§1向量組及其線性組合

1、知識(shí)點(diǎn)4---向量的線性相關(guān)性,,,,線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān),1.,一、線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān),定義,則稱向量組 A 是線性相關(guān)的，否則,稱它線性無(wú)關(guān)．,給定向量組 A：,如果存在不全為零的數(shù),使,說(shuō)明1,說(shuō)明2,對(duì)于任一向量組，不是線性無(wú)關(guān)就是線性相關(guān).,線性無(wú)關(guān)也可以這樣表達(dá)：,如果有,典型例子,,證：設(shè)有,即,得,所以,線性無(wú)關(guān)。,單位向量組一定線性無(wú)關(guān)的．,含零向量的向量組一定線性相關(guān)．,證:設(shè)含零向量的向量組為,顯然,,,即,故向量組

2、,線性相關(guān)．,典型例子,例1已知向量組,線性無(wú)關(guān),證明向量組,線性無(wú)關(guān)．,證明 設(shè),, 則有,因?yàn)?線性無(wú)關(guān), 所以,證明：,充分性,設(shè) 中有一個(gè)向量（比如 ）能由其余向量線性表示.,即有：,定理1 向量組 線性相關(guān),充要條件A中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示．,故,因系數(shù) 不全為零,故： 線性相關(guān).,必要性：

3、,設(shè) 線性相關(guān)，,則有不全為零的數(shù)　　　　　　 使,不妨設(shè),即 能由其余向量線性表示.,則有：,,不全為零,有非零解,定理2:,,它所構(gòu)成的矩陣 的秩小于向量的個(gè)數(shù)n；,向量組 線性相關(guān)的充要條件是,向量組 線性無(wú)關(guān)的充要條件是,它所構(gòu)成的矩陣 的秩等于向量的個(gè)數(shù)n；,,解法1：向量組是由3個(gè)

4、3維向量構(gòu)成，可用行列式來(lái)解。,,向量組是線性相關(guān)的,例3 判斷下列向量組的線性相關(guān)性.,,解法2 ：用矩陣,向量組線性相關(guān)的,例3 判斷下列向量組的線性相關(guān)性.,性質(zhì)1,二、 向量組線性相關(guān)的性質(zhì)(3個(gè)),反之, 若向量組 線性無(wú)關(guān),,,,若向量組 線性相關(guān),,則向量組 也線性相關(guān);,則向量組 也線性無(wú)

5、關(guān).,整體無(wú)關(guān)則部分無(wú)關(guān),部分相關(guān)則整體相關(guān),也線性無(wú)關(guān).,無(wú)關(guān)向量組添加分量后仍然無(wú)關(guān),性質(zhì)2 若n維向量組,線性無(wú)關(guān)，,則n+s維向量組,也線性相關(guān).,相關(guān)向量組減少分量后仍然相關(guān).,則n維向量組,線性相關(guān)，,反之：若n+s維向量組,,性質(zhì)3,,,不全為零,證明表示式唯一：,,,則有,即表示式唯一．,若,例5 設(shè)向量組 線性相關(guān)，而向量組,線性無(wú)關(guān)，證明:,(1) 能由 線性表示；,證明：因?yàn)?

6、 線性無(wú)關(guān),又因?yàn)橄蛄拷M 線性相關(guān),能由 線性表示；,所以 線性無(wú)關(guān),例5 設(shè)向量組 線性相關(guān)，而向量組,線性無(wú)關(guān)，證明:,(1) 能由 線性表示；,(2) 不能由 線性表示.,證明,假設(shè) 能由 線性表示.,由（1）可知： 能由 線性表示.,與已知矛盾.,能由 線性表示.,不能由 線性