§1向量組及其線性組合

1、知識點4---向量的線性相關性,,,,線性相關與線性無關,1.,一、線性相關與線性無關,定義,則稱向量組 A 是線性相關的，否則,稱它線性無關．,給定向量組 A：,如果存在不全為零的數,使,說明1,說明2,對于任一向量組，不是線性無關就是線性相關.,線性無關也可以這樣表達：,如果有,典型例子,,證：設有,即,得,所以,線性無關。,單位向量組一定線性無關的．,含零向量的向量組一定線性相關．,證:設含零向量的向量組為,顯然,,,即,故向量組

2、,線性相關．,典型例子,例1已知向量組,線性無關,證明向量組,線性無關．,證明 設,, 則有,因為,線性無關, 所以,證明：,充分性,設 中有一個向量（比如 ）能由其余向量線性表示.,即有：,定理1 向量組 線性相關,充要條件A中至少有一個向量可由其余向量線性表示．,故,因系數 不全為零,故： 線性相關.,必要性：

3、,設 線性相關，,則有不全為零的數　　　　　　 使,不妨設,即 能由其余向量線性表示.,則有：,,不全為零,有非零解,定理2:,,它所構成的矩陣 的秩小于向量的個數n；,向量組 線性相關的充要條件是,向量組 線性無關的充要條件是,它所構成的矩陣 的秩等于向量的個數n；,,解法1：向量組是由3個

4、3維向量構成，可用行列式來解。,,向量組是線性相關的,例3 判斷下列向量組的線性相關性.,,解法2 ：用矩陣,向量組線性相關的,例3 判斷下列向量組的線性相關性.,性質1,二、 向量組線性相關的性質(3個),反之, 若向量組 線性無關,,,,若向量組 線性相關,,則向量組 也線性相關;,則向量組 也線性無

5、關.,整體無關則部分無關,部分相關則整體相關,也線性無關.,無關向量組添加分量后仍然無關,性質2 若n維向量組,線性無關，,則n+s維向量組,也線性相關.,相關向量組減少分量后仍然相關.,則n維向量組,線性相關，,反之：若n+s維向量組,,性質3,,,不全為零,證明表示式唯一：,,,則有,即表示式唯一．,若,例5 設向量組 線性相關，而向量組,線性無關，證明:,(1) 能由 線性表示；,證明：因為

6、 線性無關,又因為向量組 線性相關,能由 線性表示；,所以 線性無關,例5 設向量組 線性相關，而向量組,線性無關，證明:,(1) 能由 線性表示；,(2) 不能由 線性表示.,證明,假設 能由 線性表示.,由（1）可知： 能由 線性表示.,與已知矛盾.,能由 線性表示.,不能由 線性