32 向量的線性相關性

1、§3.2 向量的線性相關性,3.2.1 線性相關, 線性無關,3.2.2 線性相關性的刻畫,3.2.3 線性相關性的判斷,定義：,幾何意義：,(1)兩向量線性相關：兩向量共線.,(2)三向量線性相關：三向量共面.,3.2.1 線性相關, 線性無關,(2)自己證明 ：三向量線性相關：三向量共面.,例：用定義判斷線性相關性。,相,相,結論,無關。,,3.2.2 線性相關性的刻畫,于是向量組

2、線性相關,則向量 必能由向量組A線性表示，且表示式唯一.,3.2.3 線性相關性的判斷,有非零解，且它的一個非零解 就是線性表示的一組不全為零的系數(shù)。,線性方程組的向量表示,注,利用此定理判別向量組的線性相關性等價的說法:,例:,證明如下n維基本向量組線性無關：,解:,例：判斷向量組,由克萊姆法則，上述方程組只有零解。,即,以 為未知量的方程組的系數(shù)行列

3、式,即齊次線性方程組有非零解，所以向量 線性相關。,例：,已知向量組,線性無關,,,證明:,設,,引理 未知數(shù)個數(shù)大于方程個數(shù)的齊次線性方程 組必有非零解。,證明：考慮齊次線性方程組,問題：前面的例子得到的方程組的未知量個數(shù)和方程個數(shù)都相等，可以應用系數(shù)行列式是否為零來判斷，如果未知量個數(shù)不等于方程個數(shù)呢？,,方程組（2）的系數(shù)行列式最后一行為0，故行列式為0，該方程組有非零解。,推論2 任何n+

4、1個n維向量一定線性相關。,一般的，當m>n時，m個n維向量一定線性相關。,由該引理，可得如下推論：,推論3 n個n維向量線性無關的充分必要條件是它們構成的方陣的行列式不等于零。,推論5 如果在數(shù)域P上的n維向量空間 中，有n個向量 線性無關，則 中的任一向量 都可由 線性表示，且表法唯一。,推論4 數(shù)域P上的n維向量空間 中，任何一組線性無關的向量的個數(shù)最多為n