xué)上是存在的。他有一句名言:“上帝創(chuàng)造了自然數(shù),其余的一切才是人做的工作”。因此,他否認無理數(shù)的存在,也否認極限理論的意義。他常常譏笑魏爾斯特拉斯的工作:“有趣,可惜不是數(shù)學(xué)”。他和數(shù)學(xué)家林德曼談話時說:“你那個關(guān)于π的漂亮研究有什么用呢?無理數(shù)根本就不存在,你為什么要研究這種問題?”雖然康托爾是他的學(xué)生,但由于集合論的內(nèi)容同他的主張大相徑庭,所以克隆尼克不能容忍。他認為,康托爾關(guān)于超限數(shù)的研究,是

13、一種非常危險的數(shù)學(xué)瘋病。因而他與康托爾對立達十年之久。他甚至在柏林大學(xué)的學(xué)生面前公開攻擊康托爾??寺∧峥说挠绊戇€使康托爾的學(xué)術(shù)論文一再延誤發(fā)表日期。除了克隆尼克之外,還有一些著名數(shù)學(xué)家也對集合論發(fā)表了反對意見。法國數(shù)學(xué)家彭加勒(H.Poincare,1854-1912)說:“我個人,而且還不只我一人,認為重要之點在于,切勿引進一些不能用有限個文字去完全定義好的東西”。他把集合論當作一個有趣的“病理學(xué)的情形”來談,并且預(yù)測說:“后一代將把

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