定積分典型例題20例答案

1、定積分典型例題定積分典型例題2020例答案例答案例1求33322321lim(2)nnnnn??????分析將這類問題轉(zhuǎn)化為定積分主要是確定被積函數(shù)和積分上下限若對題目中被積函數(shù)難以想到，可采取如下方法：先對區(qū)間等分寫出積分和，再與所求極限相比較[01]n來找出被積函數(shù)與積分上下限解將區(qū)間等分，則每個小區(qū)間長為，然后把的一個因子[01]n1ixn??2111nnn??乘入和式中各項于是將所求極限轉(zhuǎn)化為求定積分即1n==33322321l

2、im(2)nnnnn??????333112lim()nnnnnn??????13034xdx??例2=__________________2202xxdx??解法1由定積分的幾何意義知，等于上半圓周()2202xxdx??22(1)1xy???0y?與軸所圍成的圖形的面積故=x2202xxdx??2?解法2本題也可直接用換元法求解令=（），則1x?sint22t?????====2202xxdx??2221sincosttdt????

3、?22021sincosttdt???2202costdt??2?例3（1）若，則=___；（2）若，求=___22()xtxfxedt???()fx?0()()xfxxftdt??()fx?分析這是求變限函數(shù)導數(shù)的問題，利用下面的公式即可()()()[()]()[()]()vxuxdftdtfvxvxfuxuxdx?????解（1）=；()fx?422xxxee???（2）由于在被積函數(shù)中不是積分變量，故可提到積分號外即，則x0()(

4、)xfxxftdt??可得=()fx?0()()xftdtxfx??例4設連續(xù)，且，則=_________()fx310()xftdtx???(26)f解對等式兩邊關于求導得310()xftdtx???x，32(1)31fxx???解===22000sinlim(sin)xxxtdttttdt????2202(sin)lim(1)(sin)xxxxxx?????220()(2)limsinxxxx????304(2)lim1cosxxx

5、????==2012(2)limsinxxx???0注此處利用等價無窮小替換和多次應用洛必達法則例9試求正數(shù)與，使等式成立ab20201lim1sinxxtdtxbxat?????分析易見該極限屬于型的未定式，可用洛必達法則00解==20201limsinxxtdtxbxat????220lim1cosxxaxbx???22001limlim1cosxxxbxax?????，201lim11cosxxbxa????由此可知必有，得又由0

6、lim(1cos)0xbx???1b?，2012lim11cosxxxaa????得即，為所求4a?4a?1b?例1010設，，則當時，是的（）sin20()sinxfxtdt??34()gxxx??0x?()fx()gxA等價無窮小B同階但非等價的無窮小C高階無窮小D低階無窮小解法1由于22300()sin(sin)coslimlim()34xxfxxxgxxx?????2200cossin(sin)limlim34xxxxxx???

7、??22011lim33xxx???故是同階但非等價的無窮小選B()fx()gx解法2將展成的冪級數(shù)，再逐項積分，得到2sintt，sin223370111()[()]sinsin3!342xfxttdtxx?????????則344340001111sin(sin)sin()1342342limlimlim()13xxxxxxfxgxxxx??????????????例1111計算21||xdx??分析被積函數(shù)含有絕對值符號，應先去掉