向量組的線性相關性

1、第四章 向量組的線性相關性,§4.1 向量組及其線性組合,上頁,下頁,鈴,結束,返回,補充例題,首頁,下頁,說明,(1)列向量用黑體小寫字母a、b、?、?等表示? 行向量則用aT、bT、?T、?T等表示? 所討論的向量在沒有指明是行向量還是列向量時? 都當作列向量?,(2)分量全為實數的向量稱為實向量? 分量為復數的向量稱為復向量?,(3)規(guī)定行向量與列向量都按矩陣的運算規(guī)則進行運算?,向量舉例,(1) 線性方程Am?nx

2、?0的全體解當R(A)?n時是一個含無限多個n維列向量的向量組?,下頁,(2) 在空間直角坐標系中? 點集 ??{P(x? y? z)|ax?by?cz?d}是一個平面(a? b? c不全為0)? 在三維向量空間中? 向量集 { r | r?(x? y? z)T? ax?by?cz?d}也叫做向量空間R3中的平面? 并把?作為它的圖形?,線性組合與線性表示 設A?

3、a1? a2? ???? am是一向量組? 表達式 k1a1?k2a2? ??? ?kmam?稱為向量組A的一個線性組合? 其中k1? k2? ???? km是一組實數? 稱為這線性組合的系數?,如果向量b是向量組A的線性組合b??1a1??2a2? ??? ??mam?則稱向量b能由向量組A線性表示?,定理1 向量b能由向量組A? a1? a2? ???? am線性表示的充分必要條件是矩陣A?

4、(a1? a2? ???? am)與矩陣B?(a1? a2? ???? am? b)的秩相等? 即R(A)?R(B)?,下頁,注?,bj ?k1ja1?k2ja1? ??? ?kmjam(j?1? 2? ???? l)?,向量組的等價 若向量組B? b1? b2? ???? bl中的每個向量都能由向量組A? a1? a2? ???? am線性表示? 則稱向量組B能由向量組A線性表示?,若向量組B組能由向量組A線性表示?

5、 則存在矩陣K?(kij)? 使,矩陣K稱為這一線性表示的系數矩陣?,若向量組A與B能相互表示? 則稱這兩個向量組等價?,下頁,提示?,若矩陣A與B行等價? 則這兩個矩陣的行向量組等價?,矩陣等價與向量組等價的關系,這是因為? 矩陣A經初等行變換變成矩陣B? 則B的每個行向量都是A的行向量組的線性組合? 反之? 由初等變換的可逆性? A的行向量組也能由B的行向量組線性表示?,下頁,若矩陣A與B列等價? 則這兩個矩陣的列向量組等價?,定理

6、2 向量組B? b1? b2? ???? bl能由向量組A? a1? a2? ???? am線性表示的充分必要條件是R(A)?R(A? B)?,注?,(A? B)?(a1? a2? ???? am? b1? b2? ???? bl)?,推論 向量組A? a1? a2? ???? am與向量組B? b1? b2? ???? bl等價的充分必要條件是R(A)?R(B)?R(A? B)?,下頁,例1

7、設a1?(1? 1? 2? 2)T? a2?(1? 2? 1? 3)T? a3?(1? ?1? 4? 0)T? b?(1? 0? 3? 1)T? 證明向量b能由向量組a1? a2? a3線性表示? 并求出表示式?,設A?(a1? a2? a3)? B?(A? b) ?(a1? a2? a3? b)?,因為,所以R(A)?R(B)? 因此向量b能由向量組a1? a2? a3線性表示?,由上列行最簡形? 可得方程(a1? a2? a3)x?

8、b的通解為,從而得表示式 b?(a1? a2? a3)x ?(?3c?2)a1?(2c?1)a2?ca3?其中c可任意取值?,下頁,例2 設a1?(1? ?1? 1? ?1)T? a2?(3? 1? 1? 3)T? b1?(2? 0? 1? 1)T? b2?(1? 1? 0? 2)T? b3?(3? ?1? 2? 0)T? 證明向量組a1? a2與向量組b1? b2? b3等價?,記A?(a1? a2)? B?(b1

9、? b2? b3)?,證明,將(A? B)化為行最簡形,又R(B)?R(A? B)?2? 于是知R(B)?2? 因此R(A)?R(B)?R(A? B)? 根據定理2的推論? 知向量組a1? a2與向量組b1? b2? b3等價?,可見? R(A)?2? R(A? B)?2?,,故R(B)?2?,容易看出矩陣B中有不等于0的2階子式?,下頁,定理3 設向量組B? b1? b2? ???? bl能由向量組A? a1?

10、 a2? ???? am線性表示? 則R(b1? b2? ???? bl)?R(a1? a2? ???? am)?,證明 記A?(a1? a2? ???? am)? B?(b1? b2? ???? bl)? 按定理的條件? 根據定理2有R(A)?R(A? B)? 而R(B)?R(A? B)? 因此R(B)?R(A)?,結束,例3 證明? n維單位坐標向量組E? e1? e2? ???? en能由n維向量組A? a1? a2? ??

11、?? am線性表示的充分必要條件是R(A)?n?,證 根據定理2? 向量組e1? e2? ???? en能由向量組A線性表示的充分必要條件是R(A)?R(A? E)? 而R(A? E)?R(E)?n? 又矩陣(A? E)含n行? 知R(A? E)?n? 合起來有R(A? E)?n ? 因此條件R(A)?R(A? E)就量R(A)?n?,§4.2 向量組的線性相關性,上頁,下頁,鈴,結束,返回,補充例題,首

12、頁,定義,設有向量組,則稱向量組 A 是線性相關的.,否則，稱它是線性無關的.,才能使(＊)式成立，,也就是只有當,則稱向量組 A 是線性無關的.,如果存在不全為零的數,說明：,?,線性相關,?,線性相關,等價命題：任一非零向量線性無關.,?,含零向量的向量組必線性相關.,對應分量成比例.,,線性相關性的判定（定義法）,解齊次線性方程組,若（1）有非零解,,判定向量組,線性相關,線性無關,若（1）只有唯一零解，,判定向量組,定理1

13、 向量組a1? a2? ???? am線性相關的充分必要條件是它所構成的矩陣A?(a1? a2? ???? am)的秩小于向量個數m? 向量組線性無關的充分必要條件是R(A)?m?,這是因為? 向量組A? a1? a2? ???? am線性相關 ? x1a1?x2a2? ??? ?xmam?0即Ax?0有非零解 ?R(A)?m?,下頁,向量組a1? a2? ???? am線性無

14、關?R(a1? a2? ???? am)?m?,n維單位坐標向量組構成的矩陣為E?(e1? e2? ???? en)? 是n階單位矩陣? 由|E|?1?0? 知R(E)?n? 即R(E)等于向量組中向量個數? 所以此向量組是線性無關的?,例1 試討論n維單位坐標向量組的線性相關性?,解,,下頁,可見R(a1? a2? a3)?2? R(a1? a2)?2? 故向量組a1? a2? a3線性相關? 向量組a1?

15、a2線性無關?,例2 已知a1?(1? 1? 1)T? a2?(0? 2? 5)T? a3?(2? 4? 7)T?試討論向量組a1? a2? a3及向量組a1? a2的線性相關性?,下頁,解 對矩陣(a1? a2? a3)施行初等行變換變成行階梯形矩陣,設有x1? x2? x3使 x1b1?x2b2?x3b3?0?即 x1(a1?a2)?x2(a2?a3)?x3(a3?a1)?0?亦即

16、(x1?x3)a1?(x1?x2)a2?(x2?x3)a3?0? 因為a1? a2? a3線性無關? 故有,例3 已知向量組a1? a2? a3線性無關? b1?a1?a2? b2?a2?a3? b3?a3?a1? 試證向量組b1? b2? b3線性無關?,證法一,由于此方程組的系數行列式,,故方程組只有零解x1?x2?x3?0? 所以向量組b1? b2? b3線性無關?,下頁,把已知的三個向量等式寫成一個矩陣等式,例3

17、已知向量組a1? a2? a3線性無關? b1?a1?a2? b2?a2?a3? b3?a3?a1? 試證向量組b1? b2? b3線性無關?,證法二,因為矩陣A的列向量組線性無關? 所以可推知Kx?0? 又因|K|?2?0? 知方程Kx?0只有零解x?0? 所以矩陣B的列向量組b1? b2? b3線性無關?,記作B?AK?,設Bx?0?,以B?AK代入得A(Kx)?0?,下頁,例3 已知向量組a1? a2? a3線性無關?

18、 b1?a1?a2? b2?a2?a3? b3?a3?a1? 試證向量組b1? b2? b3線性無關?,證法三,因為A的列向量組線性無關? 所以R(A)?3? 從而R(B)?3? 因此b1? b2? b3線性無關?,因為|K|?2?0? 知K可逆?,所以R(B)?R(A)?,把已知的三個向量等式寫成一個矩陣等式,記作B?AK?,下頁,定理2 (1)若向量組A? a1? a2? ???? am線性相關? 則向量組B

19、? a1? a2? ???? am? am?1也線性相關? 反之? 若向量組B線性無關? 則向量組A也線性無關?,這是因為? 記A?(a1? a2? ???? am)? B?( a1? a2? ???? am? am?1)? 有R(B)?R(A)?1? 若向量組A線性相關? 則有R(A)?m? 從而R(B)?R(A)?1?m?1? 因此向量組B線性相關?,下頁,這個結論可一般地敘述為? 一個向量組若有線性相關的部

20、分組? 則該向量組線性相關? 一個向量組若線性無關? 則它的任何部分組都線性無關?,特別地? 含零向量的向量組必線性相關?,下頁,(2)m個n維向量組成的向量組? 當維數n小于向量個數m時一定線性相關? 特別地? n?1個n維向量一定線性相關?,這是因為? m個n維向量a1? a2? ???? am構成矩陣An?m?(a1? a2? ???? am)? 有R(A)?n?,若n?m? 則R(A)?n?m?,故m個向量a1? a2? ?

21、??? am線性相關?,下頁,(3)設向量組A? a1? a2? ???? am線性無關? 而向量組B? a1? a2? ???? am? b線性相關? 則向量b必能由向量組A線性表示? 且表示式是唯一的?,這是因為? 記A?(a1? a2? ???? am)? B?( a1? a2? ???? am? b)? 有,即向量b能由向量組A線性表示? 且表示式唯一?,有唯一解?,(a1? a2? ???? am)x?b,因此方程組,即有R(

22、B)?R(A)?m?,m?R(A)?R(B)?m?1?,下頁,(2)用反證法? 假設a4能由a1? a2? a3線性表示? 而由(1)知a1能由a2? a3線性表示?,例4 設向量組a1? a2? a3線性相關? 向量組a2? a3? a4線性無關? 證明 (1) a1能由a2? a3線性表示? (2) a4不能由a1? a2? a3線性表示?,(1)因為a2? a3? a4線性無關

23、? 所以a2? a3也線性無關?,證明,因此a4能由a2? a3線性表示? 這與a2? a3? a4線性無關矛盾?,又a1? a2? a3線性相關? 所以a1能由a2? a3線性表示?,結束,§4.3 向量組的秩,上頁,下頁,鈴,結束,返回,補充例題,首頁,目的要求 （1）理解向量組最大無關組與秩的概念； （2）了解矩陣的秩與其行（列）向量組的秩之間的關系； （3）掌握求向量組的秩、矩陣的秩，以及求最大無

24、關組的方法.,如果在向量組 A 中有 r 個向量,⑴ 向量組 a1 , a2 ,……, ar,⑵ 向量組 A 中任意 r +1 個向量（若有）,那么稱向量組 a1 , a2 ,……, ar,向量組 A 的秩.,簡稱為最大無關組.,是向量組 A,線性無關；,都線性相關.,的一個最大線性無關向量組，,a1 , a2 ,……, ar,滿足條件：,r 稱為,最大無關組,a. 零向量組沒有最大無關組；,b. 一個線性無關向量組本身就是最大無關；

25、,c. 含非零向量的向量組必有最大無關組；,一般最大無關組不唯一。,注意：,的最大無關組.,如果向量組的秩是r,,注：,線性無關的向量都可以是它的,那么此向量組的任意r個,一個最大無關組.,都是向量組 A,和,,例1 設向量組,證 設矩陣An×m =( a1 , a2 ,……, am ),,Dr 所在的r個列向量,又由于A 中所有r+1階子式都為0，,所以,A 的列向量組的秩等于r .,因此,Dr 所在的r列是A的列向量組的

26、一個最大無關組.,則存在一個r階子式Dr≠0.,且R(A)=r,,定理1 矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的 行向量組的秩.,線性無關.,A 中的任意r+1個列向量都,線性相關.,向量組秩的求法,例2 求A的列向量組一個最大無關組.,求下列向量組的一個最大無關組,的一個最大無關組.,,,,,,,且向量組,的秩為3.,是向量組,證 向量組中的每個向量,都能由該向量組線性,因此最大無關組能由該向量組線性表示；,在最大無關

27、組中添一個向量變成線性相關；,所添向量也能由最大無關組線性表示；,因此該向量組能由最大無關組線性表示；,綜上所述，向量組與它的最大無關組是等價的.,表示，,定理2 向量組與它的最大無關組是等價的.,推論 向量組的任意兩個最大無關組等價.,如果在向量組A 中有r個向量,(1) 向量組 a1 ,a2 ,……,ar,(2) 向量組 A 中任意向量,那么向量組 a1 , a2 ,……, ar,線性表示;,是向量組 A 的一個,線性無關；,

28、都能由a1 ,a2 ,……,ar,最大無關組.,a1,a2,……,ar,滿足條件：,,定義 向量組的最大無關組的等價定義.,例3 求下列向量組的秩和它的一個最大無關組，,并把不屬于最大無關組的向量用最大無關組線性表示.,的一個最大無關組；,(3) 不屬于最大無關組的向量有,(1) 向量組,的秩為3；,是向量組,(2),.,最大無關組；,的一個,(1) 向量組,的秩為3；,(2),是向量組,,,(3),1、最大無關組的定義：,(1) 向

29、量組A0線性無關，,已知向量組A，若存在r個向量的向量組A0,(2) 任意r+1個向量線性相關或者每個向量,則向量組A0是向量組A的最大無關組.,能由向量組A0線性表示，,小結,2、最大無關組的求法：,構成矩陣,(1) 由向量組,(2) 利用初等行變換將A化成行最簡形；,(4)由行最簡形中非零首元1所在列找對應的原矩陣A中相應列構成向量組A0是向量組A的最大無關組；,(3)則非零行行數為A 的秩；,(5)不屬于最大無關組的向量由最大