定積分典型例題

1、定積分典型例題定積分典型例題定積分典型例題例1求分析將這類問題轉(zhuǎn)化為定積分主要是確定被積函數(shù)和積分上下限若對(duì)題目中被積函數(shù)難以想到，可采取如下方法先對(duì)區(qū)間等分寫出積分和，再與所求極限相比較來(lái)找出被積函數(shù)與積分上下限解將區(qū)間等分，則每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)為，然后把的一個(gè)因子乘入和式中各項(xiàng)于是將所求極限轉(zhuǎn)化為求定積分即例2_________解法1由定積分的幾何意義知，等于上半圓周與軸所圍成的圖形的面積故解法2本題也可直接用換元法求解令（），則例3比較

2、，，分析對(duì)于定積分的大小比較，可以先算出定積分的值再比較大小，而在無(wú)法求出積分值時(shí)則只能利用定積分的性質(zhì)通過比較被積函數(shù)之間的大小來(lái)確定積分值的大小解法1在上，有而令，則當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，從而，可知在上，有又，從而有解法2在上，有由泰勒中值定理得注意到因此例4估計(jì)定積分的值分析要估計(jì)定積分的值關(guān)鍵在于確定被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值與最小值解設(shè)因?yàn)榱睿蟮民v點(diǎn)而故從而所以.例5設(shè)，在上連續(xù)，且，求解由于在上連續(xù)，則在上有最大值和最小

3、值由知，又，則由于，故例6求為自然數(shù)分析這類問題如果先求積分然后再求極限往往很困難，解決此類問題的常用方法是洛必達(dá)法則解注此處利用等價(jià)無(wú)窮小替換和多次應(yīng)用洛必達(dá)法則例15試求正數(shù)與，使等式成立分析易見該極限屬于型的未定式，可用洛必達(dá)法則解，由此可知必有，得又由，得即，為所求例16設(shè)，，則當(dāng)時(shí)，是的（）A等價(jià)無(wú)窮小B同階但非等價(jià)的無(wú)窮小C高階無(wú)窮小D低階無(wú)窮小解法1由于故是同階但非等價(jià)的無(wú)窮小選B解法2將展成的冪級(jí)數(shù)，再逐項(xiàng)積分，得到，則

4、例17證明若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)且單調(diào)增加，則有證法1令，當(dāng)時(shí)，，則故單調(diào)增加即，又，所以，其中從而證畢證法2由于單調(diào)增加，有，從而即故例18計(jì)算分析被積函數(shù)含有絕對(duì)值符號(hào)，應(yīng)先去掉絕對(duì)值符號(hào)然后再積分解＝＝＝注在使用牛頓－萊布尼茲公式時(shí)應(yīng)保證被積函數(shù)在積分區(qū)間上滿足可積條件如，則是錯(cuò)誤的錯(cuò)誤的原因則是由于被積函數(shù)在處間斷且在被積區(qū)間內(nèi)無(wú)界.例19計(jì)算分析被積函數(shù)在積分區(qū)間上實(shí)際是分段函數(shù)解例20設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，則分析本題只需要注意到定積