基本不定積分表

1、<p><b>　　基本不定積分表</b></p><p><b>　　序言：</b></p><p>　　微積分創(chuàng)立之初，牛頓與萊布尼茨分享榮譽。雖其間發(fā)生很多在優(yōu)先權上的爭論，但最終依然走向了發(fā)展之正軌。在微積分公式體系上，萊布尼茨對之要求甚嚴，并總結其基本微分表和基本積分表。如今隨微積分之發(fā)展，公式表逐漸全面，分類亦幾乎覆蓋各種不

2、定積分。積分表的編訂對于積分運算可以說是必要，亦是數(shù)學發(fā)展之必要結果。</p><p>　　本表給出常用不定積分的計算公式和運算方法，以及每個積分的簡要推演方法，其中引入了除一般之換元法，湊微分法，分部積分法之外，亦引入虛數(shù)單位，并使用虛數(shù)單位推演某些復雜的不定積分運算。而對于簡單的不定積分運算和基本的微分公式之反用，或均不在此給出推演方法，或僅以推演步驟簡要之說明。</p><p>　　

3、本表收錄公式16組，151式。</p><p>　　公式一 基本初等函數(shù)的不定積分18式：</p><p><b>　　冪函數(shù)</b></p><p><b>　　指數(shù)函數(shù)</b></p><p><b>　　對數(shù)函數(shù)</b></p><p><b

4、>　　三角函數(shù)</b></p><p><b>　　反三角函數(shù)</b></p><p><b>　　常數(shù)函數(shù)</b></p><p>　　上述公式均為基本初等函數(shù)之不定積分，其中部分公式均可以由分部積分公式給出，特別的，對于正切函數(shù)，余切函數(shù)，正割函數(shù)與余割函數(shù)的不定積分，使用了諸多三角變換完成。<

5、/p><p>　　公式二 含的積分（要指出非零）10式：</p><p>　　對于其中的第二式，是利用換元積分完成的。</p><p>　　對于第一者，可以利用湊的方式，我們考慮分式，則得其積分是顯的：。而第二式依然采取類似的方式，可借由帶余多項式除法算得：，然后利用第一個積分式即可得到結論。</p><p>　　對于分母是二次多項式或者更高者，

6、常常分成多個低次多項式之和，這兩個積分便是沿用了此結論所得到的。我們注意第一式中有，積分即得。對于第二式依然可用分離拆項的方式： ，然后積分即可，而一般對于拆項，常用待定系數(shù)的方法完成。</p><p>　　公式三 含的積分9式</p><p>　　第一式的證明用湊微分的方式即可完成。而有了第一式的結論，第二式可用分部積分完成計算。我們有：</p><p>　　其中

7、，對上式右側的再次使用湊微分的方法，即可得解：</p><p>　　同理利用分部積分可以將第三式拆開，并以第二式證明之。</p><p>　　利用湊微分的方式，我們顯然有不定積分，本組公式可以考慮用此公式，并使用分部積分即可證明一式：</p><p>　　二式同理使用分部積分，并利用一式的結論即可證明。</p><p>　　該公式是重要的不定

8、積分之一，它可以解決一類帶有的不定積分等式。但是該積分是不好計算的，首先分部積分就不容易得出結果，而另一方面我們也無法進行一個顯然的湊微分，因此對于這一類帶有根號式的積分，往往是先強行換掉根號，再作觀察。因此令，于是，顯然看到的是這個不定積分的結果需要討論的正負來決定之后使用的不定積分公式：如果是負的，那么顯然會使用反三角，如果是正的，則可能使用三角換元：</p><p>　　然后將帶入上式得原積分。另外對于負的

9、，有：</p><p>　　即原積分。該不定積分公式對于負數(shù)的計算是很容易的。</p><p>　　注意到微分公式，故上面公式均可以分部積分公式指出。</p><p>　　公式四 含有的積分3式</p><p>　　一式用湊微分的方式以及微分公式容易得出。第二式是利用分部積分公式給出的遞推式的形式：通過這個遞推關系逐步下降分母的冪直到一式的情

10、形，然后帶入一式即可得解。三式是有理分式的不定積分，通常是將之拆分為兩個容易計算的分式，則不難得出結果：</p><p>　　公式五 含有的積分7式</p><p>　　除開顯然的不列為公式表所用之公式外，其余均與有關，不過在下面公式的推理中，我們可以肯定的是推理可能是不唯一的，因此某些推理也是可能涉及了該公式的。</p><p>　　是一個需要分類討論的積分。顯然

11、的可以發(fā)現(xiàn)這個被積函數(shù)的形式與反正切是有關的，不過反正切的分母是加法運算，因此如果這里是負的，那么就不能適用反正切，這導致了積分需要分類討論之。</p><p>　　該公式的證明中再一次的遇到了形式的不定積分，雖然這里我采用的是換元為三角函數(shù)的方法，而并非使用公式四中利用有理函數(shù)積分的性質(zhì)來推理，但是三角換元計算不定積分是值得深入探討和學習的計算方法，也許在這個公式中體現(xiàn)不出來，但是在某些場合下，三角換元無疑是強

12、大的。</p><p>　　一式是顯然的。在這組公式中，除了一式之外，后者在各種場合的運用還是相對頻繁的。二式、三式都是典型的有理函數(shù)的不定積分問題，可以采取分離常數(shù)的方法來求解，其推理及其陳述如下：</p><p>　　類似的對于之后的不定積分，依然可以拆項：</p><p>　　但是對于最后一式，拆項顯然是不理想的，分子也不具備變量以進行湊微分，因此從分母考慮：

13、</p><p>　　接著帶入公式（45）即得所證。</p><p>　　公式六 含有的積分2式</p><p>　　先給出最基本的積分：</p><p>　　該積分的證明需要分情形處理。一般來說，如果分母的二次式對應的二次方程是有根的，那么其不定積分可以考慮因式分解的方式拆分成兩個分式之和，而對于無實數(shù)解的情形，可以考慮配方的方式，并利用反

14、三角函數(shù)的微分公式得到該不定積分的證明，不過在此我將使用另一種方式證明上述公式，我將在此引入虛數(shù)單位，并規(guī)定：</p><p>　　這里的為的兩根，則：</p><p>　　如果，那么，則積分式即為</p><p>　　否則為，則積分變?yōu)椋?lt;/p><p>　　這里值得注意的是輻角的取值問題，我們選擇這個區(qū)間并考慮反正切表示，則這時候輻角中所

15、給之復數(shù)必須保證實部恒正或恒負，但由判別式依然無法斷言之正負，這對反正切的表示是不利的，因此考慮對輻角進一步轉(zhuǎn)化，一個方便的方法是對分式上下乘以1個虛數(shù)單位，則：</p><p>　　將該式與帶入不定積分式，得：</p><p>　　雖然此方法比較復雜，但是可以說明的是，以復數(shù)進行實數(shù)的不定積分是可能的。</p><p>　　以拆項的方式來拆分為兩個不定積分，這是及

16、其顯然的：</p><p>　　公式七 含有的積分14式</p><p>　　含的不定積分，通常會考慮的變換是，特別是出現(xiàn)在分母中的根式，這樣做的好處不但可以抵消根式，同時可以處理并約分掉分母中的積分變量，以大幅度化簡積分運算。不過在很多時候，我們也常?？紤]雙曲換元來完成，這是因為對于正切與正割之間的關系式運算在某些時候沒有雙曲函數(shù)簡便。下面幾個公式都是可以通過換元得到的：</p&g

17、t;<p>　　第一式是典型的反雙曲三角函數(shù)的微分，以及反雙曲三角函數(shù)的定義式所得，事實上，我們設，因此對于第一個不定積分式，采用湊的方式即刻得之。二式也是典型的雙曲換元得到的等式：</p><p>　　其中，將回帶，即得之所證。</p><p>　　三、四均是由微分公式直接可推論的結果。然而如果對于三式?jīng)]有直接觀察到亦不妨以雙曲換元的得出：</p><p

18、>　　于是四式也可如法炮制：</p><p>　　五式、六式可以湊得之：，，再以分部積分得：</p><p>　　這樣就完成了五式和六式。</p><p>　　一式三角換元是顯然的。但值得注意的是雙曲正弦與對數(shù)之間的關系是：</p><p>　　二式以雙曲換元得到積分，以降冪進行變形，所得積分的計算是容易的：</p>&l

19、t;p>　　在得出結果之后，再以（二）倍角公式將和還原為即得二式右側。</p><p>　　三式湊的方式即得其之所證。</p><p>　　四式以分部積分，并二式，即得之所證。</p><p>　　先以換元的方式將一式轉(zhuǎn)化為三角積分或者雙曲積分。轉(zhuǎn)化三角積分時，以正切與正割的恒等式可得，轉(zhuǎn)化雙曲積時，以雙曲正弦或雙曲余弦的恒等式可得，最后以余割或雙曲余割的積分

20、得到結果。</p><p>　　二式典型的轉(zhuǎn)化為三角積分，這是典型的余割函數(shù)的導數(shù)公式。</p><p>　　注意到，帶入一式。又注意到，帶入（50）式。</p><p>　　公式八 含的積分6式</p><p>　　利用最值公式對分母配方，得：</p><p>　　首配方，再湊微分，并公式（56），得：</p&

21、gt;<p>　　這里的推理雖然是相對復雜的，但是對于一些好算的數(shù)值計算，這個推理過程會得到大大的簡化。在這兩個積分的基礎上，下面的積分相對是容易計算的：</p><p>　　用湊微分的方式進行變換：</p><p>　　剩下的計算是容易的。</p><p>　　依然是配方，與（64）不同的是，根號下的加號變成了減號，從而適用反三角的表示。</p

22、><p>　　依然是配方，與（65）不同的是，根號下的加號變成了減號，從而適用反三角的表示。</p><p>　　用湊微分的方式進行變換，其方法同于（66）。</p><p>　　在（64）（67），（65）（68）和（66）（69）的比較中我們可以發(fā)現(xiàn)，對于任意非零的實數(shù)，除了后面的對數(shù)部分外，其表示形式都是一樣的，例如我們以（64）（67）為例，將兩個公式和在一起寫

23、，并把對數(shù)部分寫成對應的反三角形式的不定積分之后，則可以寫成：</p><p>　　其相似度可見一斑，那么我們將會詢問這是為何。這里我將再度引入虛數(shù)單位，并規(guī)定其滿足，借助歐拉公式和雙曲三角函數(shù)的定義，我們考察正弦函數(shù)得到的是這樣一個結果：，令之為并反解之，得的同時，也得到了另一個結果：，也就是說得到一個轉(zhuǎn)化等式，這個結果是令人感到驚奇的，如果在上述積分中我們無視為正數(shù)之情形，并對負的直接使用反雙曲的結果，同時引

24、入虛數(shù)單位，根據(jù)負數(shù)的平方根等于其絕對值開根后與虛數(shù)單位作乘積這一規(guī)定，即得：</p><p>　　這與直接使用反正弦的結果是一樣的。這個結果表明，（64）（67），（65）（68）和（66）（69）是可以統(tǒng)一的。</p><p>　　公式九 含的不定積分14式</p><p>　　公式組七給出了型的不定積分，此處繼公式七之討論，以及公式七和公式九的推演思想，給出根

25、號下取負號的不定積分。</p><p>　　在（50）~（55）六式中，引入虛數(shù)單位，并替換即可證明上面六式的正確性。不過對于（70）式要注意取值的正負直接令雙曲正弦通過雙曲恒等式轉(zhuǎn)化成了雙曲余弦函數(shù)。</p><p><b>　　在中取替換得：</b></p><p>　　在（56）~（59）四式中，引入虛數(shù)單位，并替換即可證明上面四式的正確

26、性。</p><p>　　在（60）~（63）四式中，引入虛數(shù)單位，并替換即可證明上面四式的正確性。其中對于較為特殊的（80）和（83）中，我們注意以虛數(shù)單位替換之后，原本的對數(shù)表達式變?yōu)榱烁綆摂?shù)單位的表達式：</p><p><b>　　于是：</b></p><p>　　公式十 含的不定積分14式</p><p>

27、　?。?4）（86）（87）均以湊的方式即可證明，其中（84）利用了反正弦函數(shù)的微分公式，（86）（87）實際上就是冪函數(shù)的復合所得，因此可以考慮湊出根式內(nèi)的微分，然后以冪函數(shù)的積分公式計算最終結果。</p><p>　?。?5）以三角換元完成計算：</p><p>　　對（88）（89）各自使用分部積分即可完成演算：</p><p>　　將上式所得最后的第三項分式

28、進行處理，將其中一個乘進根式里，再與第一項合并即可。（89）式在處理的思想上是與之一致的，考慮分部積分，然后利用三角換元或者之前已經(jīng)給出的不定積分式處理：</p><p>　　顯然使用三角換元是容易的：</p><p>　　（92）式的證明與（56）式的推理類似，雖然我在前面指出（56）式的思路使用三角換元是顯然的，但是真正處理起是來略微不便的：</p><p>　

29、　因此如果我們在已經(jīng)建立了積分公式的情形下，承認并使用這個積分公式來推導（92）式會比單獨在證明（92）容易得多：在上述實數(shù)積分中引入虛數(shù)單位并承認，則令自變量以替換之，則可立刻得：</p><p>　　這樣就完全可將（92）式與（56）式統(tǒng)一為同一公式。而同理的，可以在（57）（58）（59）中均引入虛數(shù)單位，則（93）（94）（95）的證明可以大幅度化簡：</p><p>　　在關于的

30、積分中指出，即公式（62）和公式（63），同上之所證，利用虛數(shù)及公式（62）（63）可證明（96）（97）：</p><p>　　公式十一 含，，的積分4式：</p><p><b>　　由分部積分公式得：</b></p><p><b>　　其中： </b></p><p>　　帶回上式得即為（9

31、8）式之所證。</p><p>　?。?8）式的給出，亦可使用還原的方式證明，考慮到不定積分本身具有根號，其干擾運算性太強，考慮強行抹消根號，于是令：</p><p>　　對于上式第二項中積分，可令，則得到，然后以三角函數(shù)處理，得：</p><p>　　接著是計算式中的諸三角函數(shù)，可利用三角恒等式，如果限定了為銳角，亦可借助直角三角形，我在此選擇后者：</p&

32、gt;<p><b>　　最后把帶回，即得：</b></p><p>　　同理對于（99）式換元之后，亦可解之，但鑒于計算復雜，這里不用換元的方法，我依然采用分部積分的方式：</p><p><b>　　其中：</b></p><p><b>　　帶回則完成證明。</b></p&g

33、t;<p>　　根據(jù)反三角的計算公式，考慮到根式恒正，因此上式中的反三角亦可寫作：</p><p>　　因此寫作亦是正確的。亦可通過公式（67）來計算，得到：</p><p>　　通過一個簡單的驗證即可知上面的三種結果都是正確的：</p><p>　　換言之，我們得到具有三個我們可能會計算出的原函數(shù)：</p><p><b

34、>　　，以及</b></p><p>　　當我們得到該結論之后，對于第（100）式的證明方法就很多了，最簡單的就是通過已建立的公式（68）來完成</p><p>　　對于不定積分公式（100），其推理在（99）之中已經(jīng)給出。</p><p>　　由公式（68）：，得：</p><p>　　上式所給出三個不定積分的形式，均是正

35、確的。</p><p>　　公式十二 含三角函數(shù)的不定積分23式</p><p>　　除了基本初等三角函數(shù)之外，本組公式總結更為復雜的三角積分，其中包含了遞推關系，湊微分以及分部積分等方法來完成其推理。</p><p>　?。?02），（103）以降冪公式變形，再以基本初等函數(shù)的積分直接積分得到。（104）~（105）實質(zhì)上就是導數(shù)公式的逆，因此我們?nèi)绻C明，只需

36、以導數(shù)公式指出即可：</p><p>　　先以湊微分對積分變量進行替換，緊接著以分部積分對之變形，當?shù)仁阶笥覂蓚榷汲霈F(xiàn)相同的項時，通過移項的方式得到不定積分（108）的遞推關系。（109）與之同理。</p><p>　　依然可以考慮用同樣的步驟完成（110）和（111）式，這是因為正割函數(shù)、余割函數(shù)與正切函數(shù)、余切函數(shù)都有恒等式的關系，因此與其使用弦函數(shù)來完成不定積分的運算，不如使用割函數(shù)

37、更為明了。</p><p>　　對于正切函數(shù)、余切函數(shù)高次冪的不定積分，鑒于一次切函數(shù)的不定積分需要對數(shù)表達式，二次切函數(shù)會單出一個積分變量，導致積分是困難的，不過下面等式給出了切函數(shù)積分的一種算法，其中它們的冪都是取整數(shù)的：</p><p>　　上面證明的分部積分是對正弦湊微分得到的，如果對余弦湊微分，則同理可得到</p><p>　　以積化和差公式是容易證明的。

38、</p><p>　　典型的采用萬能變換，轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的不定積分問題。因此我們很自然的會采取換元：，于是由萬能變換公式，得，于是所求的不定積分（117）即為，這是典型的二次真分式的有理函數(shù)積分的問題，通過考慮判定式是否為正來討論對應之二次方程是否有兩個實數(shù)根，以方便拆分，如果沒有實數(shù)根則配方，并利用反三角表示，否則就拆為兩個分式之和或者差，以對數(shù)的形式表示。</p><p>　　此外，借

39、助已建立的公式（48）：</p><p>　　亦可給出證明，且我們說過公式（48）指出判別式在為負數(shù)的情形下，借助虛數(shù)可以證明上下兩個不定積分是等價的，因此我們對于（117）之證明實際上也只需指出一個成立即可。</p><p><b>　?。?18）同理。</b></p><p><b>　　證明是容易的。</b><

40、/p><p>　　在現(xiàn)行的積分公式表中，（117）和（118）兩式是被分成四個公式來處理的，考慮到三角函數(shù)與對數(shù)具有統(tǒng)一性，故在此將之合并為兩式。</p><p>　　由降冪公式得，再由萬能代換得，令，則：</p><p>　　從（117）至（120），可見萬能代換公式是很方便的一個公式，它將所有三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為有理分式成為了可能，然后借助有理函數(shù)的不定積分來完成積分運算

41、。從這一點看，萬能代換公式無疑是很強大的。</p><p><b>　　分部積分得：</b></p><p>　　同理可證（122）。當然考慮萬能代換也是可能的，不過要注意的是萬能代換對于公式（121）和（122）來說，比較繁雜。而公式（123）和（124）的推理思路與（121）和（122）相同，依然是通過分部積分完成推理，不過注意的是，可以使用（121）和（122）

42、已經(jīng)建立的結論。</p><p>　　公式十三 含反三角函數(shù)的積分9式</p><p>　　以上為弦函數(shù)的反函數(shù)之不定積分，其中（125）和（128）很容易就通過分部積分公式的得到：，（128）式與之同理。下面推導（126）和（127），對于（129）和（130）是可以類比的：</p><p>　　對于（127），注意到使用換元之后，積分運算下的被積函數(shù)變?yōu)檎液瘮?shù)

43、的平方和余弦函數(shù)之乘積，它自身是正弦三次方的微分，因此可以考慮分部積分公式，也就是，最后對于正弦三次方的不定積分，可以采用湊微分的方式，先湊出余弦函數(shù)的微分，然后對剩下的正弦二次方以恒等式換作余弦函數(shù)，最后以冪函數(shù)的不定積分一舉收官，完成推理：</p><p>　　另一方面，我們在建立了（125），（126），（127）之后，用反三角恒等式直接將反正弦化作反余弦，不定積分的計算也是可行的：</p>

44、<p>　　且如此計算比重新建立更為方便和簡潔。</p><p>　　對于（130）以分部積分完成，（131）與（132）令即可得出結論。</p><p>　　公式十四 含指數(shù)函數(shù)的積分9式</p><p>　　以基本不定積分公式所建立起來的不定積分組，并對之進一步拓展。</p><p><b>　　這是顯然的。</

45、b></p><p>　　均以分部積分即可。但是某些時候我們所關心的并非這些積分之本身，而是關心這樣一個特殊的關于的函數(shù)，顯然可以看到當為正整數(shù)時，函數(shù)表示的是的階導函數(shù)，而如果為負整數(shù)，則表示的是函數(shù)的重不定積分——這樣的函數(shù)是關于求導次數(shù)的函數(shù)，我們把求導次數(shù)作連續(xù)延拓得到了一個對于一切實數(shù)展開的新的連續(xù)函數(shù)，這個函數(shù)在微積分里被稱作函數(shù)的次導函數(shù)，該函數(shù)直接反應出了函數(shù)的非整數(shù)階導數(shù)。</p&g

46、t;<p>　　以分部積分作推導，不難有下面兩個等式：</p><p>　　等式組可以看作是關于的方程組，解之即得。</p><p>　　對于（140）的證明，如下：</p><p><b>　　移項并整理，得</b></p><p><b>　　將④帶入③，得</b></p&g

47、t;<p><b>　?、輲擘?，得</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　移項并整理：</b></p><p>　?。?41）的證明與之類似。</p><p>　　公式十五 含對數(shù)函數(shù)的積分4式</p>&l

48、t;p>　　以基本不定積分展開的積分公式組。</p><p>　?。?42）湊微分。（143）分部積分可直接推得，而（144）也是分部積分，但是我們依然優(yōu)先給出遞推關系，然后利用遞推關系進一步推得結果。由于對數(shù)函數(shù)的遞推結果相對較簡單，因此可以寫成和的形式。而（145）的推導比（144）相對更為簡單，因此這里先給出（145）：</p><p>　?。?45）的積分結果是簡單的?？梢钥?/p>

49、到，當這個積分我們不斷進行下去的時候，對數(shù)函數(shù)的冪會逐次下降，知道為零次，積分最終將變?yōu)閮绾瘮?shù)的積分問題。</p><p>　　公式十六 雙曲函數(shù)的積分6式</p><p>　　根據(jù)雙曲函數(shù)的定義可直接獲得。</p><p>　　推理同正切函數(shù)和余切函數(shù)，先將雙曲切函數(shù)轉(zhuǎn)為弦函數(shù)，然后以湊微分的方式一舉完成證明。</p><p>　　以雙曲之