附錄 場論基礎(chǔ)

1、1附錄附錄場論基礎(chǔ)場論基礎(chǔ)附1Hamilton算子算子?在直角坐標(biāo)系中定義Hamilton算子為?（附xyz?????????ijk?1.1）這里，既可以看成是一個微分算子，作用到一個標(biāo)量函數(shù)或者是一個矢量函數(shù)上；也可?以看成是一個向量，和其他的向量進行普通的點乘()運算和叉乘()運算。A?附1.1梯度運算梯度運算graduu??對于一個標(biāo)量場，我們定義相關(guān)的梯度運算為()uxyz（附graduuuuuxyz??????????ijk?

2、1.2）那么標(biāo)量函數(shù)的梯度運算結(jié)果為一向量。下面我們來看梯度運算的數(shù)學(xué)意()uxyzgradu義。對于函數(shù)的方向?qū)?shù)，我們有()uxyzun??（附cos()cos()cos()()()gradxyzuuxuyuznxnynznuuunxnynzxyzuuunnnuxyy??????????????????????????????????????ijkijknAA1.3）因此有（附gradcos()uuun???n?1.4）從中可以看到

3、，當(dāng)單位向量的方向和梯度的方向一致時，取到極大值，ngraduun??而極大值就為。這就是說，梯度為函數(shù)變化最快的方向，也是等gradugradu()uxyz值函數(shù)的外法線方向，梯度的大小為函數(shù)方向?qū)?shù)的最大值。從上面的分析()uxyzC?我們可以看到，梯度的定義和坐標(biāo)系是無關(guān)。梯度在數(shù)值計算方法中有很重gradugradu要意義。附1.2散度運算散度運算div?AAA?3容易得到dd0ddxyzyxnnnss????在三維問題中若記為

4、單位高的柱體，，則?0R?()()()xyPxyQxy??Aij而式(附1.5)、(附1.6)和(附1.8)變?yōu)?附1.9)dddllsPyQx???????AnAAA(附1.10)ddivlimlimddlSMSMSsSxy????????AnAAA(附1.11)dd()ddlPPPxQxxyxx??????????A因此，平面上的格林公式也可以視為高斯公式在平面情形中的退化。附1.3旋度運算旋度運算rot??AA?對于一個向量場，沿

5、某一個封閉曲線的環(huán)量環(huán)量定義為()xyzAl(附1.12)dlW??AsAA在直角坐標(biāo)中，如果向量場為()xyzA()()()()xyzPxyzQxyzRxyz???Aijk那么環(huán)量為dddlWPxQyRz????A如果為向量場中某一點，在點上有一個固定的方向，以為外法線取一個小MMnn曲面，曲面的面積為，曲面的封閉邊界為，的正向與一起構(gòu)成右手坐標(biāo)系。SS?Slln我們定義環(huán)量面密度環(huán)量面密度為(附1.13)0dliml??????Al