6.1定積分

1、第六章第六章定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用定積分是積分學(xué)中的另一個(gè)重要概念本章首先由曲邊梯形的面積和變速直線運(yùn)動(dòng)的路程問題引出定積分的概念，然后討論它的性質(zhì)和計(jì)算方法最后介紹定積分在幾何、物理、經(jīng)濟(jì)等方面的一些應(yīng)用第一節(jié)定積分的概念和性質(zhì)一、定積分舉例一、定積分舉例1曲邊梯形面積曲邊梯形面積設(shè)在區(qū)間上非負(fù)、連續(xù)由直線、、及曲線)(xfy?][baax?bx?0?y所圍成的圖形稱為曲邊梯形曲邊梯形，其中曲線弧稱為曲邊，求這個(gè)曲邊梯形的面積)

2、(xfy?如圖6－1所示，若曲邊梯形底邊上的高在區(qū)間上的變動(dòng)，可以看出它的)(xf][ba變動(dòng)是連續(xù)變化的，在很小一段區(qū)間上它的變化很小，近似于不變因此，如果把區(qū)間劃分為許多小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上用其中某一點(diǎn)處的高來近似代替同一個(gè)小區(qū)間][ba上的小曲邊梯形的變高，那么每一個(gè)小曲邊梯形就可近似地看成一個(gè)小矩形，我們就以這些所有的小矩形面積之和作為曲邊梯形面積的近似值，并且把區(qū)間無限細(xì)分下去，使每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度][ba都趨于零，這時(shí)所有小

3、矩形面積之和的極限就是這個(gè)曲邊梯形面積的精確值我們把計(jì)算步驟敘述于下：（1）分割分割把曲邊梯形分割成若干個(gè)小曲邊梯形，在區(qū)間中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)][ba，bxxxxxann???????1210?把分成個(gè)小區(qū)間][ban[][]…[]…[]10xx21xxiixx1?nnxx1?它們的長(zhǎng)度記為，經(jīng)過每一個(gè)分點(diǎn)作平行于軸的直線段，1????iiixxx)321(ni??y把曲邊梯形分成個(gè)小曲邊梯形，它們的面積記為niA?)321(ni??

4、（2）近似代替近似代替在每個(gè)小區(qū)間[]上任取一點(diǎn)，用以為iixx1?i?)321(ni??)(if?高，為底的小矩形的面積近似代替第個(gè)小曲邊梯形的面積，即ix?iiiixfA???)(?)321(ni??（3）求和求和用這樣得到的個(gè)小矩形面積之和近似代替所求整個(gè)曲邊梯形的面積，nA即nnixfxfxfA???????)()()(221????????niiixf1)(?（4）取極限取極限設(shè)，當(dāng)愈來愈?。ㄍ瑫r(shí)小曲邊梯形的個(gè)數(shù)??nxxx?

5、????max21??愈來愈大）時(shí)，每個(gè)小矩形面積就越來越接近相應(yīng)的小曲邊梯形的面積，從而n就越來越接近曲邊梯形的面積當(dāng)時(shí)，和式的iinixf???)(1?0??)(??niinixf???)(1?極限就是所求的曲邊梯形的面積即???????niiinxfA1)(0)(lim??2變速直線運(yùn)動(dòng)的路程變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，已知速度是時(shí)間間隔[]上的連續(xù)函數(shù)，且)(tvv?21TTt，求在這段時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過的路積0)(?

6、tvSa=x0xn=bxx1x2xi1xn1xiyOξ1ξ2ξiξny=f(x)圖6—1在區(qū)間[]上的定積分（定積分（Definiteintegral）記為，即)(xfba?badxxf)(()bafxdx????????niiinxf1)(0)(lim??其中稱為被積函數(shù)被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式被積表達(dá)式，稱為積分變量積分變量[]稱為積分積分)(xfdxxf)(xba區(qū)間區(qū)間稱為積分下限積分下限稱為積分上限積分上限ab按定積分的定義，

7、前面所舉例子可表示如下：（1）曲邊梯形的面積是曲線在區(qū)間[]上的定積分即?y)(xfba??badxxfA)(（2）物體作變速直線運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的路程是速度在區(qū)間[]上的定積分即)(tvv?21TT??21)(TTdttvS除了這兩個(gè)可以用定積分表示外，還有類似的表示如：（3）氣體（或物體）在外界壓強(qiáng)作用下發(fā)生體積變化而與環(huán)境交換的功為體積功，p外若體系的體積從變化到，則所需要對(duì)體積功為1V2V21VVWpdV???外（4）物體在變力作用下

8、從移動(dòng)到力對(duì)物體所做的功為)(xFab??badxxFW)(這樣的問題還有很多，具體介紹將在本章第六節(jié)中描述。注意：注意：1定積分是一個(gè)特殊和式的極限值，是一個(gè)常量，它只與被積函數(shù)和積)(xf分區(qū)間有關(guān)而與積分變量用什么字母無關(guān)，即有][ba??badxxf)(?badttf)(2定積分的定義中我們假定如果，我們規(guī)定ba?ba??abdxxf)(???badxxf)(特別地當(dāng)時(shí)有ba?0)(??aadxxf3函數(shù)在上滿足什么條件一定可積

9、？這個(gè)問題我們不作深入討論，)(xf][ba僅給出以下兩個(gè)充分條件定理定理若在區(qū)間上連續(xù)，則在上可積（證明略）)(xf][ba)(xf][ba定理定理若在區(qū)間上有界，且僅有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，則在)(xf][ba)(xf上可積（證明略）][ba三、定積分的幾何意義定積分的幾何意義當(dāng)在區(qū)間上連續(xù)時(shí)，其定積分可分為三種情形)(xf][ba?badxxf)(1若在上，定積分在幾何上表示由連續(xù)曲線與][ba0)(?xf?badxxf)()(xf