求向量組的秩與極大無關組(修改整理)

1、16求向量組的秩與最大無關組求向量組的秩與最大無關組一、一、對于具體給出的向量組，求秩與最大無關組對于具體給出的向量組，求秩與最大無關組1、求向量組的秩（即矩陣的秩）的方法：、求向量組的秩（即矩陣的秩）的方法：為階梯形矩陣為階梯形矩陣【定理定理】矩陣的行秩等于其列秩，且等于矩陣的秩矩陣的行秩等于其列秩，且等于矩陣的秩.(.(三秩相等三秩相等)①把向量組的向量作為矩陣的列（或行）向量組成矩陣把向量組的向量作為矩陣的列（或行）向量組成矩陣A

2、；②對矩陣對矩陣A進行初等進行初等行變換化為階梯形矩陣變換化為階梯形矩陣B；③階梯形階梯形B中非零行的個數(shù)即為所求向量組的秩中非零行的個數(shù)即為所求向量組的秩【例1】1】求下列向量組求下列向量組a１=(1=(122334)4)，a2=(=(2233445)5)，a3=(3=(344556)6)的秩的秩.解1：以：以a１a２a３為列向量作成矩陣向量作成矩陣A，用初等，用初等行變換將變換將A化為階梯形矩陣后可求化為階梯形矩陣后可求.因為階梯形

3、矩陣的列秩為因為階梯形矩陣的列秩為2，所以向量組的秩為，所以向量組的秩為2解2：以：以a１a２a３為行向量作成矩陣向量作成矩陣A，用初等，用初等行變換將變換將A化為化為階梯形矩陣后可求階梯形矩陣后可求.因為階梯形矩陣的行秩為因為階梯形矩陣的行秩為2，所以向量組的秩為，所以向量組的秩為22、求向量組的最大線性無關組的方法、求向量組的最大線性無關組的方法方法方法1逐個選錄法逐個選錄法給定一個非零向量組給定一個非零向量組A：?1?2……?n①

4、設?1?0，則，則?1線性相關，保留線性相關，保留?1②加入加入?2，若，若?2與?1線性相關，去掉線性相關，去掉?2；若?2與?1線性無關，保留線性無關，保留?1，?2；③依次進行下去，最后求出的向量組就是所求的最大無關組依次進行下去，最后求出的向量組就是所求的最大無關組36而兩個非零行的而兩個非零行的非零首元非零首元分別在第分別在第112列故?1?2為向量組的一個最大無關組為向量組的一個最大無關組事實上，事實上，知r(?1?2)=2

5、)=2故?1?2線性無關線性無關???????????????1211010000??，為把為把?3?4用?1?2線性表示線性表示把A變成行最簡形矩陣變成行最簡形矩陣1021011200000000??????????????AB記矩陣記矩陣B=B=(?1?2?3?4)因為初等行變換保持了列向量間的線性表出性，因此向量因為初等行變換保持了列向量間的線性表出性，因此向量?1?2?3?4與向與向量?1?2?3?4之間有相同的線性關系。之間有

6、相同的線性關系。??3124122101012122000000????????????????????????????????????????????????????而因此因此?3=2=2?1?2?4==?122?2【例4】4】求下列向量組的一個最大無關組，其中：求下列向量組的一個最大無關組，其中：??11203?????22536??????30130????42147??????55812.???解：以給定向量為解：以給定向量為列