數(shù)學家康托爾

1、格奧爾格格奧爾格康托爾康托爾格奧爾格格奧爾格費迪南德費迪南德路德維希路德維希菲利普菲利普康托爾康托爾（GegFerdinLudwigPhilippCant，1845年3月3日－1918年1月6日），出生于俄國的德國數(shù)學家（波羅的海德國人）。創(chuàng)立了現(xiàn)代集合論作為實數(shù)理論以至整個微積分理論體系的基礎。他還提出了集合的勢和序的概念。由于研究成果得不到認可，并受到以利奧波德克羅內(nèi)克為首的眾多數(shù)學家的長期攻擊，患抑郁癥，最后精神失常。自1869年

2、任職于哈勒大學，直到1918年，在德國哈勒大學附屬精神病院去世。當代數(shù)學家絕大多數(shù)接受康托爾的理論，并認為這是數(shù)學史上一次重要的變革。大衛(wèi)希爾伯特說：“沒有人能夠把我們從康托爾建立的樂園中趕出去?！笨低袪柍錾诙韲ケ说帽?，他的父親是丹麥商人，母親是俄國音樂家。1856年他們?nèi)野岬降聡?，康托爾在德語學校繼續(xù)學業(yè)，1867年他于柏林大學獲得博士學位?？低袪柼岢隽送ㄟ^一一對應的方法對無限集合的大小進行比較，并將能夠彼此建立一一對應的集合稱

3、為等勢，即可以被認為是“一樣大”的。他引入了可數(shù)無窮的概念，用來指與自然數(shù)集合等勢的集合，并證明了有理數(shù)集合是可數(shù)無窮，而實數(shù)集合不是可數(shù)無窮，這表明無窮集合的確存在著不同的大小，他稱與實數(shù)等勢（從而不是可數(shù)無窮）的集合為不可數(shù)無窮。原始證明發(fā)表于1874年，這個證明使用了較為復雜的歸納反證法。1891年他用對角線法重新證明了這個定理。另外，他證明了代數(shù)數(shù)集合是可數(shù)集，以及n維空間與一維空間之間存在一一對應。在上述理論的基礎上，康托爾又

4、系統(tǒng)地研究了序數(shù)理論，提出了良序原理，即可以給任何集合內(nèi)的所有元素定義一個大小關系，使得任意兩個元素都可以比較大小，且該集合的任意子集都有最小元素?？低袪柾砟曛铝τ谧C明他自己提出的連續(xù)統(tǒng)假設，即任意實數(shù)的無窮集合或者是可數(shù)無窮或者是不可數(shù)無窮，二者必居其一，但沒有成功。康托爾的后半生受到抑郁癥的困擾，這嚴重影響他的工作，他不得不經(jīng)常入院治療。根據(jù)后來他發(fā)表的論文推測，他患的可能是躁郁癥。他曾寫了一篇驗證1000以下的歌德巴赫猜想的論文，

5、其實幾十年前已經(jīng)有人驗證到了10000。他又發(fā)表了幾篇文學方面的論文，試圖證明弗蘭西斯培根其實是莎士比亞作品的真正作者。以及神學方面的論文，企圖證明絕對無窮的概念即是上帝。第一次世界大戰(zhàn)期間，他陷于赤貧狀態(tài)，最后死于哈雷大學的精神病院?？低袪柤低袪柤跀?shù)學中，康托爾集康托爾集，由德國數(shù)學家格奧爾格康托爾在1883年引入[1][2]（但由亨利約翰斯蒂芬史密斯在1875年發(fā)現(xiàn)[3][4][5][6]），是位于一條線段上的一些點的集合，具有

6、許多顯著和深刻的性質(zhì)。通過考慮這個集合，康托爾和其他數(shù)學家奠定了現(xiàn)代點集拓撲學的基礎。雖然康托爾自己用一種一般、抽象的方法定義了這個集合，但是最常見的構(gòu)造是康托爾三康托爾三分點集分點集，由去掉一條線段的中間三分之一得出?？低袪栕约褐桓綆Ы榻B了三分點集的構(gòu)造，作為一個更加一般的想法——一個無處稠密的完備集的例子?？低袪柤臉?gòu)造康托爾集的構(gòu)造最大序數(shù)；反過來，后者陳述蘊涵了康托爾悖論。通過應用這個標定到布拉利福爾蒂悖論我們還結(jié)論出基數(shù)們是真

7、類而不是集合，而(至少在vonNeumannBernaysGdel集合論中)從它得出沒有在基數(shù)的類和所有集合的類之間的雙射。因為所有集合是后者這個類的的子集，而所有勢都是一個集合的勢(通過定義!)這直覺的意味著基數(shù)的搜集的“勢”大于任何集合的勢:它比任何真無窮更加無窮。這是康托爾悖論的悖論本質(zhì)。歷史注釋歷史注釋盡管通常認定康托爾是第一個提出基數(shù)集合的這個性質(zhì)的人，有些數(shù)學家認定這個貢獻是伯蘭特羅素做出的，他在1899年或1901年定義了