chapter 5 定積分計(jì)算

1、MethodsofMathematicalPhysics(2016.10)Chapter5Calculationsondefiniteintegrals1Chapter5定積分計(jì)算定積分計(jì)算Abstracts:留數(shù)定理及其應(yīng)用——定積分、積分主值一、留數(shù)定理和留數(shù)的求法留數(shù)定理和留數(shù)的求法(Residuetheemresiduecalculations)1留數(shù)的定義：設(shè)是函數(shù)的孤立奇點(diǎn)(isolatedsingularity)，即除過(guò)0

2、z)(zf點(diǎn)以外函數(shù)是解析的，則在的留數(shù)定義為0zz?)(zf)(zf0z，其中為繞的閉曲線(xiàn)（積分沿正方向進(jìn)??01Res()d2cfzfzzi???c0z?c行）且內(nèi)部無(wú)其它奇點(diǎn)，記號(hào)為或.0)(Reszzzf?)(Res0zf（1）有限遠(yuǎn)孤立奇點(diǎn)的留數(shù)：在鄰域內(nèi)（不含)(zf0z)0(0rzz???其它奇點(diǎn)）的羅朗級(jí)數(shù)（Laurentseries）展開(kāi)的次冪項(xiàng)的1?10)(??zz系數(shù)稱(chēng)為在奇點(diǎn)的留數(shù)。即.1?a)(zf0z??01

3、1Res()d2cfzfzzai?????此定義基于如下的事實(shí)：，其中.?????????kkkzzazf0)(101()d2()kkcfzazizz?????令函數(shù)沿以孤立奇點(diǎn)為中心的一個(gè)圓周積分)(zf0zc，?????????????????????kckkckkkczzzazzzazzfddd)(00而所以.??02(1)d0(1)kcikzzzk???????????1()d2cfzzia????可見(jiàn)，級(jí)數(shù)中僅僅項(xiàng)對(duì)積分有貢獻(xiàn)

4、，積分后唯有這個(gè)??101???zza1?a系數(shù)留下來(lái)，故名之為留數(shù)留數(shù)(residue).（2）無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)：在以為中心，環(huán)內(nèi)（不)(zf00?z???zR含其它奇點(diǎn)）的羅朗級(jí)數(shù)展開(kāi)的次冪項(xiàng)的系數(shù)的反號(hào)反號(hào)稱(chēng)1?10)(??zz1?a為在點(diǎn)的留數(shù)。即（此定義直)(zf???11Res()d2cffzzai???????MethodsofMathematicalPhysics(2016.10)Chapter5Calculationso

5、ndefiniteintegrals3解析的，則沿的回路積分（逆時(shí)針?lè)较颍┑扔谠趦?nèi)所有奇)(zfl)(zfl點(diǎn)的留數(shù)之和的倍，即2i?1()d2Res().nklkfzzifz?????2留數(shù)定理的推論：若在閉復(fù)平面內(nèi)(包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn))除有限個(gè)孤立奇)(zf點(diǎn)外處處解析，則在全平面上全部留數(shù)之和為零（挖去所有奇點(diǎn)并且)(zf計(jì)及無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)）：1()Res()Res()Res()0.knkkzfzfzf?????????說(shuō)明：說(shuō)明：留數(shù)定理表

6、明了解析函數(shù)沿閉曲線(xiàn)的積分與它的孤立奇點(diǎn)之間的關(guān)系，體現(xiàn)了解析點(diǎn)與奇點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系。這是解析函數(shù)在不同點(diǎn)取值之間的相互關(guān)聯(lián)這個(gè)性質(zhì)的又一表現(xiàn)，即它是單(復(fù))通域Cauchy定理的推廣(變形)。Laurentseries的負(fù)冪次由有限內(nèi)環(huán)內(nèi)的奇異性引起，其積分方向?yàn)閞r?Laurentseries的正冪次由有限內(nèi)環(huán)以外(即外環(huán)以外甚至直接至)的奇rR?異性引起，其積分方向?yàn)?R?可以是函數(shù)的奇點(diǎn)亦可以不是奇點(diǎn)，只要存在它就是無(wú)z??)(zf