第二章極限與連續(xù)

1、第二章極限與連續(xù)極限理論是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，高等數(shù)學(xué)中包含導(dǎo)數(shù)，積分等概念都是用極限描述的。本章包含數(shù)列的極限、級(jí)數(shù)、函數(shù)的極限，函數(shù)的連續(xù)性的概念、無窮小量與無窮大量的概念。本章約占考試內(nèi)容10%。2.1數(shù)列及其極限一、數(shù)列的概念定義2.1一列有順序的數(shù)a1a2…an…叫數(shù)列。其中an叫第n項(xiàng)，也叫通項(xiàng)。數(shù)列可以簡(jiǎn)單記作｛an｝，即｛an｝=a1a2…an…【例1】數(shù)列123…n…的通項(xiàng)an=n。[答疑編號(hào)10020101：針對(duì)該題提問

2、]∴記作123…n…=｛n｝?！纠?】數(shù)列1……的通項(xiàng)an=。[答疑編號(hào)10020102：針對(duì)該題提問]∴記作1……=｛｝。【例3】數(shù)列……的通項(xiàng)an=。[答疑編號(hào)10020103：針對(duì)該題提問]∴記作……=｛｝?！纠?】數(shù)列1111…（1）n1…的通項(xiàng)an=（1）n1。[答疑編號(hào)10020104：針對(duì)該題提問]∴記作1111…（1）n1…=｛（1）n1｝。二、數(shù)列的極限定義2.2如果當(dāng)n無限增大時(shí)（記作n→∞），數(shù)列｛an｝=a1a2

3、…an…的通項(xiàng)an與一個(gè)常數(shù)a無限接近，就說數(shù)列｛an｝的極限是a，記作這時(shí)，也說數(shù)列｛an｝是收斂的且收斂于常數(shù)a。否則，就說數(shù)列｛an｝是發(fā)散的?！纠?】討論數(shù)列｛｝=1……的斂散性。[答疑編號(hào)10020105：針對(duì)該題提問]解：因?yàn)橥?xiàng)an=“擺的量”的絕對(duì)值是趨向0的，所以，an離1距離越來越近，且無限接近，由極限的定義知∴數(shù)列收斂且收斂于1。三、收斂數(shù)列的性質(zhì)下面介紹收斂數(shù)列有下面性質(zhì)：性質(zhì)性質(zhì)1（極限的唯一性）若且則必有a=

4、b性質(zhì)1證明收斂數(shù)列的極限唯一性質(zhì)性質(zhì)2（收斂數(shù)列的保號(hào)性）若，則有（1）若an0，則a≥0；若an0，則an0；若a0則an0。四、數(shù)列極限的運(yùn)算法則及存在準(zhǔn)則為了使我們能夠從已知的簡(jiǎn)單數(shù)列的極限推求出更多、更復(fù)雜數(shù)列的極限，下述的極限四則運(yùn)算法則是必須掌握的。（不證）定理定理2.12.1若則（1）；（2）；（3）（此時(shí)b≠0）。。此定理說明，由數(shù)列｛an｝，｛bn｝的收斂就可推知更多數(shù)列收斂，且可以求出相應(yīng)的極限值。推論推論1推論推