不定積分與定積分部分典型例題

1、1不定積分與定積分部分典型例題不定積分與定積分部分典型例題例1驗(yàn)證和是同一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)并說2)ln1(21)(xxF??xxxGlnln21)(2??明兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系.分析分析依原函數(shù)的定義若和的導(dǎo)數(shù)都是某個(gè)函數(shù)的原函數(shù)即有)(xF)(xG)(xf則和是的原函數(shù).所以只需驗(yàn)證和)()()(xfxGxF????)(xF)(xG)(xf)(xF的導(dǎo)數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù)即可.)(xG解因?yàn)閤xxxxFln11)ln1()(??????xxxx

2、xxGln111ln)(??????所以和是同一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)原函數(shù).2)ln1(21)(xxF??xxxGlnln21)(2??xxln1?且有21)(21lnln21)ln1(21)(22???????xGxxxxF說明兩個(gè)原函數(shù)之間僅相差一個(gè)常數(shù).例2已知某曲線y=f(x)在點(diǎn)x處的切線斜率為且曲線過點(diǎn)試求曲線方程.x21)34(分析分析根據(jù)不定積分的幾何意義所求曲線方程為過點(diǎn)斜率是的積)34(xxf21)(?分曲線.解cxxxxx

3、fy??????d21d)(且曲線過點(diǎn)即得出)34(c??43143???c于是所求曲線方程為1??xy例3判斷下列等式是否正確.（1）xxxxd11d11d22????（2）cxxx?????cosd)(sin（3）21dlndde1??xxxx3=.cxxx???2221ln221（2）將被積函數(shù)變形為xxxxxx22sin1e)3()sine(3e????再利用積分公式和積分運(yùn)算性質(zhì)得????xxxxx)dsine(3e2???x

4、xxxdsin1de)3(2=cxx???cot13ln)e3((3)??????????2020dsindsindsinxxxxxx)]1(1[]11[coscos20?????????????xx.4?說明：本例在求積分的方法直接積分法.這種方法適用與那些只用到基本積分公式和積分運(yùn)算性質(zhì)或者對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)變形就可以運(yùn)用積分公式求積分的題目.在解題中應(yīng)該注意：1熟悉基本積分公式；2在解題中經(jīng)常要對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)牡淖冃危ɡ纾?

5、）中將二項(xiàng)和的平方展開；（2）中將乘到括號(hào)里邊去；（3）中將絕對(duì)值打開）變形的目的是使被積函數(shù)為積分xe基本公式中的函數(shù)或它們的線性組合.這些方法和技巧的掌握是基于平時(shí)的練習(xí)；3如果連續(xù)試探幾次進(jìn)行不同的變形后仍無法達(dá)到目的則應(yīng)考慮其它積分方法求解.例5計(jì)算下列積分：（1）；xxxd12??（2）xxxd)e(1e2??（3）xxxdlne12?（4）xxdsin203??分析分析注意到這幾個(gè)被積函數(shù)都是復(fù)合函數(shù)對(duì)于復(fù)合函數(shù)的積分問題一