定積分講義-

1、xyo)(xfy?0xa?bxn?iiixx1??第六章第六章定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用積分學的另一個基本概念是定積分本章我們將闡明定積分的定義，它的基本性質(zhì)以及它的應(yīng)用此外，我們要重點講述溝通微分法與積分法之間關(guān)系的微積分學基本定理，它把過去一直分開研究的微分和積分彼此互逆地聯(lián)系起來，成為一個有機的整體最后，我們把定積分的概念加以推廣，簡要討論兩類廣義積分6.1定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)1.定積分的定義定積分的定義我們先來

2、研究兩個實際問題例1計算曲邊梯形的面積設(shè)為閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且由曲線，直線)(xfy?][ba0)(?xf)(xfy?及軸所圍成的平面圖形(圖6—1)稱為在上的曲邊梯形，試求bxax??x)(xf][ba這曲邊梯形的面積圖6—1我們先來分析計算會遇到的困難由于曲邊梯形的高是隨而變化的，所以)(xfx不能直接按矩形或直角梯形的面積公式去計算它的面積但我們可以用平行于軸的y直線將曲邊梯形細分為許多小曲邊梯形如圖6—1所示在每個小曲邊梯形以

3、其底邊一點的函數(shù)值為高，得到相應(yīng)的小矩形，把所有這些小矩形的面積加起來，就得到原曲邊梯形面積的近似值容易想象，把曲邊梯形分得越細，所得到的近似值就愈接近原曲邊梯形的面積，從而運用極限的思想就為曲邊梯形面積的計算提供了一種方法下面我們分三步進行具體討論：iniitv???1)(?(3)當分點的個數(shù)無限地增加，最長的子區(qū)間的長度趨于零時就有stvinii????1)(?以上兩個問題分別來自于幾何與物理中，兩者的性質(zhì)截然不同，但是確定它們的量

4、所使用的數(shù)學方法是一樣的，即歸結(jié)為對某個量進行“分割、近似求和、取極限”，或者說都轉(zhuǎn)化為具有特定結(jié)構(gòu)的和式(1.1)的極限問題，在自然科學和工程技術(shù)中有很多問題，如變力沿直線作功，物質(zhì)曲線的質(zhì)量、平均值、弧長等，都需要用類似的方法去解決，從而促使人們對這種和式的極限問題加以抽象的研究，由此產(chǎn)生了定積分的概念定義定義6.1.1設(shè)函數(shù)在上有定義，在內(nèi)任取個分點)(xf][ba)(ba1?nbxxxxxann????????1210?把分成個

5、子區(qū)間，，…，，每個子區(qū)間的長度為][ban][10xx][21xx][1nnxx?在每個子區(qū)間上任取一點(稱為1????iiixxx)21(ni??][1iixx?)21(ni??i?介點)，作和式，并記如果不論對怎樣劃分成子區(qū)間，iniixf???1)(???inix????1max?][ba也不論在子區(qū)間上怎樣取介點，只要當時，和式(1.1)總趨于確定的值][1iixx?i?0??，則稱這極限值為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作，即II

6、)(xf][ba?badxxf)((1.2)iniibaxfIdxxf???????10)(lim)(??其中稱為被積函數(shù)，稱為積分變量，稱為積分區(qū)間，分別稱為積分)(xfx][baba的下限和上限關(guān)于定積分的定義，再強調(diào)說明幾點：(1)區(qū)間劃分的細密程度不能僅由分點個數(shù)的多少或的大小來確定因為][ban盡管很大，但每一個子區(qū)間的長度卻不一定都很小所以在求和式的極限時，必須n要求最長的子區(qū)間的長度，這時必然有0????n(2)定義中的兩