第二講極限(一)2010-9-24

1、1極限極限一一一數(shù)列的極限數(shù)列的極限一、數(shù)列一、數(shù)列1.數(shù)列數(shù)列：依照某一法則依次排列的一列數(shù)稱為數(shù)列??21nxxx記作.而稱為通項(一般項).(這里的數(shù)列nx()nxfn?nN??均指無窮數(shù)列)2.數(shù)列的特殊性質(zhì)：數(shù)列的特殊性質(zhì)：(1)有界性有界性：若則稱有界記0??M..tsMxn?||?21?nnx作.(注意:數(shù)列有上界數(shù)列有下界的概念))1(Oxn?nxnx例如例如有界，無界??1(1)1nnn?????????sin2nn?

2、??????注意：數(shù)列有界數(shù)列有上界且有下界.?(2)子數(shù)列定義子數(shù)列定義：數(shù)列nx中任意抽取無限多項并保持這些項在原數(shù)列中的先后次序而得到的數(shù)列稱為數(shù)列nx的子數(shù)列可寫成顯然：.??21knnnxxxknk?等都是的子數(shù)列.2213nnnxxx?nx二、數(shù)列的極限二、數(shù)列的極限1.數(shù)列極限定義數(shù)列極限定義:時axnn???lim?0??????NN..tsNn?.（數(shù)列極限的（數(shù)列極限的定義）定義）???||axnN??注意注意：數(shù)列

3、極限是對無窮數(shù)列而言的概念收斂數(shù)列指極限存在的數(shù)列.發(fā)散數(shù)列指極限不存在的數(shù)列.2.的幾何解釋幾何解釋:對于的任何一個鄰域axnn???lima總當(dāng)時從后的所有的)()(??????aaaUNN???Nn?Nx都落在鄰域中而至多只有有限項落nx)(????aa?12Nxxx在這個鄰域外.ax1x2x3x1?Nx2?Nx?2??a??a3（4）已知，求證此數(shù)列收斂于1.2nnnxn??證明證明：欲使成立，0?????????????nnn

4、nnnxn1111|1|2只要，取當(dāng)時?1?n????N1]1[?N?1??Nn恒有????nxn1|1|所以.1limlim2???????nnnxnnn練習(xí)：練習(xí)：設(shè)證明:.1||0??q0lim1????nnq證明證明：欲使只需0????????1|||0|nnqx即【或】即?ln||ln)1(??qn1||lnln??qn?]1||lnln[??qn?可.取當(dāng)時恒有????N1]1||lnlnmax[qN?1||lnln???q

5、Nn?所以.?????1|||0|nnqx0limlim1???????nnnnxq練習(xí)：練習(xí)：證明:數(shù)列是發(fā)散的.)1(1???nnx證明證明：考察的兩個子數(shù)列和由于nx2kx12?kx，所以數(shù)列是發(fā)散的.122lim11lim?????????kkkkxx)1(1???nnx結(jié)論：結(jié)論：.舉例說明如果數(shù)列有0lim???nnu?0||lim???nnu||nu極限但數(shù)列未必有極限.nu若取顯然但顯然沒有極限.nnu)1(??1||l