不定積分的例題分析及解法[]

1、1不定積分的例題分析及解法不定積分的例題分析及解法這一章的基本概念是原函數(shù)、不定積分、主要的積分法是利用基本積分公式，換元積分法和分部積這一章的基本概念是原函數(shù)、不定積分、主要的積分法是利用基本積分公式，換元積分法和分部積分法。對于第一換元積分法，要求熟練掌握湊微分法和設中間變量分法。對于第一換元積分法，要求熟練掌握湊微分法和設中間變量，而第二換元積分法重點要，而第二換元積分法重點要)(xu??求掌握三角函數(shù)代換，分部積分法是通過“部分

2、地”湊微分將求掌握三角函數(shù)代換，分部積分法是通過“部分地”湊微分將轉(zhuǎn)化成轉(zhuǎn)化成，這種轉(zhuǎn)化應是朝有利，這種轉(zhuǎn)化應是朝有利??ud?du?于求積分的方向轉(zhuǎn)化。對于不同的被積函數(shù)類型應該有針對性地、靈活地采用有效的積分方法，例如于求積分的方向轉(zhuǎn)化。對于不同的被積函數(shù)類型應該有針對性地、靈活地采用有效的積分方法，例如為有理函數(shù)時，通過多項式除法分解成最簡分式來積分，為有理函數(shù)時，通過多項式除法分解成最簡分式來積分，為無理函數(shù)時，常可用換元積分為

3、無理函數(shù)時，?？捎脫Q元積分)(xf)(xf法。法。應該指出的是：積分運算比起微分運算來，不僅技巧性更強，而且業(yè)已證明，有許多初等函數(shù)是應該指出的是：積分運算比起微分運算來，不僅技巧性更強，而且業(yè)已證明，有許多初等函數(shù)是“積不出來”的，就是說這些函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)來表示，例如“積不出來”的，就是說這些函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)來表示，例如；；；（其中（其中）等。）等。dxxx?sindxex??2dxx?ln1??xkdx22si

4、n110??k這一方面體現(xiàn)了積分運算的困難，另一方面也推動了微積分本身的發(fā)展，在第這一方面體現(xiàn)了積分運算的困難，另一方面也推動了微積分本身的發(fā)展，在第7章我們將看到這類章我們將看到這類積分的無限形式的表示。積分的無限形式的表示。一、疑難分析一、疑難分析（一）關于原函數(shù)與不定積分概念的幾點說明（一）關于原函數(shù)與不定積分概念的幾點說明（1）原函數(shù)與不定積分是兩個不同的概念，它們之間有著密切的聯(lián)系。對于定義在某區(qū)間上的函數(shù)）原函數(shù)與不定積分是

5、兩個不同的概念，它們之間有著密切的聯(lián)系。對于定義在某區(qū)間上的函數(shù)，若存在函數(shù)，若存在函數(shù)，使得該區(qū)間上每一點，使得該區(qū)間上每一點處都有處都有，則稱，則稱是在該區(qū)間上在該區(qū)間上)(xf)(xFx)()(xfxF??)(xF)(xf的原函數(shù)，而表達式的原函數(shù)，而表達式稱為稱為的不定積分。的不定積分。CCxF()(?為任意常數(shù)))(xf（2）的原函數(shù)若存在，則原函數(shù)有無限多個，但任意兩個原函數(shù)之間相差某個常數(shù)，因此求的原函數(shù)若存在，則原函數(shù)有

6、無限多個，但任意兩個原函數(shù)之間相差某個常數(shù)，因此求)(xf的不定積分的不定積分時，只需求出時，只需求出的一個原函數(shù)的一個原函數(shù)，再加上一個任意常數(shù)，再加上一個任意常數(shù)即可，即即可，即)(xf?dxxf)()(xf)(xFC。???CxFdxxf)()(（3）原函數(shù)）原函數(shù)與不定積分與不定積分是個體與全體的關系，是個體與全體的關系，只是只是的某個原函數(shù)，而的某個原函數(shù)，而)(xF?dxxf)()(xF)(xf是的全部原函數(shù)，因此一個原函數(shù)

7、只有加上任意常數(shù)的全部原函數(shù)，因此一個原函數(shù)只有加上任意常數(shù)后，即后，即才能成為才能成為?dxxf)()(xfCCxF?)()(xf的不定積分，例如的不定積分，例如都是都是的原函數(shù)，但都不是的原函數(shù)，但都不是的不定積分，只有的不定積分，只有才是才是3211222???xxxx2x2Cx?2的不定積分（其中的不定積分（其中是任意常數(shù)）是任意常數(shù)）。x2C（4）的不定積分的不定積分中隱含著積分常數(shù)中隱含著積分常數(shù)，因此計算過程中當不定積分號

8、消失后一定要，因此計算過程中當不定積分號消失后一定要)(xf?dxxf)(C加上一個任意常數(shù)加上一個任意常數(shù)。C3（5）)(sincos)(cossinxdxdxxdxdx???（6）)cot(csc)(tansec22xdxdxxdxdx???（7）)(arctan112xddxx??（8）)(arcsin112xddxx??在具體問題中，湊微分要根據(jù)被積函數(shù)的形式特點靈活運用，例如求在具體問題中，湊微分要根據(jù)被積函數(shù)的形式特點靈活運

9、用，例如求??dxxxf211)(arctan時，應將時，應將湊成湊成；求；求dxxdx21?xdarctxxxarcf??211)cot(時，應將時，應將湊成湊成；而求；而求時，時，就不能照搬上述兩種湊法，應將就不能照搬上述兩種湊法，應將dxx211?xdarccot?dxxx??212211x?湊成湊成，即，即。xdx22dx)1(222xddxxdx???（2）第二換元法積分法：令）第二換元法積分法：令，常用于被積函數(shù)含，常用于被

10、積函數(shù)含或等形式。等形式。)(tx??22xa?22ax?常見的元理函數(shù)積分所采用的換元式如表常見的元理函數(shù)積分所采用的換元式如表51所示：所示：表51代換名稱代換名稱被積函數(shù)含有被積函數(shù)含有換元式換元式三角代換22xa?22xa?22ax?)22(sin?????ttax)22(tan?????ttax)20(sec???ttax無理代換nbax?nx12111)()(nnbaxbax??即tbaxn??)(1btaxn??即1tx?

11、tx1?為的最小公倍數(shù)的最小公倍數(shù))(baxtn??n21nn（3）同一個不定積分，往往可用多種換元方法求解，這時所得結(jié)果在形式上可能不一致，但實質(zhì)上）同一個不定積分，往往可用多種換元方法求解，這時所得結(jié)果在形式上可能不一致，但實質(zhì)上僅相差一常數(shù)，這可能過對積分結(jié)果進行求導運算來驗證。僅相差一常數(shù)，這可能過對積分結(jié)果進行求導運算來驗證。（三）關于積分形式不變性（三）關于積分形式不變性在講第一換元積分法時，講過這樣一個定理：在講第一換元積